重難點01平行線（四種模型）-【滿分全攻略】2022-2023學年七年級數(shù)學下學期核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

重難點01平行線（四種模型）

目錄

題型一：M型（含鋸齒形）

題型二：筆尖型

題型三：“雞翅”型

題型四：“骨折”型

匚技巧方法

模型一：M模型

如圖，若AB//CD,你能確定NB、ND與NBED的大小關系嗎？

解：NB+ND=NDEB.

理由如下：

過點E作EF//AB

又AB//CD.

:.EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即NB+ND=NDEB.

模型二、筆尖型

如圖，AB//CD,探索NB、ND與NDEB的大小關系？

解：ZB+ZD+ZDEB=360".

理由如下：

過點E作EF//AB.

又VAB//CD.

/.EF//CD.

，ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180".

，ZB+ZD+ZDEB

-ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

即/B+ND+NDEB=360°.

模型三、“雞翅”型

如圖，已知AB〃CD,試猜想NA、NE、ZC的關系，并說明理由.

解：NAEC=NA-NC,

理由如下：

過點E作EF//AB

又VAB//CD.

，EF//CD.

/.ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

二ZAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

-ZA-ZC

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如圖，已知BC〃DE,試猜想NA、NB、ND的關系，并說明理由.

解：NBAD=ND-NB,

理由如下：

過點A作AG//BC

又VCB//DE.

AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：NBAD=ND-NB

注：平行線四大模型大題不可直接使用，必須證明后再用，選擇填空滿足條件即可直接用！

U能力拓展

題型一：M型（含鋸齒形）

一、填空題

1.（2023春?七年級課時練習）如圖，已知8E平分/ABC,DE平分N/WC,Z&4D=80°,

NBCD=〃°,則N8ED的度數(shù)為.（用含〃的式子表示）

【答案】40°+g〃°

【分析】首先過點￡'作瓦'〃4?,由平行線的傳遞性得回〃8〃所，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等,

得出4/”=乙物=〃。，ZBAD=ZADC=80°,由角平分線的定義得出NABE：］”。，ZEDC=40°,再

由兩直線平行，內錯角相等得出NBEF=NABE=：〃。ZFED=ZEDC=40°,由N5ED=NBEF+N莊D即可

得出答案.

【詳解】解：如圖，過點6作即〃則AB〃CD〃EF,

AB//CD,

：.乙BCD=乙ABC=if,ZBAD=ZADC=S0°,

又：BE平分/ABC,3E平分N45C,

NABE=-ZABC=-n°,

22

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°,

22

ABUEFI,CD,

：.ZBEF=ZABE=-n°,

2

/FED="DC=40。,

：.NBED=NFED+NBEF=40°+-n°,

2

故答案為：40°+1?°.

【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題關鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質和

角平分線的定義.

二、解答題

2.(2023春?七年級課時練習)如圖，A8//CD,點￡■在直線初切內部，且AE_LCE.

(1)如圖1,連接AC,若平分ZBAC,求證：CE平分ZACD:

(2)如圖2,點."在線段形、上，

①若ZMCE=NECD,當直角頂點《移動時，NB4E與NMC3是否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由；

②若NMCE=，NEC。（”為正整數(shù)），當直角頂點￡移動時，4E與NMCD是否存在確定的數(shù)量關系？并

n

說明理由.

1n

【答案】（1）見解析；（2）①NBA吩g/MO）=90。，理由見解析；②NBAE+--Z,10=90°,理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)平行的性質可得/胡◎/〃。=180°,再根據(jù)AE_LCE可得/胡3/￡。=90°,根據(jù)46

平分/胡?？傻?為廬/皮IC等量代換可得/敏＞/口小90°,繼而求得/“廬/必!；

（2）①過￡作必〃4?,先利用平行線的傳遞性得出必〃4?〃繆，再利用平行線的性質及已知條件可推得

答案；

②過E作EF〃AB,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質及已知條件可推得答案.

【詳解】（1）解：因為4B//CD,

所以/力介/。。=180°,

因為AELCE,

所以N用什/￡。=90°,

因為平分/胡C,

所以NZW后NS4G

所以N物加N〃C層90°,

所以N必G/〃彥90°,

所以NDCE=NECA,

所以"平分N"?；

（2）①歷與乙）0存在確定的數(shù)量關系：28型^乙肥斤90°,

理由如下：過E忤EF"AB,

B

YAB〃CD,

：.EF//AB//CD,

"BA4/AEF,ZFEC=ZDCEt

???/斤90°,

：.ZBAE+ZECD-90°,

/Md4ECD,

???N為加女90°；

M

②/物9與N/?存在確定的數(shù)量關系：NBAE+—；/加氏90°,

理由如下：過2作"〃力氏

?：ABUCD,

：.EF//AB//CD,

：/BA人AEF,4FE04DCE,

VZ^90°,

:?/BAE。ECA9G,

/MCE=>AECD,

n

，N員伊■」-/加%90°.

n+\

【點睛】本題主要考查平行線的性質和角平分線的定義，解決本題的關鍵是要添加輔助線利用平行性質.

