高中數(shù)學(xué)：8-4平面（學(xué)案）

第04講平面

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解三種語言的轉(zhuǎn)換與翻譯，三個基本事實的掌握

與運用；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握三種語言表達

2.會用圖形語言、符號語言表示點與直幾何中的位置關(guān)系，并能運用基本事實及推

線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.論證明點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系.

3.能初步判斷點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系.

趣知識精講

知識點

一、平面

1.平面的概念

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象.

幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的.但是，幾何里的平面是無限延展的,

一個平面可以將空間分成兩部分.

2.平面的畫法

在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來表示平面.

（1）當(dāng)平面水平放置時，如圖（1）,平行四邊形的銳角通常畫成45。，且橫邊長等于其鄰邊長的一2倍;

當(dāng)平面豎直放置時，如圖（2）,平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線.

（2）如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出來，也

可以不畫.如圖（1）表示平面』在平面a的上面，圖（2）表示平面a在平面4的前面.

3.平面的表示

為了表示平面，我們常把希臘字母a,夕，y等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面a,平面夕;

也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點表示，還可以用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的

大寫英文字母表示.如圖中的平面可以表示為：平面a、平面ABC。、平面AC或平面8￡）.

4.點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示

點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集

合.集合中很多符號的規(guī)定都源于將圖形視為點集?點與直線（平面）之間的位置關(guān)系用符號“e”，“右”

表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“u”，“仁”表示等.點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示

如下：

點尸在直線“上，記作Pea；

點。不在直線a上，記作QCa；

點A在平面a內(nèi)，記作Aea；

點2不在平面a內(nèi)，記作Bea；

直線＜7在平面a內(nèi)，記作aUa；

直線/不在平面a內(nèi)，記作/.a；

直線”與匕相交于點A,記作anb=4；

平面a,B相交于直線I,記作aC網(wǎng).

二、平面的基本性質(zhì)

1.三個基本事實：

（I）基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

符號表示：A&l,Bel,且Aea,Beanlua.如圖所示:

作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

(2)基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

符號表示：A,B,C三點不共線=有且只有一個平面a,使Aea,Bea,Cea.如圖所示:

作用：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

(3)基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

符號表示：Pea,且，且Pe/.如圖所示：

作用：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.

2.三個推論

(1)推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.

符號語言：若點A6直線a,則A和a確定一個平面a.如圖所示：

(2)推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

符號語言：aZ?=P=有且只有一個平面a,使aua,baa.如圖所示:

（3）推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

符號語言：a〃6n有且只有一個平面a,使aua,bua.如圖所示:

【微點撥】對三個基本事實的理解

（1）對于基本事實1,我們可以知道：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上的所有點在平面內(nèi).

（2）“不在一條直線上”和“三點”是基本事實2的重點字眼，如果沒有前者，那么只能說“有一個平面”，

但不唯一；如果將"三點”改成“四點”，那么過四點不一定存在一個平面.由此可見，“不在一條直線上的

三點”是確定一個平面的條件.

（3）基本事實3反映了平面與平面的一種位置關(guān)系——相交，且交線唯一.

【即學(xué)即練1】如圖所示，用符號語言可表示為（）

A.a/3=m,“ua,mn=AB.aP=m,nea,mn=A

C.aP=m,aua,A（^m,AanD.a\。=m,nea,Aem,Aen

【答案】A

【解析】

【分析】

由圖可知兩平面相交于直線m,直線”在平面a內(nèi)，兩宜線交于點A,從而可得答案

【詳解】

由圖可知平面4夕相交于直線機，直線"在平面a內(nèi)，兩直線也〃交于點A,所以用符號語言可表示為

aP=m,"ua,mn=A,

故選：A

【即學(xué)即練2】以下說法中，正確的個數(shù)是（)

①不共面的四點中，其中任意三點不共線；

②若直線“，力共面，直線“，C共面，則直線4C共面：

③首尾依次相接的四條線段必共面.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)知①中若有三點共線則必四點共面，②中只能得到兩個平面有交線，不能得到兩面重

合③可由空間四邊形知結(jié)論錯誤.

【詳解】

①正確，若四點中有三點共線，則可以推出四點共面，這與四點不共面矛盾；

②不正確，共面不具有傳遞性；

③不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內(nèi)，

故選：B

【即學(xué)即練3】下列敘述中，正確的是（）.A.因為尸ea,Qea,所以PQea

B.因為Pwtz,所以=

C.因為ABua,C^AB,D^AB,所以C￡>wa

D.因為ABua,ABu/3,所以a/3=AB

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本事實1判斷選項A、C,根據(jù)基本事實3判斷選項B、D.

