教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷1（共200題）

教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷1（共8套）（共200題）教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、a⊥b的充要條件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a.0=0D、a//b的充要條件是x1y2—x2y1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)向量的數(shù)量積應(yīng)為一個(gè)數(shù)而不是向量，任意非零向量與零向量的數(shù)量積均為0而不是零向量，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．2、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a.bD、a×b標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題=(y1z2—z1y2)i+(z1x2—x1z2)j+(x1y2—y1x2)k，即等于向量的向量積a×b．3、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，兩向量的夾角為θ，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、｜b｜c(diǎn)osθ=∈R，稱為向量a在b方向上的投影，投影的絕對(duì)值稱為射影B、(a+b).(a—b)=(x12—x22)+(y12—y22)C、cosθ=D、(λa).b=λ(a.b)=a.(λb)(λ∈R)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：｜b｜c(diǎn)osθ=∈R，稱為向量b在向量a方向上的投影，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；(a+b).(a—b)=a2—b2=｜a｜2—｜b｜2=(x12—x22)+(y12—y22)，B項(xiàng)正確；C、D項(xiàng)分別是向量的夾角公式和向量與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律公式，均正確，因此本題選A．4、向量a=(m，2，1)，b=(2，—1，n)，已知a和b不平行，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若a∥b，則，解得m=—4，n=．因此，當(dāng)a和b不平行時(shí)，只需滿足m≠—4或n≠即可．5、已知a=—2i+mj+3k，b=ni—2j—k是空間中的兩個(gè)向量，則“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)a∥b時(shí)，有，解得m=6，n=，所以“a∥b”是“m=6，n=”的充分條件；當(dāng)m=6，n=時(shí)，a=—2i+6j+3k，b=—2j—k，則a=—3b，即a∥b，所以“a∥b”是“m=6，n=”的必要條件，因此本題選B．6、已知a=(1，—1，1)，b=(2，2，1)，則a在b上的投影為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜a｜c(diǎn)os即為a在b上的投影，將題干中的數(shù)代入，則有｜a｜c(diǎn)os=.7、已知空間內(nèi)兩直線l1：和l2：，若l1∥l2，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(m，2，—1)，s2=(4，3，—n)，因?yàn)閘1∥l2，所以，解得．8、在平行四邊形ABCD中，頂點(diǎn)A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，—1，3)，則平行四邊形ABCD的面積為()．A、3B、C、D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，，所以，cos∠BAC=，又因?yàn)椤螧AC是平行四邊形的內(nèi)角，所以∠BAC∈(0，π)，sin∠BAC=.9、已知空間內(nèi)兩直線l1：和l2：，則“l(fā)1⊥l2”是“m=—n=—2”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(2，m，—1)，s2=(n，3，—2)．若l1⊥l2，則有s1.s2=(2，m，—1).(n，3，—2)=2n+3m+2=0，無法推出m=—n=—2；若m=—n=—2，則s1=(2，—2，—1)，s2=(2，3，—2)，即s1.s2=0，所以l1⊥l2．綜上所述“l(fā)1⊥l2”是“m=—n=—2”的必要不充分條件．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知點(diǎn)P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P(x，y)分有向線段所成的比例為λ，即=_______(用表示)，x=_______，y=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)線段定比分點(diǎn)的向量公式可知，即(x，y)=.11、若x，y∈R，i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x—1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，則點(diǎn)N(x，y)的軌跡方程是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知點(diǎn)N(x，y)到F1(—1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為4，根據(jù)橢圓的定義可知N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的軌跡方程為.12、已知向量a=2i+2j—k，則與其方向相同的單位向量a′=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(1，2)，B(3，—1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C(x，y)滿足，其中λ+μ=1，則點(diǎn)C的軌跡方程是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3x+2y—7=0知識(shí)點(diǎn)解析：由題，根據(jù)三點(diǎn)共線定理可知，A，B，C三點(diǎn)共線．因此點(diǎn)C的軌跡是A，B所在的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是y—2=，即3x+2y—7=0．14、已知空間內(nèi)兩個(gè)平面α：x—my+2z=4，β：—x+y—2z=1，若α與β的二面角的正切值為，則m=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3或知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知，α，β的一個(gè)法向量分別是n1=(1，—m，2)，n2=(—1，1，—2)．設(shè)α，β的二面角為θ，因?yàn)棣取蔥0，π]，tanθ=，所以cosθ=—cos＜n1，n2＞=，即cos＜n1，n2＞=，解得m=3或m=.15、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a—b｜=，則a與b的夾角為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜a—b｜2=(a—b)2=a2—2a.b+b2=1—2a.b+4=3，所以a.b=—1，故cos＜a，b＞=，所以a與b的夾角為．16、若向量m，n的夾角為60°，｜m｜=2，｜n｜=，則(m+2n)(m—n)=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(m+2n)(m—n)=m2+m.n—2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜c(diǎn)os60°—2｜n｜2=4+2×—2×3=．17、已知向量a=2i+3j—k，b=—i+2j—2k，c=2ma—3nb，若c⊥x軸，則m=_______．(用n表示)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有c=2m(2i+3j—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j—(2m—6n)k，取x軸單位方向向量e=(1，0，0)，因?yàn)閏⊥x軸，所以c⊥e，即c.e=(4m+3n，6m—6n，—2m+6n).(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=．三、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)18、已知函數(shù)y=，如圖過點(diǎn)M(0，—1)作斜率為k的直線l交該函數(shù)圖像于A，B兩點(diǎn)．若該函數(shù)曲線的焦點(diǎn)F與A，B，C三點(diǎn)按圖中順序連接成平行四邊形，求點(diǎn)C的軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，1)，設(shè)A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為.因?yàn)镕(0，1)，M(0，—1)，所以.又因?yàn)镸、A、B三點(diǎn)共線，所以．所以，即x1x2(x1—x2)=4(x1—x2)．因?yàn)閤1≠x2，所以x1x2=4．又因?yàn)樗倪呅蜛CBF為平行四邊形，所以，所以，所以y=.又因?yàn)閤1=x—x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．又因?yàn)閥==1.所以點(diǎn)C的軌跡方程是y=—3(y＞1).知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析在正方體ABCD—A′B′C′D′中，=a．19、證明：AB′⊥CD′.標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．