藝術(shù)生高中數(shù)學(xué)答案

藝考之路?考點(diǎn)快速過(guò)關(guān)

數(shù)學(xué)參考答案

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

第1課集合的概念與運(yùn)算

要點(diǎn)梳理

1.€任G、9二

2.{^xeA且xeB){x\xeA或xeB]

3.3勝S且扉川

激活思維

1.③④⑤⑥2.。Z3.{(1,2))4.4

真題演練

1.{1,8}2.{2,4,5)

能力提升

例1【答案】2

例2【解答】由題意知/={-4,0},

由AnB=B,得在4

所以云。,{0},{-4}或{-4,0}.

若生{-4,0),則0,-4是方程*+2(91)k/1=0的兩個(gè)根，

2>0,

所以1Q2?I=O,解得不=1;

(4)2+2(a+1)(-4)+a2-l=0,

若氏{0},則0是方程*+2(*1)*+莊-1=0的兩個(gè)等根,所以夠9°解得>1；

若房{?4},則-4是方程*+2⑶1)心/1=0的兩個(gè)等根，

0

所以22M,.21n無(wú)解；

l(-4)+2(a+1)(-4)+/-I=0,

若B=0,則21=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是信把-1或年1}.

當(dāng)堂反饋

1.{-2}2.3

第2課四種命題和充要條件

要點(diǎn)梳理

1.若非p則非q若q則p若非g則非「逆否命題

否命題

2.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要

激活思維

1.若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行若兩條直線不平行,則這兩條直線的斜率不相等

2.2

3.（1）充要條件（2）既不充分也不必要條件（3）必要不充分條件（4）充分不必要條件

4.[0,1]【解析】因?yàn)椤跸κ强?。的必要不充分條件，

所以。是q的充分不必要條件.又因?yàn)镻：對(duì)q：法[a,>1],所以有區(qū)1回a,>1],所以『j1且兩個(gè)等

號(hào)不同時(shí)成立,解得0《考.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為

真題演練

1.充分不必要2.-1,-2,-3（答案不唯一）

能力提升

例1【答案】充分不必要

【解析】若存在負(fù)數(shù)兒使得而才/7,則加m=47/7=4代0成立；當(dāng)“mn<0”時(shí),zn與"不一定共線，所以“存

在負(fù)數(shù)4使得加=加"不一定成立.綜上可知，“存在負(fù)數(shù)人使得小而”是“加/7<0”的充分不必要條件.

例2【答案】（1）充分不必要條件

（2）充分不必要條件（3）必要不充分條件

【解析】（1）tanA=1=A=；+HT,依乙所以A=2ATT+^>ASZ=>A=J+ATT,依乙反之不成立.

（2）因?yàn)閄>2,y>2,根據(jù)不等式的性質(zhì)易得x+y>4t號(hào)>4,但反過(guò)來(lái)不一定成立,如*=；,片24.

（3）?元二次方程X2+X+777=0有實(shí)數(shù)解=在也所以加%反之不成立.

當(dāng)堂反饋

1.充要必要2.真

第3課簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

要點(diǎn)梳理

1.全稱量詞YxeM,p（x）

2.存在量詞BAOG/I^p（M）

3.或且非

4.3xeMtDp（x）

激活思維

1.22T庶R,M+A+1W0

3.VJ^R,廬*+1±04.真

真題演練

1.@2.VA>1,A2<2

能力提升

例1【解答】若命題。是真命題，則0丫+力1<0對(duì)40恒成立,即“對(duì)A>0恒成立.

當(dāng)%>0時(shí)

所以-1<-(；)<0,

所以/7>1<-1,U|］加0.

若命題g是真命題,則關(guān)于X的方程/77*+4*1=0有正實(shí)數(shù)根.

因?yàn)锳>0,由6■+4*1=0,得-4e［-4,+?).

因?yàn)椤?且q”為真命題，所以P和g都是真命題，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是［40］.

例2【解答】設(shè)**lnx,施［1,3］,則片1一二4,當(dāng)簧［1,3］時(shí),I/々0,故函數(shù)y=*lnx在脛［1,3］為單調(diào)增

函數(shù)，所以>in=1,故若夕為真,則初>1.

因?yàn)閂xcR,不+2>演，所以亦<2,故若q為真，WJ-V2</T?<V2.

(1)若“(口p)Aq”為真,則實(shí)數(shù)m滿足『售1’后所以-夜<也1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍的(-四,1L

(-V2<m<V2,

(2)若“pW為真命題，“p/\q”為假命題,則p,q一真一假.

若。真g假，

則實(shí)數(shù)"滿喘盛或m2e即"；

若。假q真，

則實(shí)數(shù)。滿足［若1'向即-我<E1.

(-V2<m<V2,

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-我,們u［VI+1?).

當(dāng)堂反饋

1.［0,1］【解析】因?yàn)?*a)(，介1)>0,所以-2或A>A1,所以□不電那升1.又p是的充分不必要條件,

所以Fj：'>］解得°'能今故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［o,養(yǎng)

2.(3,-2］u{1}【解析】若p是真命題，即把(*)min,*［1,2］,所以第1;若0是真命題，即4+2ax+2-a=0有解,

則/=4*-4(2-8)之0,即在1或務(wù)-2.命題“pnq”是真命題，則夕是真命題，q也是真命題，故有g(shù)-2或a=1.