3.（2023春?七年級課時練習）如圖：

B

B

ABA

D

圖1圖2圖3

⑴如圖1,AB//CD,ZABE=45°,NCDE=21。，直接寫出ZBED的度數(shù).

⑵如圖2,AB〃C。，點E為直線AB,C￡＞間的一點，BF平分/ABE,DF平分NCDE,寫出NBED與

ZF之間的關系并說明理由.

（3）如圖3,AB與C。相交于點G,點E為ZSG。內一點，BF平分NABE,DF平分NCDE,若NBGD=60°,

NBFD=95。，直接寫出NB￡D的度數(shù).

【答案】（DN應氏66°；

（2）/施廬2/凡見解析；

（3）/質的度數(shù)為130°.

【分析】（1）首先浜EF〃AB,根據(jù)直線46〃5，可得EF〃徽所以N4除Nl=45°,NOeN2=21°,據(jù)

此推得/瓦氏Nl+N2=66°；

（2）首先作￡'G〃/I6,延長DE交防于點〃，利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即可得到/斷2/尸;

（3）延長分'交48于點〃，延長必到/,利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即可得到/酶的度

數(shù)為130°.

【詳解】（1）解：（1）如圖，般EFHAB,

?.?直線四〃微

：.EF//CD,

二/4廢Nl=45°,2CDB=Z2=2\0,

.,.Z5E9=Z1+Z2=66°；

(2)解：NBED=2NF,

理由是：過點￡作用〃{6,延長龐交跖于點〃,

'：AB//CD,：.AB//CD//EG,

.?.Z5=Z1+Z2,Z6=Z3+Z4,

又,：BF平介4ABE,DF平■分乙CDE,

/.Z2=Z1,Z3=Z4,則/5=2/2,Z6=2Z3,

.,.Z5E9=2(Z2+Z3),

又匕H43=4BHD,/BHD^Z2=NBED,

：.N3+N2+N4/頗，

綜上/跖0/412/龐〃理NBED=2NF；

(3)解：延長DF交AB于點、H,延長麻1到/,

?:/BGD=60°,

N3=N1+N6瑟Nl+60°,ZJW7>Z2+Z3=Z2+Z1+60°=95°,

??.Z2+Z1=35°,即2(N2+N1)=70°,

■:BF平分4ABE,DF*，分4CDE,

.?./月除2/2,2CDE=2C

：.NBEI=NABE+4BG拄2N2+4BGE,ZDE1=ZCDE+ZDGB=2Z1+ZDGE,

:.ZBEANBER/DES2+乙\)+(/BGE+NDG0=70°+60°=130°,

質的度數(shù)為130°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形的外角性質等知識，掌握平行線的判定和性質，正確添

加輔助線是解題關鍵.

4.（2023春?七年級課時練習）問題情境：如圖①，直線AB〃CD,點、E,尸分別在直線46,CD上.

（1）猜想：若N1=13O。，Z2=150°,試猜想NP=°；

⑵探究：在圖①中探究Nl,N2,NP之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑶拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若/1+N2=325。，NEPG=75。,求NPG尸的度數(shù).

【答案】（1）80。

(2)ZP=36O°-Z1-Z2；證明見詳解

(3)140°

【分析】（1）過點尸作MZV〃AB,利用平行的性質就可以求角度，解決此問：

（2）利用平行線的性質求位置角的數(shù)量關系，就可以解決此問；

（3）分別過點尸、點G作出〃回、KR//AB,然后利用平行線的性質求位置角的數(shù)量關系即可.

【詳解】（1）解：如圖過點尸作腦V〃AB,

AB//CD,

：.AB//MN//CD.

：.Nl+N￡PN=180°,

N2+NFPN=180°.

?：Z1=130°,Z2=150°,

，Z1+Z2+ZEPN+NFPN=360°

ZEPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

ZP=ZEPN+ZFPN,

???N分80°.

故答案為：80°；

⑵解:ZP=36O0-Z1-Z2,理由如下:

如圖過點P作

JAB//MN//CD.

：.Nl+N石PN=180。，

N2+NFPN=1800.

???Z1+Z2+/EPN+ZFPN=360°

■:/EPN+/FPN=/P,

ZP=36O°-Z1-Z2.

(3)如圖分別過點P、點G作MN〃45、KR//AB

?：AB//CD,

：.AB//MN//KR//CD.

：.Nl+N"N=180。，

ZNPG+/PGR=18。。,

Z/?GF+Z2=180°.