由圖知A(a，0，0)，B′(a，a，a)，C(0，a，0)，D′(0，0，a)，所以=(0，a，a)，=(0，—a，a)，因?yàn)?0×0+a×(—a)+a×a=0，所以，即AB′⊥CD′．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求二面角D—A′C′—B的正切值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)面DA′C′的法向量為，n1=(x1，y1，z1)，面BA′C′的法向量為n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A′C′—B的平面角為α．由圖知=(—a，a，0)，=(—a，0，—a)，因?yàn)閚1⊥面DA′C′,所以.令z1=1，則x1=y1=—1，所以面DA′C′的一個(gè)法向量為，n1=(—1，—1，1)．同理可得面BA′C′的一個(gè)法向量為n2=(1，1，1)．所以cos1，n2>=.所以cosα=，所以tanα=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析請(qǐng)用向量證明下列推論：21、直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角是直角.標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，BC為⊙O的直徑，A為圓上不同于B、C的一點(diǎn)．所以，即∠BAC=90°.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、平面上對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，ABCD為四邊形，O分別為AC、BD的中點(diǎn)．由圖可知，.因?yàn)閷?duì)角線相互平分，所以該四邊形是平行四邊形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、已知a=一2i+mj+3k，b=nj-2j一k是空間中的兩個(gè)向量，則“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、已知向量a=i+2j一k，b=-2i一j+k=，則a×b=()．A、一i—jB、3i—j+3kC、一5D、i+j+3k標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：a×b=(1，2，一1)×(一2，一1，1)=[2×1一(一1)×(一1)i+[(一1)×(一2)一1×]j+[1×(一1)-2×(一2)]k=i+j+3k．3、已知空間內(nèi)的三點(diǎn)A(2，1，一2)，B(1，1，一1)，C(1，2，一2)，則∠ABC=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知a=(1，一1，1)，b=(2，2，1)，則a在b上的投影為()．A、3B、一3C、D、一標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜a｜c(diǎn)os(a，b)即為a在b上的投影，將題干中的數(shù)代入，則有｜acos(a，b)=5、已知空間內(nèi)兩直線l1：，若l1∥l2，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(m，2，一1)，s2-(4，3，一n)，因?yàn)閘1∥l2，所以．6、已知n=(1，2)，m=(-2，1)．若向量=()．A、(3，1)B、(-3，一1)C、(一1，3)D、(-1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=n—m一(1，2)一(一2，1)=(3，1)．7、向量a=(x，2，1)，b=(2，一1，y)，a⊥b，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象不經(jīng)過()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍⊥b，所以a．b=2x一2+y=0，即y=一2x+2，如圖所示，該函數(shù)圖象不過第三象限．8、在平行四邊形ABCD中，頂點(diǎn)A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，一1，3)，則平行四邊形ABCD的面積為()．A、3B、C、D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：9、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空間中的三個(gè)向量，則“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：三向量共面的充要條件是(a×b)．c=0，即=0，所以m+8n一3mn=0．當(dāng)m=0且n=0時(shí)，等式成立，可推出三向量共面；當(dāng)三向量共面時(shí)，無法推出m=0且n=0．因此選A．10、已知a=mi+j一2k，b=一3i+j一nk是空間中的兩個(gè)向量，則“a⊥b”是“m=1，n=1”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)a⊥b時(shí)，有a．b=一3m+1+2n=0，無法推出m=1，n=1，所以“a⊥b”是“m=1，n=1”的不充分條件；當(dāng)m=1，n=1時(shí)，a=i+j一2k，b=一3i+j一k，a．b=一3+1+2=0，即a⊥b，所以“a⊥b”是“m=1，n=1”的必要條件．因此本題選C．11、已知空間內(nèi)兩直線l1：，則“l(fā)1⊥l2”是“m=一n=一2”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(2，m，一1)，s2=(n，3，一2)．若l1⊥l2，則有s1．s2=(2，m，一1)．(n，3，一2)=2n+3m+2=0，無法推出m=一n=一2；若m=一n=一2，則s1=(2，一2，一1)，s2=(2，3，一2)，即s1．s2=0，所以l1⊥l2．綜上所述“l(fā)1⊥l2”是“m=一n=一2”的必要不充分條件．12、在四面體OABC中，OB=OC=1，∠AOB=∠AOC==()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)13、將空間中一點(diǎn)M(1，1，2)按向量a=(一1，一2，1)平移后，所得點(diǎn)M’的坐標(biāo)為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，一1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知，=a，所以M’的坐標(biāo)(x，y，z)=(1，1，2)+(一1，一2，1)=(0，一1，3)．14、已知空間內(nèi)兩個(gè)平面α：x—my+2z=4，β：一x+y-2z=1，若α與β的二面角的正切值為，則m=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3或一知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知，α，β的一個(gè)法向量分別是n1=(1，一m，2)，n2=(一1，1，一2)．設(shè)α，β的15、已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系x，y，z三個(gè)軸的單位向量，若s=i+j+k，則｜s｜=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知i，j，k之間相互垂直，所以i．j=0，j．k=0，i．k=0．又因?yàn)镾2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i．j+2j．k+2i．k=3，所以｜s｜=。16、已知直線l：=3—z，過點(diǎn)A(3，5，一2)與該直線平行的直線方程是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：=-2-z知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗笾本€與直線l平行，所以l的方向向量(2，一2，一1)即為所求直線方程的方向向量；又因?yàn)橹本€過A(3，5，一2)，所以所求直線方程為=一2—z．17、已知數(shù)列{an}為a1=1且公差不為0的等差數(shù)列，向量p=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若p∥q，則an的通項(xiàng)公式是___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：an=3n一2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n一1)d．因?yàn)閜∥q，所以，解得d=3或0(舍去)．因此an=3n一2．18、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a-b｜=．則a與b的夾角為___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜a一b｜2=(a一b)2=a2一2a．b+b2=1—2a．b+4=3，所以a．b=1，故cos=。19、已知向量a=(3，4，5)，則與a平行的單位向量n=___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：20、已知空間中三個(gè)向量a=(2，1，一1)，b=(一1，3，2)，c=(2，一2，1)，則(a×b).c=___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：23知識(shí)點(diǎn)解析：(a×b)．c=(1×2一(一1)×3，(一1)×(一1)一2×2，2×3—1×(一1))．(2，一2，1)=(5，一3，7)．(2，一2，1)=23．21、若向量m，n的夾角為60°，｜m｜=2，｜n｜=，則(m+2n)(m-n)=___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：(m+2n)(m一n)=m2+m．n一2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜c(diǎn)os60°一2｜n｜2=4+2×．22、已知空間兩直線l1：，則直線l1，l2的夾角的余弦值是___________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知直線l1，l2的方向向量分別是s1=(2，一3，一1)，s2=(一3，1，2)，｜s1｜=23、已知a⊥b，｜a｜=2，｜b｜=4，則｜a+b｜___________｜a-b｜．