【詳解】

A：因為Pea,Qea,所以PQua,故A錯誤；

B：因為Pec，Qs。、所以ac￡=PQ或a〃6，故B錯誤；

C：因為ABua,CeAB,DeAB,所以CDua,故C錯誤；

D：因為A8uc,A8u￡,所以a/3=AB,故D正確.

故選：D

【即學(xué)即練4】以下四個命題：①三個平面最多可以把空間分成八部分；②若直線au平面a,直線6u平

面■，則與b相交'與"a與￡相交”等價；③若直線“u平面呢直線bu平面夕，且a匕=尸,

則Pw/；④若〃條直線中任意兩條共面，則它們共面.其中正確的是

A.①②B.②③C.③④D.①③

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公理求解空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系.

【詳解】

對于①，正確；對于②，逆推力與夕相交”推不出““與。相交”，也可能是a〃b或異面，如長方體的面對角

線；

對于③，由“基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”

可知正確；

對于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共而，故④錯.所以正確的是①③.

故選：D.

【點睛】

本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練5】如圖所示，平面a1平面尸=/,點48€々，點。€〃，直線A3c/=R.設(shè)過三點的

平面為y,則〃cy=（）

A.直線ACB.直線3c

C.直線CRD.以上均不正確

【答案】C

【解析】

由CR是平面/和7的兩個公共點，山兩個平面若有交點，所有的交點都在同一條直線上，即可進行判斷.

【詳解】

QABZ=R,平面a1平面p又兒8,。三點確定的平面為/,

，（7€7,鈣匚％；./?€九又、（7€民，（?,我是平面萬和/的公共點，，￡門/=以.

故選：c

【點睛】

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，因此兩個不重合的平面

的兩個公共點的連線必為這兩個不重合的平面的交線.

【即學(xué)即練6】以下四個命題中，不正確的命題是（）

A.不共面的四點中，其中任意三點不共線

B.若點A,B,C,O共面，點共面，則ARCRE共面

C.若直線a,b共面，直線共面，則直線仇。共面

D.依次首尾相接的四條線段必共面

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用反證法可知A正確；直線DE與直線AC異面時，A,8,C,D,E不共面，判斷5；C中。,c可為異面直線,

判斷C；。中四條線段可構(gòu)成空間四邊形，判斷。.

【詳解】

A選項：若任意三點共線，則由該直線與第四個點可構(gòu)成一個平面，則與四點不共面矛盾，則任意三點不

共線，A正確；

B選項：若A&C三點共線，直線DE與直線AC異面，此時A,8,C,O,E不共面，B錯誤；

C選項：“力共面，"，c?共面，此時b,c可為異面直線，C錯誤；

O選項：依次首尾相接的四條線段可構(gòu)成空間四邊形，O錯誤.

故選：BCD

【即學(xué)即練7】在平地上，自行車側(cè)旁的撐腳放下能確保自行車的穩(wěn)定，其反映的立體幾何知識是：

【答案】不在同一條直線上的三個點確定一個平面

【解析】

【分析】

根據(jù)底面是三角形時，立體兒何比較穩(wěn)定即可得出答案.

【詳解】

自行車的前輪、后輪有兩個著地點，

撐腳放下，在地面上形成三角形，

由基本事實3可確定自行車的穩(wěn)定.

故答案為：不在同一條直線的三個點確定一個平面.

【即學(xué)即練8】經(jīng)過一點可作個平面，經(jīng)過兩點可作個平面，經(jīng)過三點可作

個平面，經(jīng)過不共面的四點可作個平面.

【答案】無數(shù)無數(shù)一或無數(shù)4##四

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的性質(zhì)作答即可.

【詳解】

經(jīng)過一點可作無數(shù)個平面，

經(jīng)過兩點可作無數(shù)個平面，

經(jīng)過三點，若三點不在一條直線上，可作一個平面，若?點在一條直線上可作無數(shù)個平面，故經(jīng)過三點可作

一或無數(shù)個平面

經(jīng)過不共面的四點，任取3點可作一個平面，一共可作4個平面.

故答案為：無數(shù)；無數(shù)；一或無數(shù)：4.

【即學(xué)即練9】在空間四邊形ABC。中，點E,F,G,H分別在AB,BC,CD,D4上，若直線E"與FG

相交于點P,則點P與直線3。的關(guān)系是.

【答案】PwBD

【解析】

【分析】

根據(jù)點線、線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)，即可判斷點線關(guān)系.

【詳解】

由題意，PeEH,PeFG,而￡7/u面ABC,FGu面CBD,

Pw面ABD,尸e而CBD、而面A應(yīng))［面C3Z)=BD,

:.P&BD.