第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

第4課函數(shù)的概念及其表示法

要點(diǎn)梳理

1.定義域值域?qū)?yīng)法則

2.解析法列表法圖象法

激活思維

1.@2.-23.34.Iog32

真題演練

1.-72.：或-1

能力提升

例1【解答】(1)因?yàn)锳x)=V^=W，g(x)=V^=x,故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同,所以它們不是同?

函數(shù).

(2)因?yàn)楹瘮?shù)而邛的定義域?yàn)??%0)u(0,+8),而g(x)=昔的定義域?yàn)镽,所以它們不是同一函數(shù).

(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)二衣?燈I的定義域?yàn)閙啟0},而g(x)=VPWi的定義域?yàn)閮雌?1或*0},所以它們不

是同一函數(shù).

(4)兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

例2【解答】(1)(換元法)令夕[f(A),則A=奈故H=lg爪所以/U)=l啥(61).

(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)=aAH(A0),

則3A%+1))=3ax+3a^3b-2ax^2a-2b^ax+t^5a=2x+^\7f所以a=2f/n-5a=17,

所以a=2,b=7,所以M-2x+7.

當(dāng)堂反饋

1?①【解析】①兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù).②因?yàn)閒(川二值二因,兩個(gè)

函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，故它們不是同一函數(shù).③兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，故它們不是同一函數(shù).④兩個(gè)函數(shù)的定義

域不同，故它們不是同一函數(shù).

2.-i2V6-6【解析】?-2)=4,"(?2))=f(4)=3當(dāng)時(shí)，而出；當(dāng)心1時(shí)，f(x)=x+?6N2后6,當(dāng)且僅當(dāng)

六幾時(shí)等號(hào)成立.故M的最小值為2遙?6.

第5課函數(shù)的定義域與值域

要點(diǎn)梳理

1.(1)不等于零(2)大于或等于0

(5){x|xeR且xHZT+/,kezj

激活思維

1.[1,+-)2.{0,2,6}4.[2,4]

真題演練

1.[-3,1]2.2+8）

能力提升

例1【解答】⑴由題意得￡-產(chǎn);。

即卜>2或“<0,解得_3VA<0或2。<3,

[-3<x<3,

所以函數(shù)M的定義域?yàn)镚3,0）u（2,3）.

0<x<2,

f2x-x2>0,

⑵由題意得I鋁解得

2x-l*1,(X#1,

<3-2x*0,

即六器2H/1,瑞

所以ZW的定義域?yàn)?l）u（W）唱,2】.

例2【解答】⑴（配方法）因?yàn)槠?廬*+2=31-丁+色

所以函數(shù)片3/-滸2在[1,3]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)后1時(shí)，原函數(shù)取得最小值4;

當(dāng)A=3時(shí),原函數(shù)取得最大值26.

故函數(shù)尸3*7+2（AE[1,3J）的值域?yàn)閇4,261.

⑵（分離常數(shù)法）片筆凸坐=3玨,因?yàn)椤?0,所以3J*3,

X-CX-4X-ZX-LX-Z

所以函數(shù)片翳的值域?yàn)閰n尸3}.

（3）（換元法）設(shè)仁瓜三t>0,則*=1-9

所以原函數(shù)可化為片1-f+4aH2戶+5（以）），所以六5,所以原函數(shù)的值域?yàn)椋╢5].

⑷（基本不等式法）片嗡1=端里/擊=尺+白+/

X2

因?yàn)锳>|,所以X-1>0,

所以卷+冬2JkW?卷=a，當(dāng)且僅當(dāng)其4,即心殍時(shí)等號(hào)成立，所以戶此，所以原函數(shù)的值域

為g,+8)

當(dāng)堂反饋

1.(0,1]2.(-00,1]

第6課函數(shù)的單調(diào)性

要點(diǎn)梳理

1.給定區(qū)間上任意及(冠

，(必)>穴及)

2.(1)函數(shù)單調(diào)性的定義法(2)函數(shù)的圖象法

(3)導(dǎo)函數(shù)法

激活思維

1.32.(-2,1)3.[1,4)4.(0,2]

真題演練

1.(4,+8)【解析】函數(shù)片解-2*8=(*1)2?9圖象的對(duì)稱軸方程為A=1,由*-2*8>0,解得A>4或x<-2,所以函

數(shù)萬(wàn)"-2x-8的單調(diào)增區(qū)間為(4,+8).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)=ln(廬2x-8)的單調(diào)增區(qū)間為(4,+3.

2.(』0)【解析】作出f(M的圖象如圖所示.當(dāng)即A2-1時(shí)，E1"(A+1)<H2X),得*d>2x,即內(nèi)1,所

以e；當(dāng)圖[:°,即-1<界0時(shí),/Ol)〈f(2x)恒成立.綜上,x的取值范圍是(田,0).

能力提升

例1【解答】(1)函數(shù)片-戶1在(0,2)上為減函數(shù).

(2)函數(shù)片正在(0,2)上為增函數(shù).