???Z14-ZEPN+ZNPG+ZPGR+RGF+Z2=54()°

VZEPG=ZEPN+ANPG=75°,

/PGR+/RGF=ZPGF,

Zl+Z2=325°,

NPGF+Z1+Z2+NEPG=540°

，ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140°.

【點睛】本題考查了平行線的性質定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關鍵.

5.（2023春?七年級課時練習）已知直線。〃6,直線用分別與直線a,6相交于點發(fā)八點4,6分別在

直線a,6上，且在直線切的左側，點尸是直線切上一動點（不與點反尸重合），設NRIQNl,/APB

=/2,乙PBF=N3.

（1）如圖1,當點戶在線段E尸上運動時，試說明/1+N3=N2；

（2）當點一在線段跖外運動時有兩種情況.

①如圖2寫出Nl,Z2,N3之間的關系并給出證明；

②如圖3所示，猜想/I,N2,N3之間的關系（不要求證明）.

【答案】（1）證明見詳解

⑵①？3?1?2；證明見詳解；②/1=/2+/3；證明見詳解

【分析】（1）如圖4過點尸作PC〃a,利用平行線的傳遞性可知PC〃a〃6,根據(jù)平行線的性質可知

Zl-ZAPC,A=NBPC,根據(jù)等量代換就可以得出N2=Nl+/3；

（2）①如圖5過點尸作PC〃a,利用平行線的傳遞性可知尸C〃a〃b,根據(jù)平行線的性質可知N3=/BPC,

N1=ZAPC,根據(jù)等量代換就可以得出？3?1?2；

②如圖6過點P作PC〃a,利用平行線的傳遞性可知PC〃a〃6,根據(jù)平行線的性質可知N1=NAPC,

Z3=/BPC,根據(jù)等量代換就可以得出4=N2+N3.

【詳解】⑴解：如圖4所示：過點P作PC〃a,

a//b

：.PC//a//b

二N1=ZAPC,Z3=NBPC,

'：Z2=ZAPC+ZBPC,

圖4

(2)解：①如圖5過點尸作PC〃a,

■:a"b

.?.PC//a//b

:,A=/BPC,Zl=ZAPC,

?：NBPC=N2+NAPC,

圖5

②如圖6過點尸作PC〃a,

■:a"b

：.PC//a//b

：.Z1=ZAPC,Z3=ZBPC,

■:ZAPC=N2+/BPC,

：.Z1=Z2+Z3.

【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系，準確的作出輔助

線和找到對應的內錯角是解決本題的關鍵.

6.（2023春?七年級課時練習）已知直線力分/以，打'是截線，點,"在直線加?、切之間.

⑴如圖1,連接GM,HM.求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

⑵如圖2,在NGZ/C的角平分線上取兩點〃、Q使得/力。/=/〃皈試判斷與/G0”之間的數(shù)量關系,

并說明理由.

【答案】（1）證明見詳解

⑵NGQH=180。-；理由見詳解

【分析】(1)過點例作MV〃回，由AB〃CD,可知MN〃AB〃CD.由此可知：ZAGM=ZGMN,

Z.CHM=ZHMN,故ZAGM+NCHM=NGMN+ZHMN=ZM；

(2)由(1)可知NAGW+NC〃A/=/A/.再由NC〃Af=NG〃M,ZAGlf=Z//GG,可知：

NM=NHGQ+NGHM,利用三角形內角和是180°,可得NGQ"=180。-.

【詳解】(D

解：如圖：過點M作MV〃AB,

：.MN//AB//CD,

：.ZAGM=ZGMN,4cHM=NHMN,

■：NM=ZGMN+4HMN,

ZM^ZAGM+ZCHM.

(2)解：NGQ”=180?！狽M,理由如下:

如圖：過點M作腦V〃AB,

由(1)知NM=NAGM+NCEW,

■:HM平分NGHC,

,NCHM=NGHM,

,：NAGM=NHGQ,

：.NM=NHGQ+NGHM,

■:ZHGQ+NGHM+NGQH=180°,

，NGQH=18Q°—NM.

【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系，正確的作出輔助線是解決本題的關鍵，同時

這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用.

7.（2023春?全國?七年級專題練習）閱讀下面內容，并解答問題.

己知：如圖1,ABCD,直線EF分別交A8,CD于點、E,F.ZBEF的平分線與/￡）莊的平分線交于點

（2）填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由.我選擇—題.

①在圖1的基礎上，分別作NBEG的平分線與/D尸G的平分線交于點〃，得到圖2,則ZE/W尸的度數(shù)

為—.

②如圖3,ABCD,直線EF分別交AB,C￡＞于點E,尸.點。在直線AB,C￡＞之間，且在直線EF右

側，/8EO的平分線與/。尸。的平分線交于點尸，則NEOb與NEP尸滿足的數(shù)量關系為一.