故答案為：PeBD

【即學(xué)即練10】畫出滿足下列條件的圖形(其中A,B,M表示點，m,n,a,6表示直線，a,戶表示平

面):

(l)，wua,“u4,a/3=l,mlIni11；

(2)Aetz,Be尸，ABcta,ABu。,ap=l；

(3)aua,buB,a0=1,ab-M.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【分析】利用點、線、面的位置關(guān)系的圖形表示，即可得到答案；

【解析】

(1)

【即學(xué)即練11】請指出下列說法是否正確，并說明理由：

(1)空間三點確定一個平面；

(2)如果平面a與平面夕有公共點，那么公共點就不止一個；

(3)因為平的斜屋面不與地面相交，所以屋面所在的平面與地面不相交.

【答案】(1)錯誤，理山見解析；

(2)正確，理由見解析：

(3)錯誤，理由見解析.

【分析】

利用平面的定義和性質(zhì)的應(yīng)用即可得出結(jié)果.

【解析】

(1)錯誤，因為只有不在同一條直線上的三點，才能確定一個平面，故(1)錯誤；

(2)正確，若平面a與夕有公共點，那么這些公共點可以構(gòu)成一條直線，故公共點就不止一個，故(2)正確；

(3)錯誤，平的斜屋面所在的平面與底面不相交，只是斜屋面不夠大，由于平面是無限延展的，所以必相交,

故(3)錯誤.

【即學(xué)即練12］如圖，已知平面a,夕，且a夕=/.若梯形ABC。中，AD//BC,且A8<=a,CDu.

求證：AB,CD,/共點(相交于一點).

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

利用平面基本事實2可以證明三線共點：設(shè)直線ABc直線C0=M,先證明M為￡的公共點，再證明

Mel,從而可以證明A8,8,/共點.

【詳解】因為梯形H3CZ)中，AD//BC,所以A8,C。是梯形ABCD的兩腰.

所以直線A8,8必相交于一點.

設(shè)宜線AflC宜線CD=A/.

又因為A8uc,COu￡,所以

所以Meac分.

又因為a￡=/,所以Me/,即A8,C。，/共點(相交于一點).

考法01

1.三種語言的轉(zhuǎn)換

學(xué)習(xí)幾何問題，三種語言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能.

要注意：(1)正確區(qū)分點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示；

(2)用圖形表示時，正確區(qū)別實線和虛線.

【典例1】如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系:

D

①點A,8在直線“上________；②直線。在平面a內(nèi)；③點。在直線b上，點C在平面a內(nèi)

【答案】Aea,BeaaaaDeb,Cea

【解析】

【分析】

根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法即可求出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①Aea,Bea；②aua；③Dwb,Cea.

故答案為：①Aea,Bea；②:aua；③Deb,Cea

【典例2］把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.

7

/T7?A

[Av

ABC

(1)AAa,gag

(2)aC網(wǎng)a,且P耶____.

(3)aC\B=a,aC\y=c,pC\y=b,aC\bC\c-0.

【答案】BCA

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷

【詳解】

根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷(1)對應(yīng)的是圖8;(2)對應(yīng)的是圖C；(3)對應(yīng)的是圖A,

故答案為：B；C；A

【典例3】用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：

(1)三個平面a,夕，y相交于一點P,且平面a與平面尸相交于P4,平面a與平面》相交于PB,平面

P與平面》相交于PC-

(2)平面ABO與平面BOC相交于80,平面ABC與平面ACC相交于AC.

【答案】答案詳見解析.

【解析】(1)符號語言表示：aC￡Cy=P,aC\p-PA,aC\y=PB,0c產(chǎn)PC,圖形表示：如圖(1).

(2)符號語言表示：平面A8￡)n平面平面ABCfl平面AOC=AC,圖形表示：如圖(2).

【名師點睛】要注意符號語言的意義，如點與直線、點與平面之間的位置關(guān)系只能用“e”或“史”，直線與平

面之間的位置關(guān)系只能用“u”或“U”.用圖形語言表示點、線、面之間的位置關(guān)系時，要注意實線和虛線

的區(qū)別.

【典例4】用符號表示下列語句：

(1)點A在直線/上，/在平面a內(nèi)；

(2)平面a和平面夕的交線是直線/,直線機在平面a內(nèi)；

(3)點A在平面a內(nèi)，直線/經(jīng)過點A,且直線/在平面a外；

(4)直線/經(jīng)過平面a外一點M.

【答案】(l)Ac/,/ua；

(2)平面a平面￡=直線/,直線，"<=平面a；

(3)點Aw平面a,點Ae直線/,直線/<Z平面a；

(4)點Me平面口,點Me直線/.

