概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 第2章 第5講 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第5講常用的連續(xù)型隨機(jī)變量第2章隨機(jī)變量及其分布1.均勻分布2.指數(shù)分布3.正態(tài)分布第5講常用的連續(xù)型隨機(jī)變量2常用的連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布其中a,b(a<b)為任意實(shí)數(shù)，設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，記為(a,b)上的均勻分布，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從區(qū)間若概率密度為01

均勻分布均勻分布xf(x)Oabb-a101

均勻分布只與其長(zhǎng)度成正比.X

的分布函數(shù)為即X落在(a,b)內(nèi)任何子區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，這正是幾何概型的情形.01

均勻分布baOF(x)x1某食品廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，幾何概率——長(zhǎng)度之比??例1超過(guò)3克，求誤差在-1~2之間的概率.取出件一產(chǎn)品進(jìn)行稱(chēng)重，現(xiàn)任即隨機(jī)誤差X服從(-3,

3)上的均勻分布.

規(guī)定其重量的誤差不能解01

均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X在(1,4)上服從均勻分布，??例2三次獨(dú)立的觀察，求至少有兩次觀察值大于2的概率.對(duì)X進(jìn)行解隨機(jī)變量X的概率密度為:所以，令Y表示三次獨(dú)立的觀察中大于2的次數(shù)，則01

均勻分布某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量每15分鐘來(lái)一班車(chē)，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率(2)乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率解設(shè)以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽站

X

～U(0,30)依題意，某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量每15分鐘來(lái)一班車(chē)，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率(2)乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率解為使候車(chē)時(shí)間X少于5分鐘乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)

故所求概率為：某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量每15分鐘來(lái)一班車(chē)，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率(2)乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率解候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘乘客必須在7:00到7:05之間，或在7:15到7:20之間到達(dá)

設(shè)K服從(1,6)上的均勻分布，??例4求方程01

均勻分布解方程有實(shí)根的概率.有實(shí)根的充要條件是而因此所求概率為本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布若X的密度為則稱(chēng)X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,記作X

的分布函數(shù)為

>0為常數(shù)14指數(shù)分布02

指數(shù)分布15Of(x)x16OF(x)1x用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問(wèn)題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似17??應(yīng)用場(chǎng)合02

指數(shù)分布若X~E(

),則指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”18若??

表示某儀器的壽命(小時(shí))，

它能再使用??

小時(shí)的概率與??

無(wú)關(guān).用??

小時(shí)，上式說(shuō)明：若該儀器已02

指數(shù)分布已知X服從參數(shù)

λ=0.1的指數(shù)分布，求19??例5解02

指數(shù)分布統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明，英格蘭在1875年至1951年期間，在礦山發(fā)生10人或10人以上死亡的兩次事件之間的時(shí)間T（以日計(jì)）服從均值為241的指數(shù)分布.試求20??例6解02

指數(shù)分布設(shè)修理某機(jī)器所用的時(shí)間X服從參數(shù)

λ=0.5(?)的21??例7指數(shù)分布，的概率.修理時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)求當(dāng)機(jī)器出故障時(shí)，解因?yàn)閄~E

(0.5），所求概率為或故X的密度函數(shù)為02

指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X表示某儀器檢測(cè)一件樣品所用的時(shí)間(單位：min)，若

X服從指數(shù)分布，其概率密度為22求一件樣品的檢測(cè)時(shí)間至多5min的概率以及檢測(cè)時(shí)間為3~4min的概率.??例8解由題意知X的分布函數(shù)為02

指數(shù)分布23??例8則02

指數(shù)分布顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，則他就離開(kāi).設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒(méi)有等到服務(wù)的概率.24??例9解02

指數(shù)分布顧客在銀行窗口未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為2502

指數(shù)分布顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，則他就離開(kāi).設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒(méi)有等到服務(wù)的概率.??例9Y的分布律為本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布27正態(tài)分布（高斯分布）如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)其中,為常數(shù)，,的正態(tài)分布，記為則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)且

>0，正態(tài)分布的分布函數(shù)為03

正態(tài)分布28正態(tài)分布N(,2)的圖形特點(diǎn)f(x)的特點(diǎn)：

變化則左右平移；在x=

處達(dá)到極大值關(guān)于x=

對(duì)稱(chēng)；

變化則陡峭程度變化03

正態(tài)分布29設(shè)X~N(3,5)，求常數(shù)c，使

03

正態(tài)分布??例10各種測(cè)量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生的考試成績(jī)；30正態(tài)分布應(yīng)用廣泛03