【答案】（1）見解析

⑵①45°；②結論：ZEOF=2NEPF

【分析】(1)利用平行線的性質解決問題即可；

(2)①利用基本結論=+求解即可：②利用基本結論=,

ZEPF=ZBEP+ZDFP,求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，過G作G”AB,

ABCD,

ABGHCD,

/BEG=NEGH,NDFG=NFGH,

:.ZBEF+ZDFE=\80°,

,EG平分ZfiEF,FG平分NDFE,

NGEB=-NBEF,NGFD=-ZDFE,

22

NGEB+NGFD=-NBEF+-ZDFE=-(ZBEF+ZDFE)=90°,

222

在AEFG中，NGEF+NGFE+NG=180°,

/.ZEGF=NGEB+Z.GFD=90°,

:.EG±FG；

(2)解：①如圖2中，由題意，NBEG+NDFG=90。,

EM平分NBEG,MF平■分/DFG,

NBEM+NMFD=；(NBEG+ZDFG)=45°,

NEMF=NBEM+ZLMFD=45°,

故答案為:45°；

②結論：NEOF=2NEPF.

理由：如圖3中，由題意，ZEOF=ZBEO+ZDFO,ZEPF=ZBEP+^DFP,

平分NBEO,PF平分ZDFO,

:.ZBEO=2ZBEP,ZDFO=2ZDFP,

:.ZEOF=2NEPF,

故答案為：NEOF=2NEPF.

【點睛】本題考查平行線的性質和判定，角平分線的性質，垂直的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關的性

質.

8.（2023春?江蘇?七年級專題練習）如圖1,AB//CD,ZPAB=]3O°,ZPCD=120°,求/APC的度數(shù).小

明的思路是：如圖2,過P作PE//AB,通過平行線性質可求NAPC的度數(shù).

（1）請你按小明的思路，寫出NAPC度數(shù)的求解過程;

（2）如圖3,AB〃C￡＞，點?在直線8。上運動，記=NPCD=".

①當點尸在線段8。上運動時，則/APC與/a、4之間有何數(shù)量關系？請說明理由;

②若點P不在線段8。上運動時，請直接寫出/APC與/a、4之間的數(shù)量關系.

【答案】（1）見解析；（2）①4PC=Na+N尸，見解析；0ZAPC=|Za-Z/?|

【分析】（1）過戶作PE〃A8,利用平行線的性質即可得出答案；

（2）①過戶作刊再利用平行線的性質即可得出答案；②分尸在BZ5延長線上和P在D8延長線上兩

種情況進行討論，結合平行線的性質即可得出答案

【詳解】解：（1）如圖2,過戶作

圖2

QAB//CD,

PE//AB//CD,

：.APAB+ZAPE=18O°,

ZPCD+ZCPE=18O°,

■.ZPAB=\3O0,ZPCD=\20°,

:.ZAPE=5O°,ZCPE=60°,

ZAPC=ZAPE+NCPE=110。.

(2)①、ZAPC=Za+^j3,

理由：如圖3,過P忤PEHAB,

QAB//CD,

.-.AB//PE//CD,

:.Za^ZAPE,N/3=ZCPE,

ZAPC=ZAPE+NCPE=Na+；

②、ZAPC=|Za-Z>3|.

如備用圖1,當戶在80延長線上時，NAPC=Na-N〃；

備用圖1備用圖2

理由：如備用圖1,過戶作PG〃48,

QAB//CD,

:.AB//PG//CD,

:.Za=ZAPG,“=NCPG,

：.ZAPC=AAPG—ZCPG=-乙p；

如備用圖2所示，當尸在03延長線上時，AAPC^Ap-Aa.

理由：如備用圖2,過戶作PG〃46,

QAB//CD,

：.AB//PG//CD,

:.Za=ZAPG,"=NCPG,

ZAPC=NCPG-ZAPG=-Na；

綜上所述，ZAPC=|Za-Z/7|.

【點睛】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵是過。作PE//AB.

9.(2023春?七年級課時練習)請在橫線上填上合適的內容.

(1)如圖(1)已知則ZB+ZD=N8￡D.

解：過點E作直線E尸//A8.

:.NFEB=().()

VAB//CD,EF//AB,

：.()//().(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行)

:.NFED=().().

:.ZB+ZD=ZBEF+AFED.

：.ZB+ZD=ZBED.

(2)如圖②，如果A8〃CD,則N8+NBE￡>+N￡>=()

【答案】(1)/氏兩直線平行，內錯角相等，EF,CD,/〃，兩直線平行，內錯角相等；

(2)360°

【分析】(1)過點￡作直線必〃4?,則繼而由EF〃CD可得NFEFND.所以NB+Nk/BER/FED,

即N班/廬NW；

(2)過點￡作直線跖〃四，則/用好/后180°,繼而由?！á丝傻秘?80°.所以

N階NA/BEF+NFEA360。,即N8+N應介360°.

