百校聯(lián)盟高三TOP20四月聯(lián)考（全國(guó)II卷）數(shù)學(xué)（理）試題

百校聯(lián)盟2018屆高三TOP20四月聯(lián)考（全國(guó)II卷）理數(shù)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A．B．C.D．2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．B．C.D．3.已知，若，則（）A．8B．10C.11D．124.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他活動(dòng)的民間藝術(shù)，在中國(guó)，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是各種民俗活動(dòng)的重要組成部分.在如圖所示的古代正八邊形窗花矢量圖片中，，則向正八邊形窗花矢量圖片中任投一點(diǎn)，落在正方形中的概率為（）A．B．C.D．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．5B．11C.14D．196.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C.D．7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．B．C.D．8.已知，則不等式的解集為（）A．B．C.D．9.已知數(shù)列中，，則（）A．1028B．1026C.1024D．102210.已知，若存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（）A．B．C.D．11.已知函數(shù)，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（）A．B．C.D．12.在三棱錐中，，平面和平面所成角為，則三棱錐外接球的體積為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)則．14.已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為16，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．(用數(shù)字作答).15.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線為直線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的角平分線所在的直線斜率是．16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且是的等差中項(xiàng)，是等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖所示，在三棱臺(tái)中，和均為等邊三角形，四邊形為直角梯形，平面，，分別為的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.19.某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了40件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若，亦則該產(chǎn)品為示合格產(chǎn)品，若，則該產(chǎn)品為二等品，若，則該產(chǎn)品為一等品.（1）用樣本估計(jì)總體的思想，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，試估計(jì)這兩件產(chǎn)品中恰好一件為二等品，一件為一等品的概率；（2）根據(jù)圖1和圖2，對(duì)兩條生產(chǎn)線從樣本的平均值和方差方面進(jìn)行比較，哪一條生產(chǎn)線更好；（3）從甲生產(chǎn)線的樣本中，滿足質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機(jī)選出3件，記為指標(biāo)值在中的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望?20.已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.21.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）證明：.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），直線，直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸(取相同的長(zhǎng)度單位）建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.23.選修45：不等式選講已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:ACDCB610:BDBDC11、12：CA二、填空題13.014.15.16.三、解答題17.（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，且，則，所以，又成等差數(shù)列，則，所以，解得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故.設(shè)的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，整理得.18.（1）取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槿馀_(tái)中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以?因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)闉橹苯翘菪?，，所以為正方形，所以，所以兩兩互相垂直，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，由，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得，所以由圖觀察可知，平面與平面所成二面角為鈍角，所以其余弦值為.19.（1）由頻率分布直方圖可知，甲生產(chǎn)線中二等品的概率為，—等品的概率為，乙生產(chǎn)線中二等品的概率為，一等品的概率為，所以兩件產(chǎn)品中一件為二等品，一件為一等品的概率為.（2）設(shè)兩條生產(chǎn)線樣本的平均值分別為，則，，由頻率分布直方圖可知，甲生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)較為分散，乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)較為集中，所以甲生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)方差大于乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)方差，所以乙生產(chǎn)線更好.（3）甲生產(chǎn)線樣本質(zhì)量指標(biāo)值在的件數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值在的件數(shù)為，由題意可知的取值為0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.20.（1）因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.21.（1）因?yàn)?，所?，解得則，所以，令，得，令得，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）得的最大值為0，所以，即，從而，要證，即，故只需證，即證成立； 令則，令，則，令，得，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知，，使得，故當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最小值是或.由，得，，因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，，所以原不等式成立.22.（1）依題意，曲線