【解析】

【分析】

利用點與直線、點與平面、直線與平面的關(guān)系直接求解.

(1)點A在宜線/上，/在平面a內(nèi)，記為：Ae/,/ua；

(2)平面a和平面夕的交線是直線I,宜線切在平面a內(nèi),

記為：平面a0平面尸=直線/,直線，”u平面a；

(3)點4在平面a內(nèi)，直線/經(jīng)過點A,且直線/在平面a內(nèi)外,

記為：點Ac平面a，點Ae直線/,直線平面a；

(4)直線/經(jīng)過平面a外一點M,

記為：點平面a，點Mw直線I.

考法02

2.點、線共面問題

基本事實1、基本事實2及其推論是證明點、線共面的主要依據(jù).常用的方法有：

(1)納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)點、線確定平面a,再證明其余點、線確定平面夕，最后證明夕，夕重合.

【典例5】下面三條直線一定共面的是()

A.a,b,c兩兩平行B.a,b,c,兩兩相交

C.a//b9c與a,〃均相交D.a,b,c兩兩垂直

【答案】C

【解答】解：對于4,直線a,b,。兩兩平行，不一定得出a、b、c共面；

對于8,直線小b,。兩兩相交，不一定得a、/?、c共面；

對于C,a//b,且c與〃、人都相交，則〃、b、c三條直線共面；

對于￡>,a,b,c兩兩垂直，不一定得出〃、b、c共面.故選：C.

【名師點睛】本題考查了空間中的三條直線位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.根據(jù)題意分別判斷選項中的命

題結(jié)論是否正確即可.

【典例6】如圖，在正方體A3CO-A4GA中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)由點4。，C可以確定一個平面;

（2）由點A,G，片確定的平面為平面

【答案】（1）不正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）由正方體的性質(zhì)知A,O,C在同一條直線上，此三點所成平面有無數(shù)個，可知正誤.

（2）由正方體的性質(zhì)知A,B1，G不共線且〃瓦G，即可判斷A,G，坊的平面.

【詳解】

（1）不正確，由點A,O,C在同一條直線上，則不能確定一個平面，而有無數(shù)個平面.

（2）正確，由A,片,G不共線，則可確定一個平面.

又ADMB\G，則De面AB￡.

.??由點A,G，片確定的平面為面ADCg.

【典例7】如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E,尸分別為A8,A。的中點，G,”分別在8C,C。上,

且BG:GC=DH:HC=1:2.求證：

（1）E、F、G、，四點共面；

（2）EG與，尸的交點在直線AC上.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得EF//GH,即可證明四點共面；（2）由條件證明EG與”產(chǎn)的交點既在平面ABC

上，又在平面AC￡＞上，即可證明.

【詳解】

證明（I）VBG:GC=DH:HC,：.GH//BD.

VE,F分別為AB,的中點，

/.EF//BD,EFUGH,：.E,F,G,H四點共面.

（2）VG,，不是BC,CO的中點，

EF//GH,且EF工GH,故EFHG為梯形.

.?*EG與FH必相交，設(shè)交點為M,

二EGu平面ABC,FHu平面ACD,

/.MG平面A8C,且Me平面ACD,

/.MeAC,即GE與HF的交點在直線AC上.

【典例8】求證：兩兩相交且交點不止一個的四條直線〃、b、c、d共面.

【答案】證明詳見解析.

【解析】（1）無三線共點情況，如圖（1）.

設(shè)ad=M,bd=N,c\d=P,ah=Q.a\'c=R,bc=S.

因為0d=M,所以a,4可確定一個平面a.

因為Ned,Q€a,所以Ne。，Qea,所以NQua,即8ua.同理，cua,所以“，b,c,d

共面.

（2）有三線共點的情況，如圖（2）.

設(shè)％,c,4三線相交于點K,與a分別交于點N,P,M,且K《a,

因為K足a,所以K和。確定一個平面，設(shè)為

因為Nea,au0,所以Ne〃.所以NKu0,即hu/?.同理，cuB,du0.

所以a,b,c,4共面.由（I）（2）知，a、b、c、4共面.

考法03

3.平面的交線問題

根據(jù)基本事實3,如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有其他公共點，只要找出這兩

個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線.因此求兩個平面的交線的突破口是找到這兩個平面的兩個公

共點.

【典例9】如圖，在正方體ABCO-A4GR中，若P為棱8片的中點，判斷平面與平面ABCQ是否

相交.如果相交，作出這兩個平面的交線.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)基本事實2可作兩個平面的交線.

【詳解】

平面。/C與平面A8co相交，

如圖，連接￡>8、。廠并延長交于。，連接C。,

則平面RPC「）平面ABCD=CQ.