【詳解】解：(1)解：過點￡作直線"〃力氏

：.ZFEB=ZB.(兩直線平行，內錯角相等)

?：AB//CD,EF//AB,

：."〃繆(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行).

.?./曲/〃(兩直線平行，內錯角相等).

：.4吩/k/BERNFED.

：.4班/D=2BED.

故答案為：NB,兩直線平行，內錯角相等，EF,CD,ZD,兩直線平行，內錯角相等;

(2)解：過點￡作直線小〃4?,如圖.

.../R臥/廬180°.兩直線平行，內錯角相等).

'：AB//CD,EF//AB,

"〃①(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行).

二/曲/分180°(兩直線平行，內錯角相等).

：.N濟NANBEF+NFED=360°.

：./僑NBEm4A360°.

故答案為：360°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質說理是關鍵.

10.(2023春?七年級課時練習)如圖1,AB//CD,E是48,切之間的一點.

圖1圖2圖3

(1)判定/胡凡應與/力劭之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(2)如圖2,若NBAE,好的角平分線交于點尸，直接寫出/力切與N4E9之間的數(shù)量關系；

⑶將圖2中的射線小沿龐翻折交4少于點G得圖3,若/力3的余角等于2/￡1的補角，求/力￡的大小.

【答案】(D=

(2)ZAFD=-ZAED-

2

(3)ZfiAE=6O°

【分析】(1)作小〃4?,如圖1,則必〃斂利用平行線的性質得N1=N胡反N2=4CDE,從而得到

ZBAE+ZCDE=AAED

(2)如圖2,由(1)的結論得/胡￡,4CD2三"DE,則/加明子(4BAE+ZCDE),加上(1)

的結論得到/力/沙力微

(3)由⑴的結論得乙傷廬/掰切G,利用折疊性質得/5R4N口見再利用等量代換得到

3

NAGD=2/AED~G』BAE,加上90°-N/1跺180°-2ZAED,從而計算出N物？的度數(shù).

【詳解】(1)NBAE+4CDE=NAED

理由如下：

作EF//AB,如圖1

'：AB//CD

：.EF//CD

：.Zl=ZBAE,N2=4CDE

：.ABAE+ACDE=AAED

(2)如圖2,由(1)的結論得

NAF-BAFr/CDF

,:NBAE、/吸的兩條平分線交于點尸

:./BA六;NBAE,4CDF吟NCDE

：./AF*QBAE+/CDE)

,：ZBAE+ACDB-AAED

:.NAF吟NAED

(3)由(1)的結論得掰

而射線DC沿〃￡,翻折交4尸于點G

：.4CDG=44CDF

：?/AGA4BAF+4/CDI*/BAE+2/CD*/BAE+2(/AED~/BAE)=2AAED--ABAE

V90°-ZAGD=180°-2AAED

3

???90°-2N力協(xié)?一/9后180°-2/AED

2

???N物后60°

【點睛】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行,

內錯角相等.

11.(2023春?七年級課時練習)己知ABIICD.

(1)如圖1,E為AB,5之間一點，連接BE,DE,得到/戚.求證：/戚=/研/〃；

(2)如圖，連接仍BC,BF平分NABC,DF平分4ADC,且BF,如所在的直線交于點凡

①如圖2,當點8在點/的左側時，若NABC=5Q°,NADC=6Q°,求/用力的度數(shù).

②如圖3,當點8在點A的右側時，設N4仁a,￡ADC=3,請你求出/跖9的度數(shù).(用含有a,B的

式子表示)

圖3

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可;

(2)①如圖2,過點F作/話//AB,當點8在點A的左側時，根據(jù)NABC=50。，NADC=60。，根據(jù)平行

線的性質及角平分線的定義即可求N8FD的度數(shù);

②如圖3,過點尸作砂〃A8,當點B在點A的右側時，ZABC=a,AADC=p,根據(jù)平行線的性質及角

平分線的定義即可求出NBFD的度數(shù).

【詳解】解：(1)如圖1，過點E作瓦V/AB,

AB

E-

C'D

圖1

則有N8￡F=ZB,

AB//CD,

:.EF//CD,

:2FED=/D,

:.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD；

(2)①如圖2,過點尸作莊//AB,

BA

E

DC

圖2

有以FE=/FBA.

AB//CD,

:.EF//CD.

:"EFD=NFDC.

:./BFE+/EFD=NFBA+/FDC.

即ZBFD=4FBA+ZFDC,

BF平分/ABC,OF平分NADC,

/.ZFBA=-ZABC=25°ZFDC=-ZADC=30°

2f2f

ZBFD=NFBA+ZFDC=55。.

