高中數(shù)學(xué)：崇仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)七答案

第07練函數(shù)的性質(zhì)

薯積累運(yùn)用

【知識梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達(dá)

(1)函數(shù)單調(diào)性的概念

函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性.

(2)函數(shù)單調(diào)性的符號表達(dá)

一般地，設(shè)函數(shù)/U)的定義域為/,區(qū)間。=/：

如果X/x”X2dO,當(dāng)時，都有那么就稱函數(shù)/U)在區(qū)間，上單調(diào)遞增.

如果Vx”X2G。，當(dāng)陽a2時，都有他)＞仗)，那么就稱函數(shù)心：)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

2.增函數(shù)、減函數(shù)

當(dāng)函數(shù)/U)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)(increasingfunction).

當(dāng)函數(shù)/U)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).

3.單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=/U)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間。叫做y=?！返膯握{(diào)區(qū)間.

4.函數(shù)的最大值

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

@Vxe/,都有Qx)WM；

②使得(x0)=M.

那么，稱何是函數(shù)y=7(x)的最大值.

(2)幾何意義：函數(shù)v=")的最大值是圖象最高點的縱坐標(biāo).

5.函數(shù)的最小值

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=/U)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①VxG/,都有

②三必6/,使得心o)=M.

那么，稱M是函數(shù)y=?r)的最小值.

(2)幾何意義：函數(shù)v=")的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo).

6.偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義

(1)偶函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)Kt)的定義域為/,如果都有一xG/,且“一x)=《r),那么函數(shù)兀v)就叫做偶函

數(shù)(evenfunction).

(2)奇函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)人X)的定義域為/，如果X/xe/,都有一xe/,且。一x)=—/u),那么函數(shù)人x)就叫做奇

函數(shù)(oddfunction).

7.偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征

(1)偶函數(shù)的圖象特征

如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形;反之，如果一個函數(shù)的

圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).

(2)奇函數(shù)的圖象特征

如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形;反之，如果一個函

數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).

【知識拓展】

1.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對即，X2有下列要求：

(1)屬于同一個區(qū)間D:

(2)任意性，即刖，X2是定義域中某一區(qū)間。上的任意兩個值，不能用特殊值代替；

(3)有大小，即確定的任意兩值X”及必須區(qū)分大小，一般令X|＜X2.

H，x是偶數(shù)，

2.并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如兀v)=八日二貼

[0.x是奇數(shù)，

它的定義域為N,但不具有單調(diào)性.

3.單調(diào)區(qū)間

(1)這個區(qū)間可以是整個定義域.如y=x在整個定義域(一8,十8)上單調(diào)遞增，y=-x在整個定義域

(―°°,+8)上單調(diào)遞減；

(2)這個區(qū)間也可以是定義域的真子集.如＞=/在定義域(-8,+8)上不具有單調(diào)性，但在(-8,0]

上單調(diào)遞減，在[0,+8)上單調(diào)遞增.

4.函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減).如函數(shù)＞=!(》#0)在區(qū)

間(-8,0)和(0,+8)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性.

5.一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接.如

函數(shù)y=1(xW0)在區(qū)間(一8,0)和(0,+8)上都單調(diào)遞減，不能認(rèn)為y=%xW0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,

0)U(0,+°°).

6.函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)的定義域的子區(qū)間。而言的.對于單獨的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常

數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題.因此在寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點可以包括，也可以不包括.但

對于函數(shù)式無意義的點，單調(diào)區(qū)間一定不能包括這些點.

7.圖象變換對單調(diào)性的影響

(1)上下平移不影響單調(diào)區(qū)間，即y=/(x)和y=/(x)+%的單調(diào)區(qū)間相同.

(2)左右平移影響單調(diào)區(qū)間.如的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0]；y=(x+l)2的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,一中

(3)y=k：/(x),當(dāng)k>0時單調(diào)區(qū)間與兀0相同，當(dāng)k<0時單調(diào)區(qū)間與兀0相反.