【典例10］在三棱錐4-BCO的棱4B、BC、CD、D4上分別取E、F、G、”四點，如果E/Tl”G=P,則

點尸（）

A.一定在直線上B.一定在直線AC上

C.在直線AC或上D.不在直線AC上，也不在直線8。上

【答案】B

【解析】如圖所示，YEFu平面ABC,"Gu平面AC。，EFClHG=P,

.?.PG平面ABC,PG平面ACD又\?平面ABCD平面ACO=AC,：.PeAC,

故選B.

【典例11】.如圖，平面“C平面￡=/,ABGa,CeP,Ce/,直線48c/=￡>,過A,RC三點確定的平面為

A.點AB.點8C.點C,但不過點OD.點C和點。

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論推導(dǎo)即可

【詳解】

由題意知，Del,/u￡,.?.￡）€￡,又OwAfi,

：.Dey,即3在平面/與平面夕的交線上，又Cey,Ce/?,

...點C在平面7與平面夕的交線上，即平面？，夕的交線必過點C和點D

故選：D.

考法04

4.三點（多點）共線問題

點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有：

（1）首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3知這些點都在這兩個平面

的交線上；

（2）選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.

【典例12］已知△ABC在平面a外，其三邊所在的直線滿足4BCla=P,BCTla=。，ACTla=R,如圖所示,

求證：P,Q,R三點共線.

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出P,。，K都在平面48c與平面a的交線上，即可證明.

【詳解】

證明：法一：-：ABna=P,

：.PeAB,PG平面a.

又A8u平面48C,平面ABC.

.?.由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證。，R也在平面ABC與平面a的交線

上.Q,R三點共線.

法二：'：APHAR=A,

：.宜線AP與直線AR確定平面APR.

5i,：ABna=P,ACC\a^R,，平面APRC平面a=PR.

VBe￥ffiAPR,CG平面APR,APR.

■:QRBC,平面APR,又。Ga,：.Q&PR,

：.P,Q,K三點共線.

【典例13］如圖所示，四邊形ABC。中，已知AB〃C￡>,AB,BC,DC,AC（或延長線）分別與平面a相交

于E,F,G,H,求證：E,F,G,，必在同一直線上.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)推論3及基本事實2可知，兩條平行直線A8和CD可以確定一個平面ABC。，并且平面4BCZ）

與平面a的所有的公共點應(yīng)該在一條直線上，根據(jù)題意，這些公共點即E,F,G,H四點，所以這四點必

定共線.

【詳解】證明：因為4B〃C。，所以A8,C￡＞確定平面AC,因為ABCa=E,所以Ee平面AC,EGa,由

基本事實3可知，E必在平面AC與平面a的交線上.同理「，G,“都在平面AC與平面a的交線上，因

此E,F,G,，必在同一直線上.

【點睛】在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用基本事實2,即先證明這些點都是某二平面的公

共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論.

考法05

5.三線共點問題

證明三線共點問題，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常

結(jié)合公理3,證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線

共點.

【典例14］如圖，在四面體A8CQ中，E,G分別為8C,AB的中點，點F在C￡＞上，點H在AO上，且

有。/：FC=1：3,。，：”4=1：3.求證：EF,GH,8。交于一點.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用基本事實4和基本事實2可證三線共點.

【詳解】

證明連接GE,HF.

因為E,G分別為BC,A8中點，所以GE〃1AC.

2

因為。尸：尸C=l：3,=1：3,所以"FV/’AC.

3

從而GE〃HF且GE#HF,故G,E,F,，四點共面且四邊形EFHG為梯形，

因為EF與GH不能平行，設(shè)EFCGH=O,則Oe平面480,06平面BCD

而平面ABDA平面38=80,所以GH,BD交于一點、.

【典例15］如圖，不共面的四邊形AB8H,BCC'B',C44。都是梯形.求證：三條直線AV,BB',CC相

交于一點.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

分析先證其中兩條直線共而且交于一點，再證這點也在第三條直線上即可.

【詳解】

因為在梯形A88次中，A'B'//AB,所以A4',89在同一平面A5內(nèi).

設(shè)直線44',89相交于點P,如圖所示.

同理8夕，CC同在平面8。內(nèi)，CC,A4'同在平面A'C內(nèi).

因為PGAA144匕平面4C,所以Pe平面4c.

同理點尸6平面BC,所以點尸在平面A，C與平面5c的交線上，

而平面A'CB平面BC'=CC,故點PG直線CC,即三條直線441BB',CC相交于一點.

福分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列敘述錯誤的是（）

A.若pGaCp,且anp=l,則p￡l.