答：ZBFD的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點尸作EE//AB,

有NBFE+NFR4=180。.

:.ZBFE=}S(f-ZFBAf

AB//CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180。-NFBA+NFDC.

即4BFD=180°-4FBA+ZFDC,

8戶平分NA5。，。尸平分ZADC,

.\ZFBA=^ZABC=^a,ZFDC=^ZADC=^J3,

/BFD=180°-ZFBA+ZFDC=180°--?+-^.

22

答：N3ED的度數(shù)為180。-；&+；夕.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.

12.(2023春?七年級課時練習)已知，AB//CD.點M在AB上，點N在CD上.

(1)如圖1中，NBME、/￡、的數(shù)量關系為：；(不需要證明)

如圖2中，NBMF、乙F、的數(shù)量關系為：；(不需要證明)

(2)如圖3中，修平分/月叨…監(jiān)平分NA幽且2N￡+N￡=180°,求N/1E1的度數(shù)；

(3)如圖4中，N8如=60°,EF平分匕MEN,NP平分4END,豆EQ〃NP,則N,說的大小是否發(fā)生變化,

若變化，請說明理由，若不變化，求出/儂的度數(shù).

【答案】(1)4BME=4MEN-4END；ABMF=AMFN+Z.FND-,(2)120°；(3)不變，30°

【分析】(1)過￡作EH//AB,易得EH//AB//CD,根據(jù)平行線的性質可求解；過尸作FH//AB,易得FH//AB//CD,

根據(jù)平行線的性質可求解；

(2)根據(jù)(1)的結論及角平分線的定義可得2JB附/END)+/陰仞=180°,可求解/剛片60°,

進而可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義可推知/包03/8仍，進而可求解.

【詳解】解：(1)過￡作分/〃/8,如圖1,

圖1

NBME=AMEH,

'：AB//CD,

：.HE//CD,

：.AEND=ZHEN,

：.4MEN=ZMEH+AHEN=ABME+AEND,

即N8監(jiān)'=/也訃AEND.

如圖2,這F作FH"AB,

：.^BMF=ZMFK,

'：AB//CD,

：.FH//CD,

:"FNA匕KFN,

:./MFN=/MFK-NKFN=NBMF-4FND,

即：NBMF=4MFN+NFND.

圖2

故答案為NBME=AMEN-/END；/BMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得2BME=NMEN-ZEND；ABMF^AMFN+ZFND.

：.A/平分/在物，*平分/￡陽

,ZFME=ZBME+NBMF,4FND=AFNE+ZEND,

?：24MEN+/MFN=180°,

，2(NBME+AEND}+ABMF-NFND=180°,

：.2/BME+2ZEND+/BMF-4FNg\80°,

於2NBMF+NFND+NBMF-ZFND=\80°,

解得/1=60°,

:"FME=2NBMF=12Q°；

(3)/在0的大小沒發(fā)生變化，/碇=30°.

由(1)知：4MEN=4BME+4END,

,：3平分匕MEN,NP平■'分4END,

：.ZFEN=yZ.MEN=yQBME+ZEND),4ENP=』ZEND,

'：EQ//NP,

：.4NEQ=Z.ENP,

，NFEQ=AFEN-4NEQ=y(NBME+AEND)-|ZEND=yABME,

?：/BME=60°,

X60°=30°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵.

13.（2023春?七年級課時練習）如圖1,點A、B分別在直線G4、MN上,NGAC=NNBD,NC=ND.

（1）求證：GHUMN；（提示：可延長AC交MN于點尸進行證明）

（2）如圖2,AE^ZGAC,DE平分NBDC,若NAED=NG4C,求NGAC與NACD之間的數(shù)量關系;

（3）在（2）的條件下，如圖3,即平分"8W,點K在射線8F上，ZKAG=^ZGAC,若ZAKB=ZACD,

直接寫出NGAC的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）ZACD=3ZGAC,見解析；（3）（符）或（署）.

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質求證即可；

（2）根據(jù)三角形的內角和為180。和平角定義得到ZAQD=NE+NE4。，結合平行線的性質得到

NBDQ=NE+NEAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得NCD8=2/E+NG4C,結合已知即可得出結論；

（3）分當K在直線GH下方和當K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質、三角形外角性質、角平分

線定義求解即可.