8.最值問題需要注意：

(1)并不是每一個函數(shù)都有最值，如函數(shù)y=%既沒有最大值，也沒有最小值.

(2)有些函數(shù)只有最大(小)值，沒有最小(大)值，如函數(shù)、=一寸。=『).

(3)特別地，對于常函數(shù)1x)=C,它的最大值和最小值都是C.

9.奇偶性應(yīng)關(guān)注以下幾點：

(1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(對照單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，以加深理解).

(2)定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(3)對于奇函數(shù)人》)，若人0)有意義，則40)=0；對于偶函數(shù)￡x),必有兀r)=/(—x)=X|x|).

(4)有的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，如：y=2x+l；有的函數(shù)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，如：y

=x；有的函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，如：)，=國；有的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，如：y=0(xG[—

1,1]).

【易錯點撥】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時、利用單調(diào)性求最值時，勿忽略定義域.

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集.

3.混淆“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”兩個概念.

4.求含參數(shù)的二次函數(shù)的最值時不要忘記按對稱軸與區(qū)間的位置分類討論.

5.忽略奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.

6.判斷含參函數(shù)的奇偶性時忽略對參數(shù)的討論.

;也.產(chǎn)S___

警[基礎(chǔ)過關(guān)練

1.(2021?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高一期中)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的

是()

A.y二|x|,xwRB.y=(；)”,XGR

C.y=x,XGRD.y=-x3,XGR

【答案】D

【解析】

對于A：y=W是偶函數(shù)，故選項A錯誤;

對于B：>=(；)'是非奇非偶函數(shù)，故選項B錯誤；

對于C：)'=x是奇函數(shù)，且在定義域(7,-)上為增函數(shù)，

故選項C錯誤：

對于D：y=-V是奇函數(shù)，且在定義域(TO,+oo)上為減函數(shù)，

故選項D正確.

故選：D.

2.(2021?福建三明?高一期中)函數(shù)=\x-2\-(x—4)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[2,4]B.[2,3]C.[2,+oo)D.[3,+oo)

【答案】B

【解析】

初-，/、Ioiz小心-2)(》-4),("2)

解：函數(shù)f(x)=x-2(x-4)={，

[(2-x)(x-4),(x<2)

畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：

二函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,3],

故選：B

3.(2021?福建?莆田一中高一期中)已知兀0是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，則()

2

A-/(-7^)</(^)</(0)

B.fW<f(0)<f(-V)

c-/(0)</U)<7(-72)

D-/⑺</（-7；j</（0）

【答案】D

【解析】

解：..7W是定義在R上的偶函數(shù)，

/）在［O+00）內(nèi)單調(diào)遞減，

由；r>72>0，??/（萬）</（一72）</（0）

故選：D.

4.（2021?廣東?湛江二H"一中高一期中）若函數(shù)y=/（x）在R上單調(diào)遞減，且42%—3）>人一〃?），則實數(shù)，〃的

取值范圍是（）

A.（—oo,—1）B.（—1,+co）C.（1,+oo）D.（—co,1）

【答案】D

【解析】

因為函數(shù)y=_/（x）在R上單調(diào)遞減，且3）

所以2加一3<-a，得機(jī)<1,

所以實數(shù)機(jī)的取值范圍是（一8,1）,

故選：D

5.（2021?浙江?高一期末）已知函數(shù)y=〃x）可表示為（）

X0<x<22<x<44Vx<66<x<8

y1234

則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃/（4））=3B.”引的值域是{123,4}

C.“X）的值域是［1,4］D./（x）在區(qū)間［4,8］上單調(diào)遞增

【答案】B

【解析】

A./（4）=3,/（/（4））=/（3）=2,所以該選項錯誤；

B.由表得“X）的值域是{123,4},所以該選項正確；

C.由表得〃X)的值域是{1,2,3,4},不是［1,4］,所以該選項錯誤；

D./(X)在區(qū)間［4,8］上不是單調(diào)遞增,如:5>4,但是/⑸在(4)=3,所以該選項錯誤.