(填“＞”“＜”或“=”)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：=知識(shí)點(diǎn)解析：24、已知向量a=2i+3j-k，b=一i+2j一2k，c=2ma一3nb，若c⊥x軸，則m=___________．(用n表示)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有c=2m(2i+3j-k)一3n(一i+2j一2k)=(4m+3n)i+(6m一6n)j一(2m一6n)k，取x軸單位方向向量e=(1，0，0)，因?yàn)閏⊥x軸，所以c⊥e，即c．e=(4m+3n，6m一6n，一2m+6n)．(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=一．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)25、已知空間直線L的一般方程為，求：(1)直線L與平面α：x一2y+z一2=0所成角的正弦值；(2)過點(diǎn)A(3，2，一1)且垂直于直線L的平面β．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)依題意知平面α的一個(gè)法向量為n1=(1，一2，1)，(2)因?yàn)槠矫姒屡c直線l垂直，所以可令平面β的法向量n2=s=(5，一5，一5)．又因?yàn)槠矫姒逻^點(diǎn)A(3，2，一1)，所以平面β的方程為5(x一3)一5(y一2)一5(z+1)=0，即x—y—z一2=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、已知ai，bi∈R(i=1，2，3)，試證明不等式≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則｜a．b｜=｜a｜｜b｜｜c(diǎn)os(a．b)｜．因?yàn)椋點(diǎn)os｜≤1，所以｜a｜｜b｜≥｜a．b｜．即≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜，當(dāng)cos=±1時(shí)取等號(hào)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、已知空間向量a=(3，0，-4)，b=(2，一3，1)，求：(1)a．b，a×b；(2)(2a)．(一b)，(一a)×(2b)；(3)向量a，b所成角的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)a．b=(3，0，一4)．(2，一3，1)=3×2+0×(一3)+(一4)×1=2；a×b==-12i—11j一9k．(2)(2a)．(一b)=一2(a．b)=一2×2=一4；(-a)×(2b)=一2(a×b)=一2(一12i—11j一9k)=24f+22j+18k．a(chǎn)與b的夾角在[0，π]的范圍內(nèi)，所以0≤sin≤1．所以sin{a，b>=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、已知A(一1，1，一2)，B(一5，6，2)，C(一1，一3，1)，求：(1)過點(diǎn)M(一2，3，1)且與A，B，C三點(diǎn)所在平面平行的平面β；(2)向量的模；(3)點(diǎn)A到BC的距離．(結(jié)果用根號(hào)表示即可)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在的平面α的法向量為n=(x’，y’，z’)．因?yàn)棣痢桅?，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因?yàn)槠矫姒逻^點(diǎn)(一2，3，1)，所以平面β的方程為(x+2)+3(y一3)+4(z一1)=0，整理可得平面β的方程為31x+12y+16z+10=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、請(qǐng)用向量證明下列推論：(1)直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角是直角；(2)平面上對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)如圖所示，BC為⊙O的直徑，A為圓上不同于B、C的一點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、已知a，b，c是平面上三個(gè)單位向量，且a+b+c=0．(1)證明：(a-b)⊥c；(2)若｜a一b+kc｜＞2(k∈R)，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閍、b、c為單位向量，所以｜a｜=｜b｜=｜c(diǎn)｜=1．設(shè)a與b之間的夾角為θ，由題干得a+b=一c，即(a+b)2=c2．化簡為｜a｜2+2｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ+｜b｜2=｜c(diǎn)｜2．所以(a一b)．c=a．c—b．c=1×1×cos120°一1×1×cos120°=0．即(a—b)⊥c．(2)因?yàn)椋黙一b+kc｜＞2，所以a｜一b+kc｜2＞4，即a2+b2+k2c2一2a．b+2kac一2kb.c＞4，即k2一1＞0，解得k＜一1或k＞1．故k的取值范圍是(一∞，一1)∪(1，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列各組向量中滿足a//b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(—1，—1，—1)，b=(1，0，1)C、a=(—2，1，4)，b=D、a=(1，—2，—2)，b=標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb．因此本題選D．2、在△ABC中，，則該三角形是()．A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?0，所以，故△ABC為直角三角形．3、定義平面向量之間的一種運(yùn)算如下，對(duì)任意的m=(a，b)，n=(c，d)，令=ac+bd，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、若m與n共線，則=0B、C、對(duì)任意的λ∈R，有D、若m與n不垂直，則≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若m與n共線，則ad—bc=0，故A錯(cuò)誤，其他三項(xiàng)中的運(yùn)算均正確．4、向量a的模｜a｜=1，向量b的模｜b｜=2，且滿足，則向量a與向量b的夾角為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題可知，｜a｜=1，｜b｜=2，因?yàn)?｜a｜｜b｜c(diǎn)os+，解得cos=，因?yàn)閵A角θ∈[0，π]，故向量a，b的夾角為，答案為A．5、已知向量c=(2，3，—1)—2(—1，0，2)，若用標(biāo)準(zhǔn)基i、j、k表示c，則c=()．A、i+2j+kB、3j+3kC、4i+3j—5kD、3i+3j—3k標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：c=(2，3，—1)—2(—1，0，2)=(4，3，—5)=4i+3j—5k．6、已知空間內(nèi)的三點(diǎn)A(2，1，—2)，B(1，1，—1)，C(1，2，—2)，則∠ABC=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有=(1，0，—1)，=(0，1，—1)，所以cos∠ABC=，又因?yàn)椤螦BC∈[0，π]，所以∠ABC=.7、向量a=(x，2，1)，b=(2，—1，y)，a⊥b，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像不經(jīng)過()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍⊥b，所以a.b=2x—2+y=0，即y=—2x+2，如圖所示，該函數(shù)圖像不過第三象限．8、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上，且滿足=()．A、—2B、C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳M=1，點(diǎn)P在AM上且，因此，答案為B．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、已知空間內(nèi)的兩點(diǎn)M(1，3，2)，N(—2，1，1)，則=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，=(—3，—2，—1)，所以.10、如圖所示，在四面體OABC中，線段MN，PQ分別是△OAB和△ABC的中位線，且，用a，b，c表示=________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知M、Q分別是線段OA、BC的中點(diǎn)，故.11、若向量｜a｜=，｜b｜=1，a⊥(a—2b)，則向量a與b的夾角為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有a.(a—2b)=a2—2a.b=｜a｜2—2｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞=×1×cos＜a，b＞=0，所以cos＜a，b＞=．又因?yàn)閍與b的夾角在[0，π]范圍內(nèi)，所以a與b的夾角為．12、已知向量a、b滿足｜a+b｜=，｜a｜=1，｜b｜=4，則a與b的夾角為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有｜a+b｜2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜c(diǎn)os=1+16+8.cos=13，所以cos=，又因?yàn)閍與b的夾角在[0，π]范圍內(nèi)，故向量a，b的夾角為．13、將空間中一點(diǎn)M(1，1，2)按向量a=(—1，—2，1)平移后，所得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，—1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知，=a，所以M′的坐標(biāo)(x，y，z)=(1，1，2)+(—1，—2，1)=(0，—1，3)．