2024中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點突破專題02 角平分線模型（含解析）

2024中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點突破專題02角平分線模型模型分析模型分析【理論基礎(chǔ)】角平分線的概念：如圖，已知OC是的角平分線【模型變式1】雙中點求和型如圖已知OC是內(nèi)任意一條射線，射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線【證明】射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線【模型總結(jié)】某個角內(nèi)的一條射線，把這個角分成兩個角，這兩個角的平分線形成的角等于原來角的一半。【模型變式2】雙中點求差型如圖已知OB是外任意一條射線，射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線【證明】射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線【模型總結(jié)】某個角外的一條射線，以該射線為鄰邊的兩個角的平分線形成的角等于原來角的一半。典例分析典例分析【例1】如圖，已知和互余，、分別平分和，，則_______________°．【例2】如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（

）A．∠DOE的度數(shù)不能確定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD【例3】如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．(1)如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時，求∠MON的度數(shù)是多少？(2)如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時，嘗試發(fā)現(xiàn)∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時，①猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？直接寫出結(jié)論即可；②當(dāng)∠CON＝3∠BOM時，直接寫出α、β之間的數(shù)量關(guān)系模型演練模型演練一、單選題1．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度數(shù)為（

）A．96° B．104° C．114° D．124°2．如圖，∠AOC與∠BOC互為余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，則∠AOE的大小是（）A．12° B．15° C．18° D．24°3．如圖，直線AB，CD，EO相交于點O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．40° B．37° C．36° D．35°4．如圖，直線AC和直線BD相交于點O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，則∠3的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°5．（2022·山東東營·二模）如圖，，點O在上，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分，OF平分．若，則的度數(shù)為______°．7．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，則∠DOE=_______°．8．如圖，直線、交于點，，是的平分線，是的平分線，，則_____________．9．如圖，已知射線在內(nèi)部，平分，平分，平分，現(xiàn)給出以下4個結(jié)論：①；②；③；④其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）______．10．如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且，若將∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運動過程中，OE平分∠BOC，則∠DOE與∠AOC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_____．三、解答題11．如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．12．如圖，為直線上的一點，，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)是的平分線嗎？為什么？13．已知O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方引兩條射線OC，OD，且OC平分．（Ⅰ）請在圖①中的內(nèi)部畫一條射線OE，使得OE平分，并求此時的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，若在內(nèi)部畫的射線OE，恰好使得，且，求此時的度數(shù)．14．已知：如圖所示（1），和共頂點，重合，為的平分線，為的平分線，，.

（1）如圖所示（2），若，，則_______.（2）如圖所示（3），若繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，且，求.（3）如圖所示（4），若，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，平分，以下兩個結(jié)論：①為定值；②為定值；請選擇正確的結(jié)論，并說明理由.參考答案與詳細解析典例分析典例分析【例1】如圖，已知和互余，、分別平分和，，則_______________°．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義以及角平分線的定義解答即可．【解析】解：∵、分別平分和，，∴，，∴，∴①，又∵和互余，∴②，①＋②，得：，解得：．故答案為：．【例2】如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（

）A．∠DOE的度數(shù)不能確定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD【答案】C【分析】依據(jù)OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，結(jié)合選項得出正確結(jié)論．【解析】∵OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故選C．【例3】如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．(1)如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時，求∠MON的度數(shù)是多少？(2)如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時，嘗試發(fā)現(xiàn)∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時，①猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？直接寫出結(jié)論即可；②當(dāng)∠CON＝3∠BOM時，直接寫出α、β之間的數(shù)量關(guān)系【答案】(1)45°(2)∠MON=α(3)①∠MON=α；②α=β或=β【分析】（1）求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（3）①求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；②分OM、ON在OB的異側(cè)和同側(cè)兩種情況求解．【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=75°，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠COA=α+60°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=(α+60°)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+60°)-30°=α．(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=α+β．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=(α+β)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=β，∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+β)-β=α．②當(dāng)OM、ON在OB的異側(cè)時，如圖3-1，∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=(α+β)-β=(α-β)，∵∠CON＝3∠BOM時，∠CON=β，∴β=3×(α-β)，∴α=β；當(dāng)OM、ON在OB的同側(cè)時，如圖3-2，∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=β-(α+β)=(β-α)，∵∠CON＝3∠BOM時，∠CON=β，∴β=3×(β-α)，∴α=β．綜上可知，α=β或=β．模型演練模型演練一、單選題1．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度數(shù)為（