故選：B

6.(2021.廣東.中山實驗中學(xué)高一期中)已知y=y(x),定義域為［-3,3］,)，=_/□)的圖象如下圖所示(實線

部分)；請根據(jù)圖象，直接寫出以下各小題的結(jié)果.

(1)Xx)的奇偶性為:

(2)兀0的值域為；

(3)兀0的遞增區(qū)間為;

(4)段)>0的解集為;

(5)若人x巨m在［―3,3］上恒成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為;

(6)若人x巨m在［-3,3］上有解，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】偶函數(shù)［-2,2］(-1,0),(1,3)［-3,-2)U(2,3］(—00,-2］(-co,2］

【解析】

(1)圖像關(guān)于)，軸對稱，所以為偶函數(shù)；

(2)圖像最低點函數(shù)值為-2,最高點函數(shù)值為2,所以值域為［-2,2］；

(3)根據(jù)圖像，函數(shù)在(一1,0),(1,3)從左往右升高，所以增區(qū)間為(一1,0),(1,3)；

(4加》)>0表示函數(shù)值大于零，圖像在x軸上方，由圖得［—3,-2)U(2,3］；

(5網(wǎng))決在［—3,3］上恒成立等價于［，(》)1加2，"，段)在［—3,3］上最小值為一2,所以小一2：

(6)/U巨機(jī)在［-3,3］上有解1raxzm，火x)在［—3,3］上的最大值為2,所以，把2；

故答案為：(1)偶函數(shù)；(2)［—2,2］；(3)(-1,0),(1,3)；(4)［-3,-2)U(2,3］；(5)(—8,-2］；(6)(-00,

2］?

7.(2021?青海西寧?高一期末)函數(shù)/(乃=2/-履+Z+1在區(qū)間-1,3］上不單調(diào)，則實數(shù)大的取值范圍是

【答案】（-4/2）

【解析】

二次函數(shù)f（x）=21—丘+&+1在區(qū)間［-1,3］上不單郵

則對稱軸x=（-1,3）,即0（Y,12）

故答案為：（-U2）

8.（2021?江西?橫峰中學(xué)高一期中）如果函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的減區(qū)間為

【解析】

解：由函數(shù)>=/（x）的圖象得此函數(shù)的減區(qū)間為：

故答案為：卜3,—1］,［1,3］.

9.（2021?上海?格致中學(xué)高一階段練習(xí)）已知a>-3,且函數(shù)y=3x+b（xe［-3,“］）是奇函數(shù)，則

a+b=.

【答案】3

【解析】

因為函數(shù)y=3x+A（xe［-3,句）是奇函數(shù)，則“=3,

由奇函數(shù)的定義可得-3x+b=-（3x+A）,可得匕=0,

因此，a+〃=3.

故答案為：3.

10.（2021?陜西?寶雞市渭濱中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+￡的圖象經(jīng)過點（1,-3）

（1）求〃的值并判斷〃x）的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)〃x）在［1,4］的單調(diào)性，并用定義法證明;

（3）求函數(shù)f（x）在［1,4］的最大值.

【答案】

（1）a=Y,f（x）是奇函數(shù)；

（2）單調(diào)遞增函數(shù)，證明過程見解析；

（3）最大值為3.

【解析】

（1）因為函數(shù)〃x）=x+￡的圖象經(jīng)過點（1,—3）,

4

所以有l(wèi)+〃=-3=a=Y,即=該函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)集，

44,、

S/（--^）=-A-+-=-（x--）=-/（X）,所以/（X）是奇函數(shù)；

（2）函數(shù)“X）在［1,4］上單調(diào)遞增，證明如下:

設(shè)不超是［1,4］內(nèi)任意兩個實數(shù)，且占<三，則有

/（5）一/（4）=±一±-（受一&）二°‘—七+*,因為14%<x,<4,

w玉w

所以玉W>1,玉-當(dāng)<°，因此（三）="\"'"+4）<0=/（占）_/6）<0,

X］X2

即/㈤</（毛）,所以函數(shù)〃X）在［1,4］上單調(diào)遞增；

（3）由（1）可知:函數(shù)/（x）在［1,4］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe［l,4］時，〃力3=/（4）=4-1=3.