14、已知直線l：=3—z，過點(diǎn)A(3，5，—2)與該直線平行的直線方程是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗笾本€與直線l平行，所以l的方向向量(2，—2，—1)即為所求直線方程的方向向量；又因?yàn)橹本€過A(3，5，—2)，所以所求直線方程為=—2—z.15、已知數(shù)列{an}為a1=1且公差不為0的等差數(shù)列，向量P=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若P∥q，則an的通項(xiàng)公式是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：an=3n—2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n—1)d．因?yàn)閜∥q，所以，解得d=3或0(舍去)．因此an=3n—2．16、已知空間中三個(gè)向量a=(2，1，—1)，b=(—1，3，2)，c=(2，—2，1)，則(a×b).c=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：23知識(shí)點(diǎn)解析：(a×b).c=(1×2—(—1)×3，(—1)×(—1)—2×2，2×3—1×(—1)).(2，—2，1)=(5，—3，7).(2，—2，1)=23．17、已知a⊥b，｜a｜=2，｜b｜=4，則｜a+b｜________｜a—b｜．(填“＞”“＜”或“—”)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：=知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知a.b=0，所以｜a+b｜=，所以｜a+b｜=｜a—b｜．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)點(diǎn)P是不等式｜y｜≤所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，該點(diǎn)在區(qū)域邊界所在直線上的投影分別為M，N．若。18、求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意知｜y｜≤表示的區(qū)域邊界所在的直線分別為l1：y=(zx≥0)和l2：y=(x≥0)，所以∠MON=．因?yàn)镸P⊥l1，NP⊥l2，所以∠MPN=π—∠MON=．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)P在｜y｜≤表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以3x2≥y2．所以，即(x≥0).因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以(2，0)，(—2，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支：x2—=1(x≥1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知點(diǎn)C(1，0)，F(xiàn)(2，0)，過點(diǎn)F作直線l交P點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使AC⊥BC，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l：x=2，所以A(2，3)，B(2，—3)，顯然≠0．當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k(x—2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立l與P點(diǎn)軌跡方程，消去y得：(3—k2)x2+4k2x—(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3—k2)=36k2+36＞0，所以x1+x2=①x1x2=②．要使△ABC為直角三角形，則必有=0，即(x1—1)(x2—1)+y1y2=0，所以x1x2—(x1+x2)+1+k2(x1—2)(x2—2)=0，整理得(1+k2)x1x2—(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，將①②代入上式，解得k=0．當(dāng)k=0時(shí)，直線l與x軸重合，與P點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)．所以不存在這樣的直線，使得AC⊥BC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知ai，bi∈R(i=1，2，3)，試證明不等式≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則｜a.b｜=｜a｜｜b｜｜c(diǎn)os｜．因?yàn)椋點(diǎn)os｜≤1，所以｜a｜｜b｜≥｜a.b｜．即≥｜a1b1+a2b2+a3b3｜，當(dāng)cos=±1時(shí)取等號(hào)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知點(diǎn)A(—1，1，—2)，B(—5，6，2)，C(—1，—3，1)，求：21、過點(diǎn)M(—2，3，1)且與A，B，C三點(diǎn)所在平面平行的平面β.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在的平面α的法向量為n=(x′，y′，z′)．依題意知=(—4，5，4)，=(0，—4，3)，所以，即令z=4，代入上述方程組，解得x′=，y′=3，所以平面α的一個(gè)法向量為n=.因?yàn)棣痢桅?，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因?yàn)槠矫姒逻^點(diǎn)(—2，3，1)，所以平面β的方程為(x+2)+3(y—3)+4(z—1)=0，整理可得平面β的方程為31x+12y+16z+10=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、向量的模.標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?(4，—9，—1)，所以.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、點(diǎn)A到BC的距離．(結(jié)果用根號(hào)表示即可)標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意可設(shè)為其所在直線l的方向向量，且直線過C(—1，—3，1)，所以l的直線方程為：，所以A到BC的距離d=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、下列各組向量中滿足a∥b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(一1，一1，一1)，b=(1，0，1)C、a=(一2，1，4)，b=(1，，一2)D、a=(1，一2，一2)，b=(一，1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb．因此本題選D．2、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、a⊥b的充要條件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a．0=0D、a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)向量的數(shù)量積應(yīng)為一個(gè)數(shù)而不是向量，任意非零向量與零向量的數(shù)量積均為0而不是零向量，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．3、向量a=(一2，2，1)，b=(2，一1，一3)，則｜2a+3b｜=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2a+3b=2×(一2，2，1)+3×(2，一1，一3)=(2，1，一7)，所以｜2a+3b｜=．4、在△ABC中，，則該三角形是()．A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋省鰽BC為直角三角形．5、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a．bD、a×b標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題=(y1z2-z1y2)i+(z1x2一x1z2)j+(x1y2-y1x2)k，即等于向量的向量積a×b．6、已知空間內(nèi)兩個(gè)平面a：x一2y+2z=4，β：一x+y一2z=1，則α與β的夾角的余弦值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知平面α與β的一個(gè)法向量分別為n1=(1，一2，2)，n2=(1，一1，2)，兩平面夾角的范圍為，所以兩平面夾角的余弦值為cos(n1，n2)=。7、定義平面向量之間的一種運(yùn)算=ac+bd，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若m與n共線，則ad一bc=0，故A錯(cuò)誤．其他三項(xiàng)中的運(yùn)算均正確．8、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x1，y1)，兩向量的夾角為θ，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、｜b｜c(diǎn)osθ=∈R，稱為向量a在b方向上的投影，投影的絕對(duì)值稱為射影B、(a+b)．(a一b)=(x12-x22)+(y12-y22)C、cosθ=D、(λa)．b=λ(a．b)=a．(λb)(λ∈R)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：｜b｜c(diǎn)osθ=∈R，稱為向量b在向量a方向上的投影，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；(a+b)．(a-b)=a2一b2=｜a｜2-｜b｜2=(x12一x22)+(y12一y22)，B項(xiàng)正確；C、D項(xiàng)分別是向量的夾角公式和向量與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律公式，均正確．因此本題選A．9、已知｜a｜=3，｜b｜=5，若(ma+2b)⊥(ma-2b)，m∈R，則m=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有(ma+2b)．