正態(tài)分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，以下情形說(shuō)明：31正態(tài)分布應(yīng)用廣泛(1)正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一，從或近似服從正態(tài)分布．則該隨機(jī)指標(biāo)一定服任何一個(gè)因素都不起決定性作用，但其中如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，證明，可以大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．03

正態(tài)分布32(3)正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．(2)正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，分布所不具備的．這些性質(zhì)是其它許多03

正態(tài)分布正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布33如何進(jìn)行正態(tài)分布的概率計(jì)算時(shí)，是不同的正態(tài)分布.當(dāng)μ和σ不同03

正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專(zhuān)門(mén)的表供查.密度函數(shù)34標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)03

正態(tài)分布3503

正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，根據(jù)定理，,則~N(0,1)設(shè)36分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.任何一個(gè)一般的正態(tài)就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，03

正態(tài)分布對(duì)一般的正態(tài)分布：其分布函數(shù)作變量代換37X~N(,2)03

正態(tài)分布查表38設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，試求：??例11解(1)(2)03

正態(tài)分布設(shè)X~N(1,4),求P(0

X1.6)查表39??例12解03

正態(tài)分布40汽車(chē)駕駛員在減速時(shí)，求駕駛員的制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間在1秒至1.75秒之間的概率？??例13其中從正態(tài)分布，駛員在行車(chē)過(guò)程中對(duì)信號(hào)燈發(fā)出制動(dòng)信號(hào)的反應(yīng)時(shí)間服駕有研究表明，時(shí)間對(duì)于幫助避免追尾碰撞至關(guān)重要。對(duì)信號(hào)燈做出反應(yīng)所需的=1.25秒，

=0.46秒.制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間超過(guò)這個(gè)值的概率是多少？那么實(shí)際的制動(dòng)反如果2秒是一個(gè)非常長(zhǎng)的反應(yīng)時(shí)間，03

正態(tài)分布41解設(shè)隨機(jī)變量X表示汽車(chē)駕駛員的制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間，則X~N(1.25,0.462)所求概率為根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化定理可得03

正態(tài)分布42因此，因此，制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間超過(guò)2秒的概率約為0.0516.概率約為0.5675.駕駛員的制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間在1秒至1.75秒之間的概03

正態(tài)分布43根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化定理可得??例14設(shè)某工司制造繩索的抗斷程度服從正態(tài)分布，其中=300千克，小于95%的概率大于a.求常數(shù)a使抗斷程度以不

=24千克，解由題意知03

正態(tài)分布44由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得通過(guò)逆向查表得到故解得所以，a的最大取值為260.03

正態(tài)分布45解03

正態(tài)分布??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且(1)若d=90，求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問(wèn)d

至少為多少?4603

正態(tài)分布(2)按題意需求

d滿足:??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且4703

正態(tài)分布即反查正態(tài)分布表，由于表中無(wú)0.01的的值.故采用如下方法處理:??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且4803

正態(tài)分布現(xiàn)查表可知：由此可得：故得：??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且依題意，選擇所需時(shí)間超過(guò)規(guī)定時(shí)間的概率較小的路線為好.4903

正態(tài)分布

從旅館到飛機(jī)場(chǎng)沿A路走(路程短，交通擁擠)所需時(shí)間(分鐘)，沿B路走（路程長(zhǎng)，阻塞少)所需時(shí)間(分鐘)若現(xiàn)在只有30分鐘.問(wèn)：分別選擇哪一條路為好???例16解當(dāng)只有30分鐘可用時(shí)：A路:

從旅館到飛機(jī)場(chǎng)沿A路走(路程短，交通擁擠)所需時(shí)間(分鐘)，沿B路走（路程長(zhǎng)，阻塞少)所需時(shí)間(分鐘)，，若現(xiàn)在只有30分鐘.5003

正態(tài)分布B路:結(jié)論：此時(shí)應(yīng)選擇A路.??例16問(wèn)：分別選擇哪一條路為好?5103

正態(tài)分布公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X~N(170,62).??例17問(wèn)：如何確定車(chē)門(mén)高度？設(shè)車(chē)門(mén)高度為hcm，按設(shè)計(jì)要求即求滿足：解P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，的最小的

h.求滿足P(X<h)≥0.99的最小的h.因?yàn)椋篨~N(170,62)，所以：故：公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X~N(170,62).5203

正態(tài)分布??例17問(wèn)：如何確定車(chē)門(mén)高度？因?yàn)椋篽=170+13.98≈

184，所以：查表得：結(jié)論:設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為184厘米時(shí)