(3)函數(shù)片層-2盧5在(0,1]上為減函數(shù)，在[1,2)上為增函數(shù).

(4)函數(shù)片:在(0,2)上為減函數(shù).

例2【解答】⑴因?yàn)?2)=22-(31)X2+5=-2A11,所以求次2)的取值范圍就是求一次函數(shù)片-2凱11的

值域.又二次函數(shù)f(x)在區(qū)間弓,1)上是增函數(shù),其圖象開口向上,所以券§，解得小2,故?2)>-2x2+11=7,即A2)

N7,所以?2)的取值范圍是[7,+8).

⑵因?yàn)閒(x)二巴U在區(qū)間(-2,+8)上是增函數(shù),所以對(duì)任意的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)X1,及￡(-2,+OO),當(dāng)MV及時(shí),

即f(M)-Z(冠9*1+1以2+12。肛+丫2-2。丫2-勺一(Xl*2)(2a-l)vn

町+2*2+2(打+2)(*2+2)(勺+2)(工2+2)

又因?yàn)閄1,X2W(-2,+?),X1VX2,

所以xi+2>0,X2+2>0,XI-X2<0,

所以2#1>0,故丹,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是倨，+/).

當(dāng)堂反饋

1.(2,+8)

2.【解析】因?yàn)閒(-x)=-M+2x+e?-x),f(0)=0,所以/U)是奇函數(shù),則，(#1)+，(2*那0可化為f(2的

<f(1-a).又((#=3廬2+鏟+&框3/-2+2J?百=3日0,所以/(其在R上單調(diào)遞增，所以2鼻1e,解得?1?尾,故

實(shí)數(shù)a的取值范圍為卜13].

第7課函數(shù)的奇偶性

要點(diǎn)梳理

1.f[.x)=.f(x)f(-x)+f(x)=Q

/(-x)=?x)f(?x)-f(x)=O

2.⑴原點(diǎn)原點(diǎn)⑵原點(diǎn)y軸⑶0

激活思維

1.12.-13.±14.(2,0)

真題演練

1.12

2.-2【解析】由題知+>2+x)+i.因?yàn)?l?+f(-x)=ln(，l+/?*+1+ln(Vl+x2+x)+1=ln(1+*-

*)+2=2,所以Aa)+A-a)=2,又4a)=4,所以A-a)=-2.

能力提升

例1【解答】(1)由辛20,得定義域?yàn)閇-1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)f(X)為非奇非偶函數(shù).

(2)當(dāng)A<0時(shí)，-A>0,

則(X)=(-X)2-(-X)=*+A="X);

當(dāng)x>0時(shí)，-內(nèi)0,

則代-公=(-x)2+(-X)=/-A=f(X).

綜上所述,對(duì)任意的於(一,0)U(0,+00),都有f(-X)=/(X),所以/U)為偶函數(shù).

例2【解答】因?yàn)?Or)是奇函數(shù)，

所以f(/+f(x)=O,

碟冷需二°，解得g

乂由f(2)4得華宅,解得尸2,

所以函數(shù)的解析式是“a=空.

3x

當(dāng)堂反饋

1.6

2.(-1.1)【解析】方法一:因?yàn)閒(*是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(a)+f(?力=2,(同)<4,即“同)<2,則

|邰+同<2,所以(同+2)(同?1)<0,解得?1<參1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?<1).

方法二:當(dāng)脛0時(shí),-應(yīng)0,因?yàn)锳x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)=H-x)=(?x)2+(-x)=x2?x,故

M+X"1當(dāng)在0時(shí)，f(a)+/(?勿=導(dǎo)+3)+(-3)2?(-3)=24+2小4,解得0<^<1;當(dāng)K0時(shí)，fQ)+f(-

(xz-x,x<0.

a)=(a2-^)+(-a)2+(-a)=2s^-2a<4,解得-1<小0.綜上，實(shí)數(shù)石的取值范圍為G1,1).

第8課函數(shù)的圖象

要點(diǎn)梳理

1.⑴列表描點(diǎn)連點(diǎn)成線(2)平移伸縮對(duì)稱

激活思維

(X4-1,%€[-1,0],

1,|-1X,XG(0,2]2.左下13.14.(3)

真題演練

1.(4,0]【解析】作出函數(shù)/U)的圖象如圖所示,貝IJ當(dāng)一<30時(shí)，片“外與片777有三個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有三個(gè)零

占

(第1題)

2.2【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出/=ln|M和妝=/2的圖象如圖所示，由圖可知，/與總的交點(diǎn)有

2個(gè),故函數(shù)代*)=/+口因的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

(第2題)

能力提升

lgx,x>1,

例1【解答】(1)產(chǎn)

-lgx,0<%<1.

圖象如圖(1)所示.

(2)將片2*的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度.

圖象如圖(2)所示.

含：；二'。圖象如圖⑶所示?

⑶片

(4)因?yàn)槭?+W，先作出片：的圖象,將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,即得

片詈的圖象，如圖⑷所示?

(例1)

例2【答案】(1)尸32-x⑵片tan|，3|

(3)片sin(葉勻(4)片log2(3x+5)

當(dāng)堂反饋

1.(-3,0)u(3,+?)【解析】作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，俞0=｛潟黑或$(氯。

所以*(-3,0)u(3,+?>).