(ma-2b)=m2a2-4b2=9m2-4×25=0，解得m=±．10、下列說法正確的有()．①a．(b．c)=(a．b)．c；②λa與a同向；③a．(b+c)=a．b+a．c；④a+b=b+a；⑤(λ+μ)a=λa+μa．(λ、μ均為實(shí)數(shù))A、①②③B、②④⑤C、①③⑤D、③④⑤標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①錯(cuò)誤；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a異向，故②錯(cuò)誤；③④⑤分別是向量數(shù)量積的分配律運(yùn)算、向量加法中的交換律運(yùn)算和向量數(shù)乘中的分配律運(yùn)算，均正確．因此本題選D．11、若向量a、b為相互垂直的單位向量，則它們的數(shù)量積a．b=()．A、1B、一1C、0D、+l標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩向量垂直，則兩向量的數(shù)量積為0．12、向量a=(m，2，1)，b=(2，一1，n)，已知a和b不平行，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若a∥b，則．因此，當(dāng)a和b不平行時(shí)，只需滿足m≠一4或n≠一即可．13、已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，若O是線段所在直線外的一點(diǎn)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：14、已知向量c=(2，3，一1)-2(-1，0，2)，若用標(biāo)準(zhǔn)基i、j、k表示c，則c=()．A、i+2j+kB、3j+3kC、4i+3j一5kD、3i+3j一3k標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：c=(2，3，一1)一2(一1，0，2)=(4，3，一5)=4i+3j一5k．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、已知空間內(nèi)的兩點(diǎn)M(1，3，2)，N(一2，1，1)，則｜｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，16、已知點(diǎn)P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P(x，y)分有向線段，x=__________，y=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)線段定比分點(diǎn)的向量公式可知17、在△ABC中，已知=(一3，4)，∠C=60°，則面積S△ABC=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知=5，則∠A=∠C，又因?yàn)椤螩=60°，所以△ABC是邊長為5的等邊三角形，故S△ABC=18、如圖所示，在四面體OABC中，線段MN，PQ分別是△OAB和△ABC的中位線，且=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知M、Q分別是線段OA、BC的中點(diǎn)，故19、若x，y∈R，i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x一1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，則點(diǎn)N(x，y)的軌跡方程是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知點(diǎn)N(x，y)到F1(一1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為4，根據(jù)橢圓的定義可知N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且C=1，2a=4，所以b2=3，因此N的軌跡方程為=1．20、已知a=一2i+2j，b=一mi+j，c=4i+nj是平面內(nèi)的三個(gè)向量，若此三向量共線，則m+n=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意知a=(一2，2)，b=(一m，1)，c=(4，n)，因?yàn)槿蛄抗簿€，所以，解得m=1，n=一4，所以m+n=一3．21、若向量｜a｜=，｜b｜=1，a⊥(a-2b)，則向量a與b的夾角為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有a．(a-2b)=a2一2a．b=｜a｜2一2｜a｜｜b｜c(diǎn)os=．又因?yàn)閍與b的夾角在[0，π]范圍內(nèi)，所以a與b的夾角為．22、已知向量a=2i+2j—k，則與其方向相同的單位向量a’=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：23、已知向量a=(1，y，一1)，b=(x，4，3)，且x，y∈N*，若a．b=0，則xy的最大值是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍．b=x+4y一3=0，所以3=x+4y≥24、已知向量a、b滿足｜a+b｜=，｜a｜=1，｜b｜=4，則a與b的夾角為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有｜a+b｜2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜c(diǎn)os=1+16+8．cos=13，所以cos=一，又因?yàn)閍與b的夾角在[0，π]范圍內(nèi)，故向量a，b的夾角為．25、在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(1，2)，B(3，一1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C(x，y)滿足，其中λ+μ=1，則點(diǎn)C的軌跡方程是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3x+2y一7=0知識(shí)點(diǎn)解析：由題，根據(jù)三點(diǎn)共線定理可知，A，B，C三點(diǎn)共線．因此點(diǎn)C的軌跡是A，B所在的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是y一2=(x一1)，即3x+2y-7=0．26、一物體(可視為質(zhì)點(diǎn))在力F=2i+3j一k的作用下由點(diǎn)A(一3，1，2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(2，3，4)，則力做功為_________焦耳．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：14知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知位移=(2，3，一1)．(5，2，2)=14．三、解答題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)27、如圖，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD為三個(gè)互相垂直的平面，AB、AD、AF分別為兩兩平面的交線，，H、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCGH是平行四邊形；(2)判斷C、D、E、F四點(diǎn)是否共面?：為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)，又因?yàn)镠、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)，所以HG是AADF的中位線，即HG∥AD且HG=AD，所以BCHG，因此四邊形BCGH是平行四邊形．(2)同(1)可證得四邊形BEFH也是平行四邊形，所以EF∥BH．由(1)知CG∥BH，所以EF∥CG，則EF與CG共面．又因?yàn)镈∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、點(diǎn)P是不等式｜y｜≤所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，該點(diǎn)在區(qū)域邊界所在直線上的投影分別為M，N．若，(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)C(1，0)，F(xiàn)(2，0)，過點(diǎn)F作直線l交P點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使AC⊥BC，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)依題意知｜y｜≤表示的區(qū)域邊界所在的直線分別為l1：y=(x≥0)和因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以(2，0)，(一2，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支：x2-=1(x≥1)．(2)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l：x=2，所以A(2，3)，B(2，-3)，顯然≠0．當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立l與P點(diǎn)軌跡方程，消去y得：(3一k2)x2+4k2x一(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3一k2)=36k2+36＞0，所以x1+x2=②．要使△ABC為直角三角形，則必有=0，即(x1一1)(x2—1)+y1y2=0，所以x1x2一(x1+x2)+1+k2(x1一2)(x2—2)=0，整理得(1+k2)x1x2一(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，將①②代入上式，解得k=0．當(dāng)k=0時(shí)，直線l與x軸重合，與P點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)．所以不存在這樣的直線，使得AC⊥BC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、已知函數(shù)y=，如圖過點(diǎn)M(0，一1)作斜率為k的直線Z交該函數(shù)圖象于A，B兩點(diǎn)．