________

,>,■能力提升練

11.（2021?江西九江?高一期末）定義在R上的函數(shù)“X）滿足：①/（0）片。；②當(dāng)x>0時，"x）>l；③對

任意實數(shù)x,丫都有〃x+y）=〃x>〃），）.

（1）證明：當(dāng)x<0時，0</（x）<l；

（2）判斷“X）在R上的單調(diào)性；

（3）解不等式/（X）-/（2X-X2）>1.

【答案】（1）證明見解析；（2）f（x）在R上是增函數(shù)；（3）（0,3）.

【解析】

(1)令x=y=O,則/(0)=卜(0)「又”0)*0,所以"0)=1.

當(dāng)x<o時，-x>o,在/(x+y)=/(x)―/(y)中，令丁=一》,

則/(0)=/(x>/(—x),所以〃一力=房>1

,又因為x>o時，/W>i,故o</(x)<i.

(2)設(shè)占且玉<當(dāng)，則工2一%>°，所以/(々一X1)>1且/(%)>0.

于是/(w)=/(%-X1+X])=-A),/(%)>/(5)，故/(X)在R上是增函數(shù).

(3)由題意知/(。/(2>巧=/作-巧，所以原不等式等價于f(3x—f)>〃0)

由(2),〃x)在R上是增函數(shù)得到，3x-P>0,0<x<3,故此不等式的解集是(0,3).

12.(2021?福建?浦城縣教師進(jìn)修學(xué)校高一期中)設(shè)/(x)是R上的減函數(shù)，且對任意實數(shù)x,)，，都有

/(%+丫)=/(尤)+/(卜)；函數(shù)8(%)=/2+?+6(。,[€氏)

(1)判斷函數(shù)"X)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

⑵若〃=-1,。=5,且存在3,2],不等式/(8(。-1)+/(3…，〃)>0成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

(3)當(dāng)。>0時，若關(guān)于x的不等式g(x)40與g(g(x))43的解集相等且非空，求。的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)m<-3；(3)264a46.

【解析】

(1)解：/(x)為奇函數(shù)，證明如下：

令x=y=0可得〃0)=2/(0),則/(0)=0,對任意xwR,令〉=一x,可得/(0)=/(x)+/(-x),貝lj

f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù)；

(2)解：”=-1力=5時，g(x)=x2-x+5,存在/e|-3,2],由/⑴為奇函數(shù)，

可得，/(g(0-1)+f&+m)>0=/(0)

由/(x)是A上的減函數(shù)，可得g⑺-l+(3f+〃z)<0

口|Jt~-f+5—l+3f+/w<0,

即加〈一產(chǎn)-2-4,對fe[—3,2].?=—/—〃—4=—。+1)2-3,在上為增函數(shù)，上為減函數(shù),

最大值為—3,則加<—3;

(3)解：設(shè)g(x)=f,g(g(x))43,可化為g(f)43,由g(x)40

解集非空可得A=/-4620,此時g⑺43即

/+。，+力一3<0,△=a?一4/?+12>0,貝Ug(，)=3有'兩不等實根。<J,

則g(r)43解集為，,修，j?(^(x))<3BPg(x)s[/?/,],貝!Jg(x)40與g(x)WM2]解集相等且非空；貝北二。，

->2

,由乙，G為產(chǎn)+必+萬一3=0兩根，％=°代入可得匕=3，則4=-。<0,由即

2

-a<3~—,BPa2-4?-12<0>即一24a46,

4

由A=a2-4bN0，可得12]2,則264aM6.

13.(2021?安徽?合肥市第六中學(xué)高一期中)我們知道，函數(shù)y=/Q)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要

條件是函數(shù)V=f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù))，=/(X)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱

的充要條件是函數(shù)y=/*+“)-人為奇函數(shù).

(1)