直線與圓的位置關(guān)系知識點

直線與圓的位置關(guān)系知識點

一、直線與圓的位置關(guān)系

XI.直線和圓相交、相切相離的定義：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共

點做切點.

(3)相離：直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。0的半徑為r,圓心O到直線的距離為d；

①d<r<===>直線L和。0相交.

②d=r<===>直線L和。0相切.

③d>r<===>直線1和00相離.

派3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

X4.切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

※推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點；③過圓心.

注：證明直線是圓的切線的方法：已知點在圓上，連半徑證垂直；未知點在圓上，作垂直證

垂線段的長度等于圓的半徑。

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三

角形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角.

［補充］(只做了解)

1.圓的外切四邊形兩組對邊和相等

2.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的

夾角

3.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

4.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

5.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比

例中項

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一個圓有切線的條件，常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.

4.若條件交代了某點是切點時，連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.

一、選擇題

1、（2013濟寧）、如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點

E、D,DF是圓的切線，過點F作BC的垂線交BC于點G.若AF的長為2,則FG的長為

A.4B.3A/3C.6D.273

°GOC

2、（2014年山東東營）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=BD,點B、C、D、G四個點在同

一個圓。。上，連接BG并延長交AD于點F,連接DG并延長交AB于點E,BD與CG交

于點H,連接FH,下列結(jié)論：

①AE=DF；②FHIIAB；③△DGH-△BGE；④當(dāng)CG為。0的直徑時，DF=AF.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（D）

A.1B.2C.3D.4

3.（2014年山東東營）如圖，已知扇形的圓心角為60。,半徑為則圖中弓形的面積為（）

兀一次行人4H-3V3n兀一相「2兀-3企八

2444

4、（2014年山東泰安）如圖，P為。O的直徑BA延長線上的一點，一

PC與。O相切，切點為C,點D是。上一點，連接PD.已知

PC=PD=BC.下列結(jié)論：夕\

（1汴口與。0相切；（2）四邊形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4>力

ZPDB=120°,）

其中正確的個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4

5、（2014濟南）如圖，。。的半徑為1,AABC是。。的內(nèi)接等邊三角形，

點。，E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個矩形的面積是E1/\\力

r-3V3（/?°\I

A.2B.V3C.-D.—\/\/

第5題圖

6、如圖，己知AO是△ABC的外接圓的直徑,AO=13cm,cosB=—>

13

則AC

的長等于（）

A.5cmB.6cm

C.10cmD.12cm

7、如圖，在等腰直角三角形力比中，AB=A（=89。為a'的中點，

以。為圓心作半圓，使它與18,4C都相切，切點分別為4E,則

。。的半徑為（）

A.8B.6C.5D.4

8、（2012佛山）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切00于A、B兩點，CD切00

于點E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、0C,對于下列結(jié)論：

函數(shù)y=x的圖象被。P截得的弦AB的長為4\巧，則a的值是（）

A.4B.3+V2c.372D.3+V3

10、（2014武漢）如圖，PA、PB切0O于A、B兩點，CD切。O于點E交PA、PB于C、D,

若OO的半徑為r,PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

A.—V13B.—C.-V13D.-V13

12553

二、填空題

1、（2014年湖南湘潭）如圖，OO的半徑為3,P是CB延長線上一點，PO=5,PA切。O

于A點，則PA=

2、（2014年山東泰安）如圖，AB是半圓的直徑，點O為圓心，OA=5,弦AC=8,OD±AC,

3、（2014濟南）如圖，A2與。。相切于C,ZA=ZB,。。的半徑為6,AB=16,則OA

的長=_______

4、（2014?成都）如圖，AB是。。的直徑，點C在AB的延長線上，CD切。O于點D,連

5、如圖，MN為。O的直徑，A、B是。O上的兩點，過A作AC_LMN于點C,過B作

BDLMN于點D,P為DC上的任意一點，若MN=20,AC=8,BD=6,則PA+PB的最小值

是.

7、如圖，一個等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的

圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊

三角形的三邊做無滑動旋轉(zhuǎn)，直至回到原出發(fā)位置時，

則這個圓共轉(zhuǎn)了（）

8、（2012濟南）如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=6,

BC=8,以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH

的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC,則矩形EFGH的周長是

9、（2011山東濟南，21,3分）如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,

動點。在^ABC的邊上從點A出發(fā)沿著A—C―8—A的路線勻速運動

一周，速度為1個長度單位每秒，以O(shè)為圓心、目為半徑的圓在運

動過程中與△ABC的邊第二次相切時是出發(fā)后第一秒.

10、（2014陜西）己知一個直角三角形的面積是12,周長為12J2,則直角三角形的外接圓

的半徑是.

三解答題

1、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,是。O的直徑，AE1CD,垂足為E,平

分ZBDE.

（1）求證：AE是。O的切線；

//7。

(2)若ZDBC=30。，DE=1cm,求BO的長.

O

BC

2、（2013荊門）如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點，P是線段MC上

的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作。O,過點P作。。的切線，交AD于點F,

切點為E.

（1）求證：OF"BE；

（2）設(shè)BP=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）延長DC、FP交于點G,連接OE并延長交直線DC與H（圖2）,問是否存在點P,

使AEFOs△EHG（E、F、O與E、H、G為對應(yīng)點）？如果存在，試求（2）中x和y的

值；如果不存在，請說明理由.

（圖1）（圖2）

3、（2014?臨沂）如圖，已知等腰三角形A8C的底角為30。，以BC為直徑的。。與底邊AB

交于點。，過。作OEJ_AC,垂足為E.

（1）證明：DE為。。的切線;

（2）連接OE,若3c=4,求△OEC的面積.

4、(2014年山東東營)如圖，AB是。O的直徑，OD垂直于弦AC于點E,且交0O于點D,

F是BA延長線上一點，若NCDB=/BFD.

(1)求證：FD是的一條切線；

(2)若AB=10,AC=8,求DF的長.

5、(2013?十堰)如圖1,△ABC中，CA=CB,點。在高CH上，OD_LCA于點D,OE_LCB

于點E,以。為圓心，OD為半徑作。O.

(1)求證：。。與CB相切于點E；

(2)如圖2,若。O過點H,且AC=5,AB=6,連接EH,求△BHE的面積和tanNBHE的

值.

H

圖2

6、(2014蒲澤)如圖，AB是。0的直徑，點C在00上，連接BC,AC,作0D〃BC與過點A的切

線交于點D,連接DC并延長交AB的延長線于點E.

(1)求證：DE是00的切線；

\

⑵若匕=一，求cosZABC的值八/

DE3

6題圖

7、(2014濰坊)如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,以AB為直徑作。0,恰與另一腰CD

相切于點E,連接0D、0C、BE.

⑴求證:0D〃BE；

(2)若梯形ABCD的面積是48,設(shè)OD=x,0C=y,且x+y=14,

求CD的長.

8、(2014?德州)如圖，。。的直徑AB為10的，弦BC為5cm,D、E分別是NACB

的平分線與。。，A8的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE.

(1)求AC、AO的長;

(2)試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

9、(2014?威海)如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZABC

的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點F,

。。是ABEF的外接圓.

(1)求證：AC是。0的切線.

(2)過點E作EH_LAB于點H,求證:CD=HF.

10、(2012濟南)如圖1,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A(-3,0),B(-L0),與

y軸相交于點C,為AABC的外接圓，交拋物線于另一點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求cos/CAB的值和的半徑；

11、(2010濟南)如圖所示，菱形ABC。的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側(cè),

點。在y軸的正半軸上，NBAO=60。，點A的坐標(biāo)為(-2,0).

⑴求線段A