若該函數(shù)曲線的焦點(diǎn)F與A，B，C三點(diǎn)按圖中順序連接成平行四邊形，求點(diǎn)C的軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，1)，設(shè)A，B，C5-點(diǎn)坐標(biāo)分別為，(x，y)．因?yàn)镕(0，1)，M(0，一1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、在正方體ABCD-A’B’C’D’中，=a．(1)證明：AB’⊥CD’；(2)求二面角D—A’C’一B的正切值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．由圖知A(a，0，0)，B’(a，a，a)，C(0，a，0)，D’(0，0，a)，(2)設(shè)面DA’C’的法向量為n1=(x1，y1，z1)，面BA’C’的法向量為n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A’C’一B的平面角為α．令z1=1，則x1=y1=一1，所以面DA’C’的一個(gè)法向量為n1=(一1，一1，1)．同理可得面BA’C’的一個(gè)法向量為n2=(1，1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、下列各組向量中滿足a//b的是()．A、a=(1，1，1)，b=(0，2，2)B、a=(－1，－1，－1)，b=(1，0，1)C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb．因此本題選D.2、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、a⊥b的充要條件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a·0=0D、a／／b的充要條件是x1y2--x2y1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)向量的數(shù)量積應(yīng)為一個(gè)數(shù)而不是向量，任意非零向量與零向量的數(shù)量積均為0而不是零向量，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．3、向量a=(－2，2，1)，b=(2，－1，－3)，則|2a+3b|=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2a+3b=2×(－2，2，1)+3×(2，－1，－3)=(2，1，－7)，所以|2a+3b|=4、在△ABC中，則該三角形是()．A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗怨省鰽BC為直角三角形．5、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則行列式表示的是()．A、a+bB、a－bC、a·bD、a×b標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題即等于向量的向量積a×b．6、已知空間內(nèi)兩個(gè)平面α：x－2y+2z=4，β：－x+y-2z=1，則α與β的夾角的余弦值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知平面α與β的一個(gè)法向量分別為n1=(1，－2，2)，，n2=(1，－1，2)，兩平面夾角的范圍為所以兩平面夾角的余弦值為7、定義平面向量之間的一種運(yùn)算如下，對(duì)任意的m=(a，b)，n=(c，d)，令mn=ac+bd，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若m與n共線，則ad－bc=0，故A錯(cuò)誤．其他三項(xiàng)中的運(yùn)算均正確．8、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，兩向量的夾角為θ，則下列說法錯(cuò)誤的是()．A、稱為向量a在b方向上的投影，投影的絕對(duì)值稱為射影B、(a+b)·(a-b)=(x12－x22)+(y12-y22)C、D、(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：稱為向量b在向量a方向上的投影，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；(a+b)·(a－b)=a2－b2=|a|2－|b|2=(x12－x22)+(y12－y22)，B項(xiàng)正確；C、D項(xiàng)分別是向量的夾角公式和向量與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律公式，均正確．因此本題選A．9、已知|a|=3，|b|=5，若(ma+2b)⊥(ma-2b)，m∈R，則m=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有(ma+2b)．(ma－2b)=m2a2－4b2=9m2－4×25=0，解得二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知空間內(nèi)的兩點(diǎn)M(1，3，2)，N(-2，1，1)，則FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知所以11、已知點(diǎn)P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P(x，y)分有向線段所成的比例為λ,FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)線段定比分點(diǎn)的向量公式可知即12、在△ABC中，已知∠C=60°，則面積S△ABC=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知?jiǎng)t∠A=∠C，又因?yàn)椤螩=60°，所以△ABC是邊長為5的等邊三角形，故13、如圖所示，在四面體OABC中，線段MN，PQ分別是△OAB和△ABC的中位線，且用a，b，c表示=___________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知M、Q分別是線段OA、BC的中點(diǎn)，故14、若x，y∈R，i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x－1)i+yj，且|a|+|b|=4，則點(diǎn)N(x，y)的軌跡方程是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知點(diǎn)N(x，y)到F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為4，根據(jù)橢圓的定義可知N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的軌跡方程為15、已知a=－2i+2j，b=－mi+j，c=4i+nj是平面內(nèi)的三個(gè)向量，若此三向量共線，則m+n=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意知a=(－2，2)，b=(－m，1)，c=(4，n)，因?yàn)槿蛄抗簿€，所以解得m=1，n=－4，所以m+n=－3．16、若向量|b|=1，a⊥(a－2b)，則向量a與b的夾角為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有a．(a－2b)=a2－2a．b=|a|2－2|a||b|cos(a，b)=×1×cos(a，b)=0，所以cos(a，b)=又因?yàn)閍與b的夾角在[0，π]范圍內(nèi)，所以a與b的夾角為17、已知向量a=2i+2j－k，則與其方向相同的單位向量a’=_____________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)如圖，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD為三個(gè)互相垂直的平面，AB、AD、AF分別為兩兩平面的交線，H、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)．18、證明：四邊形BCGH是平行四邊形；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗訠C//AD且又因?yàn)镠、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)，所以HG是△ADF的中位線，即HG//AD且所以因此四邊形BCGH是平行四邊形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、判斷C、D、E、F四點(diǎn)是否共面?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：同上題可證得四邊形BEFH也是平行四邊形，所以EF//BH．由上題知CG//BH，所以EF//CG，則EF與CG共面．又因?yàn)镈∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析點(diǎn)P是不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，該點(diǎn)在區(qū)域邊界所在直線上的投影分別為M，N．若20、求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意知表示的區(qū)域邊界所在的直線分別為l1：和l2：所以因?yàn)镸P⊥l1，NP⊥l2，所以∠MPN=π－∠MON=設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以(2，0)，(－2，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知點(diǎn)C(1，0)，F(xiàn)(2，0)，過點(diǎn)F作直線Z交P點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使AC⊥BC，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l：x=2，所以A(2，3)，B(2，－3)，顯然當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立l與P點(diǎn)軌跡方程消去y得：(3－k2)x2+4k2x－(3+4k2)=0．