）A．96° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BGH，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BGM=∠BGH，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補列式計算即可得解．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，∵GM平分∠BGH，∴∠BGM=∠BGH=×132°=66°，∵AB∥CD，∴∠GMD=180°-∠BGM=180°-66°=114°．故選：C．2．如圖，∠AOC與∠BOC互為余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，則∠AOE的大小是（）A．12° B．15° C．18° D．24°【答案】C【分析】利用角平分線求出∠BOC＝36°，利用∠AOC與∠BOC互為余角，求出∠AOC＝90-36°=54°，再根據(jù)∠EOC＝2∠AOE，即可求出∠AOE=18°．【解析】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，∴∠BOC＝36°，∵∠AOC與∠BOC互為余角，∴∠AOC＝90°-36°=54°∵∠EOC＝2∠AOE，∴3∠AOE=54°，∴∠AOE=18°．故選：C3．如圖，直線AB，CD，EO相交于點O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．40° B．37° C．36° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)與得到，根據(jù)平分得到，最后根據(jù)對頂角相等即可求出．【解析】解：，，，，平分，，．故選：C．4．如圖，直線AC和直線BD相交于點O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，則∠3的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根據(jù)對頂角和鄰補角的定義即可得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線即可得出的度數(shù)．【解析】解：，，，，又平分，．故選：D．5．（2022·山東東營·二模）如圖，，點O在上，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，∠D＝110°，求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，利用OE平分∠BOD，得到∠DOE＝55°，由∠FOE＝90°求出∠DOF＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF的度數(shù)．【解析】解：∵，∴∠AOD+∠D＝180°，∠DOB=∠D，∵∠D＝110°，∴∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝70°﹣35°＝35°，故D正確．故選：D．二、填空題6．（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分，OF平分．若，則的度數(shù)為______°．【答案】33【分析】先根據(jù)對頂角相等求出，再由角平分線定義得，由鄰補角得，再根據(jù)角平分線定義得，從而可得結(jié)論．【解析】解：∵是對頂角，∴∵OE平分，∴∴，∵OF平分．∴又，∴，故答案為：337．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，則∠DOE=_______°．【答案】40【分析】利用角平分線定義列式計算即可求出所求．【解析】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，設(shè)∠BOE=∠DOE=x，則有∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=（180°-x）=90°-x，由題意得：∠EOF-∠BOE=∠BOF=30°，即90°-x-x=30°，解得：x=40°，則∠DOE=40°．故答案為：40．8．如圖，直線、交于點，，是的平分線，是的平分線，，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)鄰補角求得，，根據(jù)，求得，進而求得，根據(jù)對頂角求得，根據(jù)角平分線的定義求得，，根據(jù)即可求解．【解析】解：，，，，，是的平分線，是的平分線，，，又，故答案為：．9．如圖，已知射線在內(nèi)部，平分，平分，平分，現(xiàn)給出以下4個結(jié)論：①；②；③；④其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）______．【答案】①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．【解析】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，∴，故①正確；②∵，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．10．如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且，若將∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運動過程中，OE平分∠BOC，則∠DOE與∠AOC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_____．【答案】或【分析】分情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過，不超過時，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖，利用角之間的關(guān)系計算即可．【解析】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過時，如圖：∴，，∵，OE平分∠BOC，∴，，∴．當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過，不超過時，如圖，∴，，∵，OE平分∠BOC，∴，，∴．三、解答題11．如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．【答案】120°，30°【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．12．如圖，為直線上的一點，，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)是的平分線嗎？為什么？【答案】(1)(2)是的平分線，理由見解析【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可知∠1的度數(shù)，再利用互補即可算出∠BOD的度數(shù)；（2）想要判斷OE是否為∠BOC的平分線，只需分別計算出∠3和∠4