專題21 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題21同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 3【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 4【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 6【分層檢測(cè)】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 8【培優(yōu)篇】 9考試要求：1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用單位圓中的對(duì)稱性推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則．三、解答題6．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用一、單選題1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）美國(guó)數(shù)學(xué)史家、穆倫堡學(xué)院名譽(yù)數(shù)學(xué)教授威廉?鄧納姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一書中寫道：“相比之下，數(shù)學(xué)家達(dá)到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個(gè)極好的令人信服的圖示就傳達(dá)了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學(xué)家所達(dá)到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導(dǎo)出的正確選項(xiàng)為（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）若，則.6．（2024·廣東廣州·二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則．反思提升：1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.2.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（

）A．3 B． C． D．22．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．在上的值域?yàn)槿?、填空題5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)，則，．

6．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點(diǎn)P（P在B的右側(cè)），若，則.反思提升：(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·福建南平·二模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（

）A． B．C． D．4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸B．是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．將曲線向左平移個(gè)單位可得到曲線D．函數(shù)在的值域?yàn)槿?、填空題5．（2024·福建廈門·一模）若，則．6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則.反思提升：1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.2.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過程.常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的外接球的球心為，則（

）A． B． C． D．2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（

）A． B．0 C． D．3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·重慶涪陵·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的值為2 D．6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（

）A． B．C． D．7．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為.9．（2024·河北承德·二模）已知，則.10．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒的初始位置為點(diǎn)（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí)，分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為，則.四、解答題11．（21-22高二下·吉林·階段練習(xí)）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習(xí)）（1）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；（2）化簡(jiǎn)求值：【能力篇】一、單選題1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B．C． D．角的終邊在第一象限三、填空題3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則．四、解答題4．（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求；(2)若，，在上，且，求的長(zhǎng).【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·河南南陽·一模）已知三個(gè)銳角滿足，則的最大值是（

）A