B.若直線々n/?=A,則直線。與/?能確定一個平面.

C.三點A,B,C確定一個平面.

D.若Ad/,Be/且AWa,則/ua.

【答案】C

【解析】

由空間線面位置關(guān)系，結(jié)合公理即推論，逐個驗證即可.

【詳解】

選項A,點P在是兩平面的公共點，當(dāng)然在交線上，故正確；

選項8,由推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確：

選項C,只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；

選項。，由基本事實1,直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則整條直線都在平面內(nèi).

故選：C

2.下面四個條件中，能確定一個平面的是（）

A.空間中任意三點B.空間中兩條直線

C.空間中兩條相交直線D.一條直線和一個點

【答案】C

【解析】

根據(jù)每個選項，可舉出相應(yīng)的反例進而得到結(jié)果.

【詳解】

A,空間任意三點，當(dāng)三點共線時能確定一條直線而不是平面，故不正確；

B.空間兩條直線，當(dāng)兩條直線重合時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確；

C.空間兩條平行直線，根據(jù)課本中的判定得到是正確的；

D.一條直線和一個點，當(dāng)這個點在直線上時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確.

故選：C.

3.設(shè)/,，〃表示兩條不同的直線，％夕表示兩個不同的平面，。表示一個點，給出下列四個命題，其中正確

的命題是（）

①Q(mào)wa,luanQel②/c〃z=。，mu。③/〃加，lua,Q^m,Qwcnmua

④aJ_/且aP=m,Q&P,Q&l,ILa=lu/3

A.①②B.②③C.②③D.③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)點線面的位置關(guān)系，判斷①的正確性.根據(jù)基本事實1判斷②的正確性，根據(jù)基本事實2及其推論判斷

③的正確性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，判斷④的正確性.

【詳解】

對于①，。點和直線/都在平面a內(nèi)，但是。不一定在直線/上，故①錯誤.

對于②，根據(jù)條件可知直線/有一個點。在夕內(nèi)，根據(jù)公理1，無法判斷直線/是否含于平面尸，故②錯誤.

對于③，由于〃/m,所以/與加共面，直線/與Q確定一個平面，且Qe，〃，Qea,所以機ua,故③正確.

對于④，a,4且ap=m,而Qe/?,Qel,,過一點只能作平面的一條垂線，且。所以/u1，

故④成立

故選：D

【點睛】

本小題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.空間中AB,C,D,E五點不共面，已知AB,C,。在同一平面內(nèi)，B,C,D,E在同一平面內(nèi)，那

么B,C,D三點、()

A.一定構(gòu)成三角形B.一定共線C.不一定共線D.與AE共面

【答案】B

【解析】

【分析】由已知條件可知，B,C,。既在平面ABCD上又在平面BCDE匕結(jié)合公理3即可得出.

【詳解】設(shè)平面ABCD為a,平面BC￡)E為夕，且AB,C,D,E不共面，則BCua,C￡)ua,

BCu民COuP，則a,尸必相交于直線/，且3e/,Ce/,Z)e/,故5,C,。三點一定共線且位于平面A8CZ)

與平面B8E的交線上.

【點睛】本題對空間中三點共線進行考查，解題的關(guān)鍵是基本事實3的運用.

5.如圖，四棱錐P-A3C￡>,ACBD=O,M是PC的中點，直線AM交平面尸瓦)于點N,則下列

結(jié)論正確的是

A.O,N,P,M四點不共面B.四點共面

C.三點共線D.P,N,O三點共線

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本事實一、二、三逐一排除即可.

【詳解】

直線AC與直線P0交于點。，所以平面PCA與平面PBD交于點O,所以必相交于直線PO,直線AM在平

面PAC內(nèi)，點NeAM故Ne面PAC,故O,N,P,M四點共面，所以A錯.

點D若與M,N共面，則直線BD在平面PAC內(nèi)，與題目矛盾，故B錯.

0，M為中點，所以O(shè)M//PA,ONcPA=P,故ONcOM=O,故C錯.

故選D.

【點睛】

本題屬于中檔題，考查基本事實一、二、三的應(yīng)用，學(xué)生不易掌握，屬于易錯題.

6.一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分……由

此猜測，〃（〃wN*）個平面最多將空間分成（）部分.

A.2〃B.C.2〃D.+1

6

【答案】D

【解析】

由2,3,4,5個平面把空間最多分成的部分數(shù)可排除A,B,C.

【詳解】

由一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分，可以

排除A3兩個選項.四個平面時，可以考慮在三個平面最多將空間分成八部分的情況下再加一個平面，則第

四個平面最多可以將該八部分中的七個分為兩部分，所以四個平面最多將空間分成十五部分，可以排除C

選項.