2.(0,1)【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)片f(x)及六〃(*1)的圖象如圖所示，由圖知，函數(shù)

f(X)max=f(1)=1.設(shè)41,1),8(-1,0),函數(shù)片以戶1)過(guò)點(diǎn)B,則由圖可知要使關(guān)于X的方程/U)=〃(X+1)有兩個(gè)不

同的實(shí)數(shù)根,則0<k<kg,所以實(shí)數(shù)才的取值范圍是(。［).

第9課二次函數(shù)

要點(diǎn)梳理

1.(1)y=ax^+bx+c(a^Q)(2)y=a(%-xi)(x-X2)(^:0)(3)y^a(x-xo)2+n(a^O)

2.對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向

激活思維

1.{機(jī)性3}

2.2【解析】當(dāng)空0,即立0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0,3]上為增函數(shù),故f(x)min"(0)=1不符合題意,舍去；當(dāng)會(huì)3,

即把-6時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0,3]上為減函數(shù),故A%)min=/(3)=-2,解得A弓，與史-6矛盾，舍去；當(dāng)0節(jié)<3,即?

6<^<0時(shí)，/(*min=(3=2解得乎-2,符合題意.綜上，a=-2.

3.6【解析】由二次函數(shù)片*+(>2)X+3的圖象關(guān)于直線罰1對(duì)稱，可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為六1,即-

歲=1,所以華4又M是定義在區(qū)間舊歷上的函數(shù),即a,6關(guān)于廣1也是對(duì)稱的,所以詈=1,所以66.

4.{X|-3<A<-1或x>Q]

真題演練

firn)=m24-m2-l<0,

【解析】根據(jù)題意<。解得費(fèi)"口

f[m+1)=(m+I)2+m(m+1)-1

2.[i,2]【解析】當(dāng)X>0時(shí)，f(x)=-^+2x-2a,此時(shí)只需H+2x-2把x恒成立,即2a2-g+X恒成立,當(dāng)x>0時(shí),-

*+x的最大值為之所以宓之;當(dāng)-3WK0時(shí)，此時(shí)只需*+2x+a2fx恒成立，即as-*-3x+2恒成

立，當(dāng)-30脛0時(shí),-*-3/2的最小值為2,所以小2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為2].

能力提升

例1【解答】(1)當(dāng)京-2時(shí)，凡”)=廬4心3=(*2)2-1,因?yàn)榧瞇-4,6],

所以f(x)在[42]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值是A2)=-1.

又(4)=35,/(6)=15,故/U)的最大值是35.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸是x=-a,所以要使f(必在[-4,6]上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有■然-4或一立6,

即a<-6或a>4.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-6]u[4,+8).

(3)當(dāng)a=1時(shí)，火⑼=*+2x+3,

所以可即二產(chǎn)+2因+3,此時(shí)—[?6,6],

日”必=儼2+2%+34(0,6],

口八，-&2-2%+3*卜6,0],

所以w的單調(diào)增區(qū)間是(0,6],單調(diào)減區(qū)間是[-6,0].

例2【解答】(1)因?yàn)?U)+2A>0的解集為(1,3),所以f(x)+2￥=a(*1)(*3),且*0,

所以f(x)=a(x-D(x-3)-2x=a^-(2+4a)x+3a.①

由方程f(x)+6a=0,

得s*?(2+43)x+9a=0.②

因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的根，

所以j=[-(2+4a)]2-4a-9^=0,

即5^-4a-1=0,解得a=1或a=-1.

又s<0,所以干

將a=［代入①得M的解析式為

(2)由M)=a*-2(1+2a)心3罰分等丫。2+丁+1及得以)的最大值為儲(chǔ)+丁+】

(a2+4a+l、八

由———>0-

Q<o,

解得a<-2-V3^-2+V3<a<0.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(田,-2-V3)u(-2+>/3,0).

當(dāng)堂反饋

1.7【解析】由A0)=4,得尹2H4,B|Ja=4-26,貝ijA1)=1+a/H-4=5+ad=5+2d(2-d)=-2/^+4/H-5=-2(M)2+7s

7(當(dāng)且僅當(dāng)81,a=2時(shí)取等號(hào)).

2.(1)月(平2)2-1(2)(-00,-3］

第10課指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

要點(diǎn)梳理

1.尸邰(印0且a*1)

2.(1)R⑵(0,+s)(3)(0,1)01⑷增減

激活思維

1.42.73.(1,2)4.-2

真題演練

412111

1.b<a<c【解析】因?yàn)?=23=163,/7=45=165,6=253且第函數(shù)片段在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)片16、在R上

單調(diào)遞墻所以供/c

2.［e+4,+s)【解析】當(dāng)唐1時(shí)，f(x)min"(2)=4,所以當(dāng)A<1時(shí)，ae后4恒成立，即a>ex+4對(duì)聯(lián)1恒成立.因?yàn)?/p>

e*+4在(-%1)上的值域?yàn)?4,e+4),所以先e+4,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［e+4,+?).