【詳解】解：（1）如圖1，延長4c交MN于?點P,

■:ZACD=ZC,

：.AP//BD,

二NNBD=ZNPA,

■:4GAC=ANBD,

:.ZGAC=ZNPA,

：.GH//MN；

?.?NE+NE4Q+N4QE=180。，NAQE+NAQD=180。，

，ZAQD=NE+NEAQ,

AP//BD,

：.ZAQD=/BDQ,

N3OQ=NE+NE4Q,

TAE平分NGAC,DE平分NBDC,

：.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,

.??ZCDB=2ZE+ZGAC,

?:ZAED=NGAC,ZACD=/CDB,

：.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC；

(3)當K在直線G"下方時，如圖，設射線M交G”于/,

圖3

■:GHHMN,

：.ZAIB=NFBM,

?/BF平分ZMBD,

??.ZDBF=ZFBM=-(180°-ZDBN),

2

:.ZAIB=/DBF,

VZAIB+ZKAG=ZAKB,ZAXB=ZACD,

:.ZACD=/DBF+ZKAG,

?；NKAG=-ZGAC,ZGAC=ZNBD,

3

Z.-ZGAC+-(180°-2DBN)=ZACD=3NGAC,

32

即|ZGAC+90°-1Z.GAC=3ZGAC,

解得：NG4C=(需).

當K在直線GH上方時，如圖，同理可證得NA/B=g(180°-NOBN)=NAK8+NK4G,

貝lj有3NGAC+g/GAC=g(180-ZGAC),

綜上,故答案為用)或償)?

【點睛】本題考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形的外角性質、三角形的內角和定理、平

角定義、角度的運算，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵.

14.(2023春?七年級課時練習)已知/6〃切，N4比?的角分線與應的角分線相交于點尸.

(1)如圖1,若BM、〃“分別是//筋和/儂的角平分線，且/瓦沙=100°,求N4的度數(shù)；

(2)如圖2,若NABM=；NABF,NCDM=gzCDF,ABED=a°,求乙"的度數(shù)；

(3)若NABM=LNABF,/曲仁^/物，請直接寫出N"與/版之間的數(shù)量關系.

nn

36()。_

【答案】(1)65°(2)-~~--(3)2〃/加/曲=360°

6

【分析】(1)首先作用〃被FH//AB,利用平行線的性質可得N4質/跡260°,再利用角平分線的定義

得到分/加=130。，從而得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求N"的度數(shù)；

(2)先由已知得到//夠NCDB*>4CDM,由(1)得N仍於/夕辰360°-ABED,N護NAB槍NCDM,

等量代換即可求解；

(3)先由己知得到N4BF=〃ZABM,ZCDF=nZCDM,由(2)的方法可得到2〃/冊/座加360°.

【詳解】解：⑴如圖1,作EG〃A3,FH//AB,

圖1

?；AB//CD,

：.EG//AB//FH//CD,

：.ZABF=ZBFH,NCDF=ADFH,ZABE+NBEG=180°,NGED+NCDE=180°,

ZABE+ZBEG+NGED+ZCDE=36()。，

■:ZBED=ZBEG+ZDEG=100°,

，ZABE+Z.CDE=260°,

?；ZABE的角平分線和NCDE的角平分線相交于F,

：.ZABF+ZCDF=\3O°,

：.ABFD=ZBFH+ZDFH=130°,

BM、DM分別是NAB尸和NCDF的角平分線，

:.NMBF=-ZABF,NMDF=-NCDF,

22

，NMBF+ZMDF=65°,

，ZB7WD=130O-65O=65°；

(2)如圖2,VZABM=^ZABFf/CDM=；NCDF,

AZABF=3ZABM,/CDF=3NCDM,

?/NABE與NCOE兩個角的角平分線相交于點F,

AZABE=6ZABM,/CDE=6/CDM,

：.6ZABM+6/CDM+ABED=360°,

*/NBMD=ZABM+NCDM,

???6NBMD+NBED=360°,

???/g幽士

6

(3)Y/ABM=、NABF,4CDM=L/CDF,

nn

：.ZABF=nZABM,NCDF=nZCDM,

???一ABE與NCDE兩個角的角平分線相交于點F,

二ZABE=InZABM,NCDE=2nNCDM,

InZABM+2nZCDM+NBED=360°,

ZM=ZABM+ZCDM,

二2nZM+ZBED=360°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的計算，關鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內錯角

相等，同旁內角互補的性質.

15.(2023春?七年級課時練習)已知直線做GV和點6在同一平面內，且4/〃。4ABLBC.

(1)如圖1,求//和/C之間的數(shù)量關系；

(2)如圖2,若陰，4%垂足為〃，求證：NABg/C；

(3)如圖3,已知點D、E、產都在直線上，且N45A/A窈，BF平■分4DBC,BE平分4ABD."4FC皆/NCF

=180°,4BFC=34DBE,請直接寫出的度數(shù).

【答案】（1）ZA+Z（=WQ；（2）見解析；（3）NEB0105°.

【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系求解.

（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系.

（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質求解.