故選：D.

【點睛】

本題考查平面分空間問題，解題時通過從特殊到一般進行歸納，也可通過特殊個數(shù)平面分空間個數(shù)來否定

三個選項.

7.如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是（）

【答案】D

【解析】

利用異面直線的判定方法可得正確的選項.

【詳解】

在A圖中，分別連接PR,QS,則PR//QS,所以P,S,R,。四點共面,

在B圖中，過尸,S,H,Q可作一個正六邊形，如圖所示，故尸,S,R,Q四點共面,

在C圖中，分別連接PQ,RS,則PQ〃RS,所以P,S,R,。四點共面,

在D圖中，PS與RQ為異面直線，所以P,S,R,Q四點不共面,

故選:D.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解題關(guān)犍在于對異面直線的判定方法的理解，難度屬于基礎(chǔ)題

8.下列結(jié)論中不正確的是（）

A.若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點

B.若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線

C.若點A既在平面a內(nèi)，又在平面月內(nèi)，則a與4相交于6,且點A在匕上

D.任意兩條直線不能確定一個平面

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面基本性質(zhì)若兩個不重合的平面有一個公共點，則兩平面相交于過這一點的一條直線，有無數(shù)個公共

點，可判斷A,C正確，

由直線與直線外一點確定一個平面可得選項B正確；

由兩條直線平行或相交，則可以確定一個平面可得選項D錯誤.

【詳解】

解：由平面基本性質(zhì)可知，若兩個不重合的平面有一個公共點，則兩平面相交于過這一點的一條直線，有

無數(shù)個公共點，因此選項A,C正確；

當(dāng)平面四個點中，有三點共線，由直線與直線外一點確定一個平面可得此四個點共面，

故假設(shè)不成立，即其中任意三點不共線，因此選項B正確；

若兩條直線平行或相交，則可以確定一個平面，因此選項D錯誤.

故選D.

【點睛】

本題考查了平面的基本性質(zhì)、線面關(guān)系，重點考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.

9.在空間四邊形ABC。各邊A3、BC、CD、D4上分別取點E、F、G、H,若直線EF、G”相交于點

尸，則（）

A.點尸必在直線AC上B.點尸必在直線8。上

C.點戶必在平面內(nèi)D.點尸必在平面BCO內(nèi)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)公理，利用兩個平面的公共點在兩平面的公共直線上來判斷即可.

【詳解】

???EF在面ABC上，而GH在面A0C上

且EF、G”能相交于點P,

二P在面ABC與面AOC的交線上，

：AC是面A3C與面ADC的交線，

所以點尸必在直線AC上.

故選：A.

【點睛】

本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，仔細解答.

10.A,B,C表示不同的點，〃，/表示不同的直線，a,4表示不同的平面，下列推理表述不正確的是（）

A.Ae/,Aea,BGI,BGanlua

B.A6a,Aw夕，BG。,8Ca=an4=直線AB

C.A,B,Cea,A,B,Ce夕，且A,B,C不共線=a與"重合

D.Ida,“ua,今/與“不能確定唯一平面

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；an/?=直線4B,所以選項BiE確；因為不共線的三個點只能確定一

個平面，所以選項C正確；/與〃能確定唯一平面，所以選項D不正確.

【詳解】

由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；

由題得A8u%A8u￡,所以＜加夕=直線A8,所以選項B正確：

因為不共線的三個點只能確定一個平面，所以a與3重合，所以選項C正確；

/ua,〃ua,inn=A,/與〃能確定唯一平面，所以選項D不正確.

II.平面內(nèi)8條直線沒有四條直線共點，最多三條直線平行，至少有幾個交點（）

A.9個B.10個

C.11個D.12個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，可以有二組三條直線平行，再分析如何增加兩條直線使交點最少，作圖即可求解.

【詳解】

因為最多三條直線平行，可以有二組三條直線平行，

如圖“〃2%，4也私，這6條線共有9個交點,

如圖交點分別為AB,C,D,E,F,G,H,M,

若要使交點最少可以使/7過兩組平行線的三個交點，此時沒有增加新的交點，

因為平面內(nèi)8條直線沒有四條宜線共點，4不能過三條線的公J[?點，

比如不能過圖中的AE,M,

由于不能過點E為了保證交點最少，4可以過兩條直線的交點,

最少增加2個新的交點，如圖點。,2，

所以至少有9+2=11個交點，

故選：C.