能力提升

例1【解答】(1)由題知2*+2-弓即(2*)2尚2+1=0,所以2*=2或2畤所以片1或A=-1.

(2)設(shè)0與小〈至，

則f(M)-/(就=2必+2%?(2小+2-如)=3黑竺&

因?yàn)?株>2乜1?2%】+必<0,所以即〃小)〃(冠，

所以大必在［0,+8)上是增函數(shù).

例2【解答】(1)因?yàn)樾?=4"-2"1=(2，)222-(2八1)2-1,所以/U)的值域?yàn)椋?1,+8).

(2)因?yàn)?*-2日<8,所以(2、產(chǎn)-2?2*-8<0,所以-2<2*<4,所以A<2,故解集為(-%2).

當(dāng)堂反饋

1.a>c>b2.(1,4)

第11課對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

要點(diǎn)梳理

1.(1)①loga/V川oga/V②log8冊(cè)loga/V③〃oga例

(2)①/V②N(3)②logad

2.(1)(0,+8)(2)R(3)(1,0)10

(4)y>Qy<0(5)y<0y>0

(6)增函數(shù)(7)減函數(shù)

激活思維

1.22.93.(0,+8)4.奇

真題演練

1.oa>b【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得logs|>1,logG=log35>1,且

7

Iog3?vlog35,所以c>a>b.

2.[0,1)【解析】當(dāng)。=0時(shí),滿足題意；當(dāng)g。時(shí),初>0且21=36/n2-4/7?(/7H-8)<0,解得林(0,1).所以實(shí)數(shù)m

的取值范圍為[0,1).

能力提升

例1【解答】(1)原式=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.

(2)原式=2log32?5log32+2+3log32?3=-1?

5=1lg2+1lg5=|lg10=1.

例2【答案】(1)(1,+e)(2)(-1,0)u(1,+?>)

【解析】(1)設(shè)u(x);aX-x,則f(x)=log"x),要使函數(shù)f(另在區(qū)間［2,4］上是單調(diào)增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)

a>1,r0<a<1,

性的判定方法可知f(x)=bga“(x)與〃(x)=a*-x同為增函數(shù)或同為減函數(shù),所以檔V2,或居24,解得a>1,

lu(2)>0lu(4)>0,

故a的取值范圍為(1,+s).

⑵當(dāng)印0Ht,log2^>logi[-(-a)],解得於>1,所以a<-1或a>1,所以印1；當(dāng)a<0時(shí)，log](■力>log2(?a),所

22

以以<1，解得?151,所以?1〈KO.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?1,0)u(1,+?).

當(dāng)堂反饋

1.(0,+8)

2.(-4,4]【解析】設(shè)g(x)=*-ax+3a由對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，知g(x)在[2,+3上是單調(diào)增函數(shù)，且

p(2)>0,所以?-2、解得_4〈宓4,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,4].

144-a>0,

第12課幕函數(shù)、函數(shù)與方程

要點(diǎn)梳理

1.*K2.(0,+oo)(1,1)

3.f(x)=04.f{a)7(/?)<0

激活思維

1.~2.33.~4.

3223

真題演練

1.(0,2)【解析】由|2/2卜夕0,得|2/2|二八令必=|2*?2|,/=匕在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出外女的圖象

如圖所示.由/(*)有兩個(gè)零點(diǎn),知力和總的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則0<82,即氏(0,2).

2.(1.4)(1,310(4,+?)MJ當(dāng)加2時(shí),心弋或含<2由”口得此’0或{圖+3<0

解得2Vx<4或1<x<2,所以不等式的解集為(1,4).作出函數(shù)片*4與片*-4;什3的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)A

21時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1〈心3時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)3<e4時(shí)，函數(shù)心)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)A>4時(shí),

函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),力的取值范圍為(1,3]U[4,+8).

(第2題)

能力提升

例1【解答】(1)若/U)是正比例函數(shù)，則?5冷3=1,解得/77=總,此時(shí)"-松禮)，故6=-青

當(dāng)行假時(shí)，而是正比例函數(shù).

(2)若/(X)是反比例函數(shù)，則-5/?>3=?1,則/77=-|,此時(shí)加-公仔。，故/77=-|.

當(dāng)斤"!時(shí),是反比例函數(shù).

(3)若f(x)是二次函數(shù)，則-5力3=2,則777=-1,此時(shí)rri^-m-A*0,故

當(dāng)m=-1時(shí)，/(年是二次函數(shù).

(4)若f(x)是幕函數(shù)，則樣-介1=1,即/772-/7>2=0,解得777=2或Z77=-1.

當(dāng)/77=2或/77=-1時(shí),/U)是某函數(shù).

例2【答案】［13)

【解析】由題意知，函數(shù)片"X)的圖象與直線片777有4個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)/U)的圖象如圖所示，由圖

象知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為［1,?.

當(dāng)堂反饋

1*

2.(3,4)【解析】令M=|2M|-^=0,W|2M|=a,設(shè)g(x)=|2*-4|,作出g(x)的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)ae

(3,4)時(shí)，滿足題意.