【詳解】解：（1）如圖1,

圖1

9：AM//CN,

：.Z(=ZAOBf

*：AB工BC,

：.ZABC=90°,

???/1+/力嬌90°,

ZJ+ZC^90°,

故答案為：ZJ+Z^90°；

(2)如圖2,試點、B作.BG〃DM,

:?DBLBG,

:"DBGW,

:?/AB>/A除9y,

YABLBC,

:?/CBGQABG=9QQ,

???4AB2/CBG,

9

：AM//CNf

：.4人CBG,

:ZABA/G

：.CN//BG,

:ZCBG^/BCN,

■:BF平分4DBC,BE平分NABD,

：?4DBP=4CBF,4DBE=/ABE,

?.?2ABD-4NCB,

:./ABD-/CBG,

:./AB六NGBF,

'設/DBFa,ZABkB,

貝IJNZ陷〃，AABD-2a=ZCBGf

/GB2NAFFB,

4BFO34DB43a,

?:BG〃DM,

：?4DF%4GBXB,

：./AF8/BFC+/DFB-3。+￡,

VZJ^ZAC7^180°,/此冰NM7Q80。，

：.ZFCS=ZAFC=3。+￡,

△比尸中，由/例4/班介/比足480°得：

2。+￡+3a+3。+￡=180°,

YAB1.BC,

???￡+￡+2。=90°,

a=15°,

除15°,

:.NEBC=/ABE+NABC=15°+90°=105°.

【點睛】本題考查平行線性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，畫輔助線，找到角的關系是求解本

題的關鍵.

16.（2021春?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB〃CD,點。在直線CD上，點P在直線A8和CD之

（2）過點。作OE//P。交尸B的延長線于點E,作-QEP的平分線E尸交PO于點F,請在備用圖中補全圖

形，猜想EF與PD的位置關系，并證明；

（3）將（2）中的“作/￡>EP的平分線E尸交尸。于點尸”改為“作射線E尸將一￡>￡尸分為1:3兩個部分，

交叨于點尸”，其余條件不變，連接E。，若EQ恰好平分NPQ。，請直接寫出NFEQ=（用

含a的式子表示）.

a3

【答案】（1）NBPD=2a；（2）畫圖見解析，EFYPD,證明見解析；（3）45。-工或45。-彳a

22

【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出PG〃筋//CZ）,再利用平行線的性質進行求解；

（2）猜測麻，尸。，根據(jù)尸￡>平分NBPQ,ZBPD=2a,推導出NBPD=ZDPQ=2a,再根據(jù)DEIIPQ、EF

平分NDEP,通過等量代換求解；

（3）分兩種情況進行討論，即當NPEF:ZDEF=1:3與NDEF:NPEF=1:3,充分利用平行線的性質、角平

分線的性質、等量代換的思想進行求解.

【詳解】（1）過點P作PG〃4?,

AB//CD,PGIIAB,

:.PG//AB//CD,

/BPG=/ABP=a,Z.DPG=Z.PDQ=a,

/BPD=NBPG+ZDPG=2a.

(2)根據(jù)題意，補全圖形如下：

猜測EF_LP。，

由（1）可知：乙BPD=2a,

P￡＞平分NBPQ,/BPD=2a,

/.ZBPD=ZDPQ=2a9

DE//PQ,

/EDP=/DPQ=2a,

ZDEP=180°-/BPD-/EDP=180。—4a,

又EF平分ZDEP,

Z.PEF=-Z.DEP=90°-2a,

2

...ZEFD=180°-ZPEF-/BPD=90°，

:.EFLPD.

(3)①如圖1,

圖1

NPEF:NDEF=1:3,

由（2）可知：ZEPD=ZDPQ=ZEDP=2a,ZDEP=180°-4?,

/PEF"DEF=1:3,

Z.PEF=-ZDEP=45。-a,

4

3

NDEF=—NDEP=135。-3a,

4

DEUPQ,

NDEQ=NPQE,

NEOQ+NPQO=180。，

/EDP=2a,/PDQ=a,

NEDQ=NEDP+ZPDQ=3a,

ZPQD=180°-ZEDQ=180°-36z,

又E。平分NPQ。，

13

NPQE=Z.DQE=ZDEQ=-NPQD=90°-1a,

33

??.ZFEQ=ZDEF-ZDEQ=1350-3a-（90o--a）=45°--a；

22

ZZ無尸=180。-4。，NPQD=180。-3a（同①）;

若NDEF:NPEF=1:3,

則有NOEF=LN￡>EP=』x（180°-4a）=45°-a,

44

113

又NPQE=NOQE=不NPQO=2x（180。-3a）=90。-產

.DE//PQ,

NDEQ=NPQE=90°-|a,

NFEQ=ZDEQ-ZDEF=45。一ga,

3CL

綜上所述：//￡：。=45。-5?；?5。-耳，

故答案是：45。-a]