題組B能力提升練

1.（多選）已知A,8,C表示不同的點，/表示直線，a,夕表示不同的平面，則下列推理正確的是（）

A.Ael,Aea,Bel,Bqa=luaB.Aea,Aw/},Bea,Be/3=AH

C.I（^a,Ae/=AeaD.Asa,AGI,/<Xa=>/ca=A

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)點線面的位置關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)公理1可知A正確；

根據(jù)公理3可知B正確；

易知D正確；

點A可以為/,a的交點，C錯誤.

故選：ABD.

2.（多選）以下四個命題中，正確的是（）

A.不共面的四點中，其中任意三點不共線

B.若點A,B,C,。共面，點A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E共面

C.若直線a,6共面，直線a,c共面，則直線瓦c共面

D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面

【答案】AD

【解析】

【分析】

A選項舉出反例即可說明；C選項根據(jù)共面不具有傳遞性即可判斷；B選項根據(jù)點共面的性質(zhì)判定即可；D

選項根據(jù)過直線與直線外一點可確定個平面，即可判斷.

【詳解】

4正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點共線，則四個點必共面，與不共面的四點矛盾；

8從條件看出兩平面有三個公共點A,B,C,但是若4,B,C共線，則結(jié)論不正確；

C不正確，共面不具有傳遞性，若直線”，方共面，直線a,c共面，則直線〃，。可能不在一個平面內(nèi)；

。正確，兩兩相交的直線有三個公共點，確定一個平面.故選：AD.

3.如圖所示，在正方體ABCQ-AAGR中，。為的中點，直線AC交平面于點M，則下列結(jié)論

正確的是（)

D\

A.G，M,。三點共線B.C，M,O,C四點共面

C.G，O,A,"四點共面D.A，D,O,M四點共面

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；

【詳解】

解：在正方體ABCO-A/GR中，。為的中點，直線AC交平面于點M,

在選項A中，?直線AC交平面CB。于點"，

.?.加€平面68。，Me直線AC,又ACu平面ACGA，.'Me平面ACGA,

。為。B的中點，3Z)u平面。田。，底面438為正方形，所以。為AC的中點，

平面CBQ,且Oe平面ACG4，

又G?平面G8。，且平面ACGA，

C,,M,。三點共線，故選項A正確：

在選項8中，；G，M,。三點共線，，G，M,0,C四點共面，故8正確；

在選項C中，C,,M,。三點共線，，G，M,0,A四點共面，故C正確：

在選項。中，.直線。W'CC,=C,,OOJ/CG，

￡?,,D,0,M四點不共面，故O錯誤.

故選：ABC.

4.在空間四面體ABC。中，如圖，旦'G,“分別是AB,8cAO,DC的中點，則下列結(jié)論一定正確的為

()

A.EG=FHB.EF=GH

C.EH與FG相交D.EG=HG

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由題易得四邊形EFHG為平行四邊形，即可得到結(jié)論.

【詳解】

如圖

???E,F,G,H分別是A5,BC,AD,DC的中點，

二EG〃B。且EG=!B。，F(xiàn)H〃BDS.FH=、BD,

22

：.EGFH且EG=FH,

...四邊形EFHG為平行四邊形，

二選項ABC正確；

又由題可知〃G=gAC,EG與"G不一定相等，故選項D錯誤.故選：ABC.

5.三個平面可以把空間分成"個部分，在下列選項中，”的值正確的有（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】BCD

【解析】

【分析】

三個平面可以把空間分成4,6,7,8個部分，即可選出答案.

【詳解】

三個平面兩兩平行，分成4個部分，如圖I

三個平面中有2個平行，另一個與它們相交，分成6個部分，如圖2

三個平面兩兩相交于同一直線，分成6個部分，如圖3

三個平面兩兩相交，三條交線兩兩平行，這時把空間分成7個部分，如圖4

三個平面兩兩相交，三條交線共點，這時把空間分成8個部分，如圖5

6.(多選題)如圖，正方體ABCO-AMGR中，若E,￡G分別為棱8C,CG，4G的中點，。,。2分別是四邊

形AORA，AMGR的中心,則()

D】

A.AC,a，A四點共面B.。，紋G,尸四點共面

C.A,E,F，A四點共面D.GE,。-。?四點共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

對于A,易知AC,R共面，再判斷。|是否在這個平面即可；對于B,顯然E,F,G在平面8CC畫內(nèi)，。不

在平面BCCg內(nèi)，可知。，瓦G,尸四點不共面；對于C,由已知可知EF//A4,可判斷四點共

面；對于D,連接GO?并延長，交AQ于“，連接H。-可知HOJ/GE,可判斷G,瓦02四點共面.

【詳解】

對于A,由。是四邊形的中心，知。|是A2的中點，所以a在平面ACQ內(nèi)，所以A,C,?，A