第13課導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

要點(diǎn)梳理

1.(1)ax^1(2)到nae*⑶3-

xlnax

(4)-sinx

2.(1)nx)±g\x)(3)cf(x)

g2(x)

激活思維

13L

1.-221(刀二費(fèi)%23.-14.±V3

真題演練

1.e2.y=x

能力提升

例1【解答】(1)((x)二ex+xe*=(x+1)ex.

⑵尸(X)甘^

(3)f(x)二e?cos*sinx)-1.

例2【答案】片

【解析】對(duì)片聲+｝求導(dǎo)得六20，當(dāng)召時(shí)，片2x1-1=1,所以曲線片在點(diǎn)(1,2)處的切線的方程為六

2=x-1,即*A+1.

當(dāng)堂反饋

1.%-x+1+5【解析】因?yàn)?(x)=?/(0)sinx+cosx,所以r(0)=?r(0)sin0+cos0,所以7(0)=1,所以

/(旬二cos戶sinx所以4%10:1,所以切線的方程為片。+1+5

2.2x-y-2=Q【解析】因?yàn)?=；所以曲線尸21nx在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為：=2,所以切線的方程為六0二2(*

1),即2*升2二0.

第14課用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

要點(diǎn)梳理

1.7(與之0且不恒為0尸(另k0且不恒為0

2.(3)f(x)>0f(x)<0

激活思維

1.(-3,0),(0,3)2.?

3.{a|死0}4.{s\a&e\

真題演練

1.(32/5,3+26)【解析】由題知尸⑴=*-6*3,令尸3=0,解得片3-28或后3+26.當(dāng)法(田,3-2百)u

(3+2V3,+8)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)&(3-2V3,3+2V3)W,f(x)<0.故f(x)在(0,3-2百),(3+2V3,+-)上單調(diào)遞增，在(3-

2瓜3+2VJ)上單調(diào)遞減.

2.0【解析】因?yàn)閒(x)=A3+a*-3A+c在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,所以&x)=3*+2ax-3Vo對(duì)法(-1,1)恒成立.又

二次函數(shù)尸3球+2a*3的圖象是開口向上的拋物線,所以[〃；)二]f解得a=0.

能力提升

例1【解答】由題知73=3*+2ax,AeR,

令f(X)=0,解得M=0,X2=-y.

當(dāng)3=0時(shí)，因?yàn)槭?X)=3*N0,所以函數(shù)M在(。,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0吐若脹"號(hào))U(0,+00),則尸(x)>0;若底(年0),則r3co.

所以函數(shù)M在(-8,-算(0,+8)上單調(diào)遞增，在(號(hào),0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)上0時(shí)，若xe(-8,o)u(-y,+00),則尸(x)>0;若xe(o,-乳則尸3<0.

所以函數(shù)M)在(-8,0),(號(hào)，+8)上單調(diào)遞增，在(0,-算上單調(diào)遞減.

例2【解答】f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/U)=l+2ax+2護(hù)仁生盛紀(jì)”

XX

若衣o,則當(dāng)脛(o,+0C)時(shí),尸⑸>o,故M在(o,+00)上單調(diào)遞增.

若3<0,則當(dāng)臟(0,?*)吐尸(x)>0;當(dāng)在(-/‘+8)吐/(*<0.故f{x)在(0,-/)上單調(diào)遞增,在(-/，+8)上

單調(diào)遞減.

當(dāng)堂反饋

1.(0,1]2.[|,+x)

第15課用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值

要點(diǎn)梳理

1.f(x)<f(xo)y枝大產(chǎn)f(加)f(x)>AAO)

y極小就=f(旗)

2.f(x)外的)f(xo)f(x)AAb)fkxo)

激活思維

1.52愣3.54.±6

真題演練

2孕n2【解析】函數(shù)力(x)的定義域?yàn)?。,+8),"")=2戶1/空平"令",(x)=。,得閆(1舍去).當(dāng)x

變化時(shí),力'(*),"(x)的變化情況如下表:

1

X2GW)

〃(x)-0+

"(x)、極小值Z

所以當(dāng)戶2時(shí)，函數(shù)加加取得極小值，且極小值為牛+ln2,無(wú)極大值.

能力提升

例1【解答】(1)因?yàn)榱?=2*?3(a+1)*+6ax,所以7(*=6*?6(尹1)x+6a,所以曲線片在六：0處的切

線的斜率A=f(O)=6a,所以6a=3,解得a=1.

(2)因?yàn)閒(x)+?-x)=-6(a+1)應(yīng)121nx對(duì)任意的AS(0,+3恒成立,所以-(”1)/群

令9(*)=等,40,則g'(x)=2(學(xué)詞.

令gXx)=0,解得x=捉.

當(dāng)布(0,Ve)時(shí),g'(x)>0,所以g(由在(0,Ve)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xw(Ve,+8)時(shí),gXx)<0>所以g(x)在(逐,+G上單調(diào)遞減.

所以g(x)max=^(Ve)彳，

所以-(尹1)之】,B|Js^-1

ee

所以a的取值范圍為(-8,?1?三?

例2【解答】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+s),

令尸3=詈=0,得產(chǎn)e.

當(dāng)0<x<e時(shí)，/(8)=號(hào)>0：

當(dāng)x>e時(shí)，/(#二專及0.