△=(4k2)2+4(3+4k2)(3－k2)=36k2+36>0，要使△ABC為直角三角形，則必有即(x1－1)(x2－1)+y1y2=0，所以x1x2－(x1+x2)+1+k2(x1－2)(x2－2)=0，整理得(1+k2)x1x2－(1+2k2)(x1+x2)+4k2+1=0，將①②代入上式，解得k=0．當(dāng)k=0時(shí)，直線l與x軸重合，與P點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)．所以不存在這樣的直線，使得AC⊥BC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知函數(shù)如圖過點(diǎn)M(0，－1)作斜率為k的直線l交該函數(shù)圖像于A，B兩點(diǎn)．若該函數(shù)曲線的焦點(diǎn)F與A，B，C三點(diǎn)按圖中順序連接成平行四邊形，求點(diǎn)C的軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，1)，設(shè)A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為因?yàn)镕(0，1)，M(0，－1)，所以又因?yàn)镸、A、B三點(diǎn)共線，因?yàn)閤1≠x2，所以x1x2=4．又因?yàn)樗倪呅蜛CBF為平行四邊形，又因?yàn)閤1=x－x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、向量a=(—2，2，1)，b=(2，—1，—3)，則｜2a+3b｜=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2a+3b=2×(—2，2，1)+3×(2，—1，—3)=(2，1，—7)，所以｜2a+3b｜=．2、已知空間內(nèi)兩個(gè)平面α：x—2y+2z=4，β：—x+y—2z=1，則α與β的夾角的余弦值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知平面α與β的一個(gè)法向量分別為n1=(1，—2，2)，n2=(1，—1，2)，兩平面夾角的范圍為，又｜n1｜==3，｜n2｜=，所以兩平面夾角的余弦值為cos＜n1，n2＞=.3、已知｜a｜=3，｜b｜=5，若(ma+2b)⊥(ma—2b)，m∈R，則m=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有(ma+2b).(ma—2b)=m2a2—4b2=9m2—4×25=0，解得m=．4、下列說法正確的有()．①a.(b.c)=(a.b).c；②λa與a同向；③a.(b+c)=a.b+a.c；④a+b=b+a；⑤(λ+μ)a=λa+μa．(λ、μ均為實(shí)數(shù))A、①②③B、②④⑤C、①③⑤D、③④⑤標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①錯(cuò)誤；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a異向，故②錯(cuò)誤；③④⑤分別是向量數(shù)量積的分配律運(yùn)算、向量加法中的交換律運(yùn)算和向量數(shù)乘中的分配律運(yùn)算，均正確．因此本題選D．5、已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，若O是線段所在直線外的一點(diǎn)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知.6、已知向量a=i+2j—k，b=—2i—j+k，則a×b=()．A、—i—jB、3i—j+3kC、—5D、i+j+3k標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：a×b=(1，2，—1)×(—2，—1，1)=[2×1—(—1)×(—1)]i+[(—1)×(—2)—1×1]j+[1×(—1)—2×(—2)]k=i+j+3k．7、已知n=(1，2)，m=(—2，1)，若向量=()．A、(3，1)B、(—3，—1)C、(—1，3)D、(—1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=n—m=(1，2)—(—2，1)=(3，1)．8、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空間中的三個(gè)向量，則“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：三向量共面的充要條件是(a×b).c=0，即=0，所以m+8n—3mn=0．當(dāng)m=0且n=0時(shí)，等式成立，可推出三向量共面；當(dāng)三向量共面時(shí)，無法推出m=0且n=0．因此選A．9、在四面體OABC中，OB=OC=1，∠AOB=∠AOC==()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)10、在△ABC中，已知=(4，3)，=(—3，4)，∠C=60°，則面積S△ABC=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知=5，則∠A=∠C，又因?yàn)椤螩=60°，所以△ABC是邊長為5的等邊三角形，故S△ABC=.11、已知a=—2i+2j，b=—mi+j，c=4i+nj是平面內(nèi)的三個(gè)向量，若此三向量共線，則m+n=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：—3知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意知a=(—2，2)，b=(—m，1)，c=(4，n)，因?yàn)槿蛄抗簿€，所以，解得m=1，n=—4，所以m+n=—3．12、已知向量a=(1，y，—1)，b=(x，4，3)，且x，y∈N*，若a.b=0，則xy的最大值是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍.b=x+4y—3=0，所以3=x+4y≥，即xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)(xy)max=.13、一物體(可視為質(zhì)點(diǎn))在力F=2i+3j—k的作用下由點(diǎn)A(—3，1，2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(2，3，4)，則力做功為_______焦耳．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：14知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知位移=(5，2，2)，所以力做的功W==(2，3，—1).(5，2，2)=14．14、已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系x，y，z三個(gè)軸的單位向量，若s=i+j+k，則｜s｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意知i，j，k之間相互垂直，所以i.j=0，j.k=0，i.k=0．又因?yàn)閟2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i.j+2j.k+2i.k=3，所以｜s｜=．15、已知向量a=(3，4，5)，則與a平行的單位向量，n=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：n=，所以與向量a平行的單位向量為.16、已知空間兩直線l1：和l2：，則直線l1，l2的夾角的余弦值是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知直線l1，l2的方向向量分別是S1=(2，—3，—1)，s2=(—3，1，2)，｜s1｜=｜s｜=，所以直線l1，l2的夾角的余弦值cos1，s2>=，又因?yàn)閮芍本€的夾角范圍為，所以直線l1與l2夾角的余弦值為.三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)如圖，平面ABCD、平面AFEB、平面FAD為三個(gè)互相垂直的平面，AB、AD、AF分別為兩兩平面的交線，，H、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)．17、證明：四邊形BCGH是平行四邊形；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?，所以BC∥AD且BC=．又因?yàn)镠、G分別為線段FA、FD的中點(diǎn)，所以HG是△ADF的中位線，即HG∥AD且HG=，所以，因此四邊形BCGH是平行四邊形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、判斷C、D、E、F四點(diǎn)是否共面?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：同上小題可證得四邊形BEFH也是平行四邊形，所以EF∥BH．由(1)知CG∥BH，所以EF∥CG，則EF與CG共面．又因?yàn)镈∈DF，DF平面EFGC，所以C、D、E、F四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知空間直線L的一般方程為，求：19、直線L與平面α：x—2y+z—2=0所成角的正弦值.標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意知平面α的一個(gè)法向量為n1=(1，—2，1)，直線L的方向向量s=(1，2，—1)×(2，—1，3)==(5，—5，—5)，因?yàn)橹本€L與平面α的夾角θ∈，所以sinθ=｜c(diǎn)os＜s，n1＞｜=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、過點(diǎn)A(3，2，—1)且垂直于直線L的平面β．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槠矫姒屡c直線l垂直，所以可令平面β的法向量，n2=s=(5，—5，—5)．又因?yàn)槠矫姒逻^點(diǎn)A(3，2，—1)，所以平面β的方程為5(x—3)—5(y—2)—5(z+1)=0，即x—y—z—2=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知空間向量a=(3，0，—4)，b=(2，—3，1)，求：21、a.b，a×b.標(biāo)準(zhǔn)答案：a.b=(3，0，—4).(2，—3，1)=3×2+0×(—3)+(—4)×1=2；a×b==—12i—11j—9k．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、(2a).