專題18 利用導數(shù)研究不等式恒(能)成立問題-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題18利用導數(shù)研究不等式恒(能)成立問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 2【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍 4【考點3】雙變量的恒(能)成立問題 5【分層檢測】 6【基礎篇】 6【能力篇】 7【培優(yōu)篇】 8真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．3．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．考點突破考點突破【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當時，曲線在處的切線方程為B．在上的最大值與最小值之和為0C．若在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為D．在上至多有3個零點三、填空題3．（2024·江西·模擬預測）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題4．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；(2)若,對于任意,當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．6．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）函數(shù)；(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.反思提升：分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江西·二模）若恒成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空題3．（2024·上海虹口·二模）已知關(guān)于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題4．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求.6．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.反思提升：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.【考點3】雙變量的恒(能)成立問題一、單選題1．（2024·河南鄭州·三模）設，且，則（

）A．若，則 B．若，則存在且不唯一C． D．二、多選題2．（23-24高三下·重慶·階段練習）設函數(shù)，下面四個結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)有且只有一個零點C．函數(shù)的值域為D．對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則三、填空題3．（2023·山西臨汾·模擬預測）已知，恒成立，則．四、解答題4．（2024·重慶·模擬預測）函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，曲線上兩點，連線斜率記為k，求證：；(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．5．（2024·河南商丘·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；(2)若，滿足，且，求的取值范圍．6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若存在零點，求a的取值范圍；(2)若，為的零點，且，證明：．反思提升：含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預測），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（22-23高二上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．二、多選題5．（23-24高三上·新疆伊犁·階段練習）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．－10 B．－9 C．2 D．37．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4三、填空題8．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.9．（20-21高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是．10．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．12．（21-22高三上·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù)，在處取得極小值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的極值；(3)設函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)對任意成立，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．2二、多選題2．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得的圖象與軸相切B．存在，使得有極大值C．若，則D．若，則關(guān)于的方程有且僅有3個不等的實根三、填空題3．（2022高三上·河南·專題練習）已知，，若曲線上總存在不同的兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為．四、解答題4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.(1)若的最小值為0，求的值；(2)當時，證明：方程在上有解.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.(1)判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；(2)已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均