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,e］上單調(diào)遞增,在區(qū)間［e,+s)上單調(diào)遞減.

⑵①當(dāng)0<2加e,即0<儂］時(shí),f(x)在區(qū)間［6,2加上單調(diào)遞增,所以?x)max=?2/77)=^-1.

②當(dāng)m>e時(shí)，在區(qū)間［m,2加上單調(diào)遞減,所以Ax)max=A/77)=—1.

m

③肖m<e<2m即$v/77<e時(shí)，f(x)在區(qū)間［6,e］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［e,2/n］上單調(diào)遞減,所以Ax)max=Ae)—

y2e

1.

當(dāng)堂反饋

1.-2.0

e

第三章三角函數(shù)與解三角形

第16課弧度制與任意角的三角函數(shù)

要點(diǎn)梳理

1{片住發(fā)360°+。,依Z}2.(1)\c\r

33三24.RRa+/cn.kezj

rrx

激活思維

1.{-240°,120。}2.(-1,揚(yáng)3.1或44.1

真題演練

1.y【解析】如圖,假設(shè)角a為第?象限角.由cos2a=|,得28s2cl=|,解得8s吟I，所以COSO=/Q嗡，解

得a=y；COS0=J===^,解得夕等,所以|20=g.

2.EF【解析】如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出*tana尸sin。尸cos。在［0,2TT］上的圖象.由圖知，當(dāng)

住（"片）時(shí)，cosa<sina;當(dāng)代（］4），其中卜的？時(shí),tamcosa即當(dāng)aeQ.a）,其中卜亦開時(shí)，恒有

tana<coso<sina,所以：a<TT,故點(diǎn)尸在R1上.

（第2題）

能力提升

例1【解答】（1）在△498中，由余弦定理得,

。42+。82-432

CQSZ.AOB=-2OAOB-

2x1x15,

即COS/?=|.

（2）因?yàn)?08）0=1，

所以sir住Jl?cos20=jl?1J=i

因?yàn)辄c(diǎn)力的橫坐標(biāo)為卷,由三角函數(shù)定義可得,cos

所以cos(a+/^)=COsocos^sinasin^=^x|-3xi=>1|>sin(o+@;sinocos丹cososin晝|x|+卷令所以點(diǎn)

B(.史約

例2【解答】因?yàn)槭?a,尸-3a所以/=J(4a)24-(-3a)2=5|5|.

當(dāng)a>0時(shí),r=5a,所以sina=-=^="|.coso=*&tano===；.

當(dāng)KO時(shí),尸-5a,所以sinT二半二號(hào)，cos0=￥=[,tan(?=當(dāng)=二.

r-5a5-5a54a4

當(dāng)堂反饋

1.4752.⑤

第17課同角三角函數(shù)間基本

關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

要點(diǎn)梳理

1.(1)sin2a+cos2a=1(2)tano=^-

cosa

激活思維

31^3

1，223T44

真題演練

1.-1

2.3+2V2【解析】由tan^=V6cosft得sin^=V6cos2ft即sin^=V6(1-sin26^,解得sin^=^(負(fù)值舍去),cos??,

所以原式=3+2&.

能力提升

cosa

例1【解答】因?yàn)閒(a)=s”：：：：：sjna=?c0SG所以/(-^)=-cos(-10n-^)=-cos^=-1.

例2【答案】q

【解析】由sin夕^os氏2①,兩邊平方得sin2a2sin%os例?cos2。噌,即1+2sin/os@=表,所以

2sinaos失備<0.又因?yàn)槭?0,TT),所以sin會(huì)0,cos氏0,所以sin^-cos^=J(sin0-cos0)2=Vl-2sin0cos0=^?.

由①②兩式,解得sin”,cos^=-|,

所以taneg

當(dāng)堂反饋

1.【解答】由sin(y-a)=|,得cos(7=-|.

因?yàn)?An+TTV<7<2ATT+^(AeZ),

所以sino=-y,sin(C7TT)=-sincz=y.

2.士【解析】由直線4x-3葉1=0的傾斜角為a,知tan(7=^,故cos4o-sin4a=(cos2aH-sin2a)(COS2(T-

.2\_cos2a-sin2cr_1-tan2a_1-y_7

22

SI”aCOsa+sina1+tan2a1+竽25'

第18課三角變換

要點(diǎn)梳理

1.(1)sinacos住cososinJ3

(2)cosacos的sinosin0

⑶tan/±tan。

1+tanatan)?

2.(1)2sinocosa(2)cos2ot-sin2o=2cos2o1=1-2sin2a(3):嗎

l-tan4a

激活思維

1i2.V33.接4.一

2252

真題演練

1.i

MI解析】由題知e項(xiàng)書+卦喘瑞哼

能力提升

例1【答案】1

【解析】令^W，貝|Jcos氏/心3+三，從而2琮=2分所以sin(2a-^)=sinQ+2/?)=cos2/?=2cos2^-1=2xi-

例2【解答】（1）由cos牛0<0<^,

得sino=殍,所以tana=4g,

所以tan2好妥二里.