(—b)，(—a)×(2b).標(biāo)準(zhǔn)答案：(2a).(—b)=—2(a.b)=—2×2=—4；(—a)×(2b)=—2(a×b)=—2(—12i—11j—9k)=24i+22j+18k．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、向量a，b所成角的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋黙｜=5，｜b｜=，所以cos=.a與b的夾角在[0，π]的范圍內(nèi)，所以0≤sin≤1．所以sin=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知a，b，c是平面上三個(gè)單位向量，且a+b+c=0．24、證明：(a—b)⊥c.標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍、b、c為單位向量，所以｜a｜=｜b｜=｜c(diǎn)｜=1．設(shè)a與b之間的夾角為θ，由題干得a+b=—c，即(a+b)2=c2．化簡為｜a｜2+2｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ+｜b｜2=｜c(diǎn)｜2．代入得cosθ=．因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ=．同理可求得a與c、b與c的夾角均為．所以(a—b).c=a.c—b.c=1×1×cos120°—1×1×cos120°=0．即(a—b)⊥c．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、若｜a—b+kc｜＞2(k∈R)，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋黙—b+kc｜＞2，所以｜a—b+kc｜2＞4，即a2+b2+k2c2—2a.b+2ka.c—2kb.C＞4，因?yàn)閍．c=b．c=a．b=，所以k2+1+1—2×＞4即k2—1＞0，解得k＜—1或k＞1．故k的取值范圍是(—∞，—1)∪(1，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（向量）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知空間內(nèi)兩直線l1:若l1//l2，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(m，2，－1)，s2=(4，3，－n)，因?yàn)閘1//l2，所以解得2、已知n=(1，2)，m=(-2，1)．若向量A、(3，1)B、(－3，－1)C、(－1，3)D、(－1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、向量a=(x，2，1)，b=(2，－1，y)，a⊥b，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像不經(jīng)過()．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍⊥b，所以a．b=2x－2+y=0，即y=－2x+2，如圖所示，該函數(shù)圖像不過第三象限．4、在平行四邊形ABCD中，頂點(diǎn)A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，－1，3)，則平行四邊形ABCD的面積為()．A、3B、C、D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空間中的三個(gè)向量，則“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：三向量共面的充要條件是(a×b)?c=0，即所以m+8n－3mn=0．當(dāng)m=0且n=0時(shí)，等式成立，可推出三向量共面；當(dāng)三向量共面時(shí)，無法推出m=0且n=0．因此選A．6、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上，且滿足A、－2B、C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳M=1，點(diǎn)P在AM上且因此答案為B7、已知空間內(nèi)兩直線則“l(fā)1⊥l2”是“m=－n=－2”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(2，m，－1)，s2=(n，3，－2)．若l1⊥l2，則有s1．s2=(2，m，－1)．(n，3，－2)=2n+3m+2=0，無法推出m=－n=－2；若m=－n=－2，則s1=(2，－2，－1)，s2=(2，3，－2)，即s1．s2=0，所以l1⊥l2．綜上所述“l(fā)1⊥l2”是“m=－n=－2”的必要不充分條件．8、在四面體OABC中，OB=OC=1，A、B、C、D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、已知數(shù)列{an)為a1=1且公差不為0的等差數(shù)列，向量p=(a1，a2，a3)，q=(a2，a6，a10)．若p//q，則an的通項(xiàng)公式是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：an=3n－2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n－1)d．因?yàn)閜//q，所以解得d=3或0(舍去)．因此an=3n－2．10、已知|a|=1，|b|=2，|a－b|=則a與b的夾角為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：|a－b|2=(a－b)2=a2－2a．b+b2=1－2a．b+4=3，所以a．b=1，故所以a與b的夾角為11、已知向量a=(3，4，5)，則與a平行的單位向量n=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所以與向量a平行的單位向量為12、已知空間中三個(gè)向量a=(2，1，－1)，b=(－1，3，2)，c=(2，－2，1)，則(a×b)．C=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：23知識(shí)點(diǎn)解析：(a×b)·c=(1×2－(－1)×3，(－1)×(－1)一2×2，2×3一1×(－1))·(2，－2，1)=(5，－3，7)·(2，－2，1)=23．13、若向量m，n的夾角為60°，|m|=2，|n|=，則(m+2n)(m-n)=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、已知空間兩直線則直線l1，l2的夾角的余弦值是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意可知直線l1，l2的方向向量分別是s1=(2，－3，－1)，s2=(－3，1，2)，所以直線l1，l2的夾角的余弦值又因?yàn)閮芍本€的夾角范圍為所以直線l1與l2夾角的余弦值為15、已知a⊥b，|a|=2，|b|=4，則|a+b|_________|a一b|．(填“＞”“＜”或“=”)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：=知識(shí)點(diǎn)解析：16、已知向量a=2i+3j-k，b=-i+j－2k，c=2ma一3ab，若c⊥x軸，則m=________．(用n表示)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有c=2m(2i+31－k)－3n(－i+2j－2k)=(4m+3n)i+(6m－6n)j－(2m－6n)k，取x軸單位方向向量e=(1，0，0)，因?yàn)閏⊥x軸，所以c⊥e，即c．e=(4m+3n，6m－6n，－2m+6n)．(1，0，0)=4m+3n=0，所以三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)已知空間向量a=(3，0，－4)，b=(2，－3，1)，求：17、a·b，a×b；標(biāo)準(zhǔn)答案：a·b=(3，0，－4)·(2，－3，1)=3×2+0×(－3)+(－4)×1=2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、(2a)·(－b)，(－a)×(2b)；標(biāo)準(zhǔn)答案：(2a)·(－b)=－2(a·b)=－2×2=－4；(－a)×(2b)=－2(a×b)=－2(－12i－11j－9k)=24i+22i+18k．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、向量a，b所成角的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詀與b的夾角在[0，π]的范圍內(nèi)，所以0≤sin(a，b)≤1．所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知A(－1，1，－2)，B(－5，6，2)，C(－1，－3，1)，求：20、過點(diǎn)M(－2，3，1)且與A，B，C三點(diǎn)所在平面平行的平面β；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在的平面α的法向量為n(x’，y’，z’)．因?yàn)棣?/β，所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，又因?yàn)槠矫姒逻^點(diǎn)(－2，3，1)，所以平面β的方程為整理可得平面β的方程為31x+12y+16z+10=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、向量的模；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、點(diǎn)A到BC的距離．(結(jié)果用根號(hào)表示即可)標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意可設(shè)為其所在直線l的方向向量，且直線過C(－1，－3，1)，所以l的直線方程為：所以A到BC的距離知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析請(qǐng)用向量證明下列推論：23、直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角是直角；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，BC為⊙O的直徑，A為圓上不同于B、C的一點(diǎn)