1-taMa47

(2)由0＜廬可得Ova■分g

因?yàn)閏os(0-j6)韋，

所以sin(a-p)=71-cos2(a-/7)=^,

所以cos代cos[a-(a■儀]

=cosocos(o/5)+sinasin(a-p)

=lx13|W3x3V3^1

7147142f

所以若?

當(dāng)堂反饋

1.3表【解析】因?yàn)間(0，?所以W)?又sin(W)q所以cos(4)W，所以cosa=cos[(a-04-

n](TT)n.(7T\.n4V3314^3-3

=cos

d'，)cosrsin(a--)sin-=-x--x-=—.

2.【解析】由題知sin償?x)+sin2(X)

=sin卜G+窈+si哇y+期

=sin(x4-^+cos2(x4-合)

二sin(x+#1-sin2G+另

1_19

丁勺正.

第19課三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

要點(diǎn)梳理

2.尸sin(A+°)*sin(3A“)產(chǎn)4sin(幼葉0)

*sing**sin(3x+0)尸Zsin(3A+0)

激活思維

1.4TT2.{%卜A:+瑞,/cez]

3?朋4小國(guó)

真題演練

1.3【解析】由題知sin（2xm+8）=±1,則"行尹An（依Z）,所以行（+行（左Z）.因?yàn)椤?彳,所以行己.

2.［—：■+：］（左Z）【解析】將函數(shù)*sin（2x+。的圖象向右平移荒個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)片sin2x的圖

象.由1+2ATTW2腔/+2An（候Z）,得-｝加￡二：+奸1（左Z）,所以函數(shù)片sin2x的單調(diào)增區(qū)間為［ATT?,ATT+^J（依Z）.

能力提升

例1【解答】（1）①列表.

n37r5兀7n97r

X

2T-T

17Tn37r

5，0TT2TT

2T

y030-30

②描點(diǎn).

③作圖:如圖所示.

（2）方法一：“先平移，后伸縮”.

先將片sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平移.個(gè)單位長(zhǎng)度,得至IJ*sin（Kq）的圖象；再將片sinGC）的圖象上所

有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到片singxq）的圖象;最后將片sin（步一）的圖象上所有點(diǎn)的

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到片3sinGx-9的圖象.

方法二：“先伸縮，后平移”.

先將片sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到*sin4?的圖象;再將片sin7

的圖象上所有的點(diǎn)向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度,得到片sin6q）的圖象;最后將看sinGx-；）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到片3sinCx-￡）的圖象.

(3)因?yàn)槠?singx-9是周期函數(shù)，通過(guò)觀察圖象可知，所有與x軸垂直并且通過(guò)圖象的最值點(diǎn)的直線都是

此函數(shù)的對(duì)稱軸，即令*^=9加(依Z),解得產(chǎn)手+2An?eZ),即為對(duì)稱軸方程.

2422

所有圖象與x軸的交點(diǎn)都是函數(shù)的對(duì)稱中心,令:嚀二如■(依Z),得X］+2ATT(依Z),所以對(duì)稱中心為點(diǎn)

Q+2/cn,0)(生Z).

因?yàn)閄前面的系數(shù)為正數(shù),所以,令1+2而當(dāng)號(hào)與+2而,生乙解得疾［々+4ATT,與+4ATT］,依乙即為函數(shù)的

單調(diào)增區(qū)間.

例2【解答】(1)El^jAx)=^^+ySin2A=ySin2A^cos2%+1=sin(2x-^+i

所以f(川的最小正周期為廣松匚TT.

(2)ill(1)MlAx)=sin(2x-^)+j.

因?yàn)閷?duì)q,m］,

所以2爬，后,2叫1

要使外必在［《即］上的最大值為.即sinlq)在［4即］上的最大值為1,只需2%年,即加*所以6的

最小值為年

當(dāng)堂反饋

.Un

1-

2.當(dāng)【解析】因?yàn)閒(x)=cosx-sinA=&cos(代)，由2AnWx+%iT+2/rn(AeZ),得函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為

忸吟片+2時(shí)(生Z).又M在［0,a］上單調(diào)遞減,所以［0,a］斗；,用所以小學(xué)所以a的最大值為手.

第20課正弦定理與解三角形

要點(diǎn)梳理

1?品磊嗑=28(1)2屆in82/feinC⑵2卷點(diǎn)(3)sinAsin5:sinC

2.1dcsin/4

激活思維

1.竿2.105°或15°3.24.4V3

真題演練

1.2(2,+8)【解析】由正弦定理得5"/|勿亭￡5衍5=*彳+及胤，即sing=KcosA因?yàn)?為必反?的內(nèi)角，

所以管點(diǎn)正弦定理得匚聯(lián)=更卑=學(xué)［=+1.乂因?yàn)镃為鈍角，所以即00C，所以0<aM<g所以

3asin/4sin/l2tan/l23263

->2.

a

2.竽【解析】由按+艮4=8,得2b8os4=8,所以/為銳角，且仇xx)S/4=4.由題意及正弦定理得

sin厭in6>sinNn8=4sin/4sinHsinC,因?yàn)閟inS*0,sinC*O,所以sin/4=1,所以4=30°,所以dccos30°=4,即

bo?所以“8c的面積為鋸仇5