初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽速成

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽速成

篇一：如何抓好初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

如何抓好初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

九江同文中學(xué)蔡理政

初中數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使

不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。怎樣才能實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)

準(zhǔn)下的這一理念，既強(qiáng)調(diào)個(gè)性差異又重視學(xué)生個(gè)性發(fā)展，使

學(xué)有余力的學(xué)生得到充分的發(fā)展呢？途徑可能有很多，其中

數(shù)學(xué)競(jìng)賽就是被實(shí)踐證明的行之有效的途徑之一，因?yàn)閿?shù)學(xué)

競(jìng)賽不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的快樂，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，從而更好地培養(yǎng)獨(dú)立思考、概

括歸納、創(chuàng)新求異的能力，而且對(duì)人的發(fā)展和完善都是十分

有益的。如果你經(jīng)歷過數(shù)學(xué)競(jìng)賽，你就能領(lǐng)會(huì)一位外國(guó)數(shù)學(xué)

大師M?克萊因的話：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是

人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)和撫慰情懷，繪畫使人

賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改

善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上一切?！?/p>

數(shù)學(xué)競(jìng)賽現(xiàn)在廣泛被視為一門獨(dú)立的學(xué)科,在很多地區(qū)和

學(xué)校正越來越受到重視，同時(shí)也被廣大家長(zhǎng)接受，作為學(xué)生

提高自身素質(zhì)、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣的手段。作為筆者，因?yàn)樵鴵?dān)

任數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)的工作，那么就如何普及、近幾年競(jìng)賽考題

的趨勢(shì)、內(nèi)容的分析、如何訓(xùn)練學(xué)生解題這四個(gè)方面談點(diǎn)個(gè)

人的體會(huì)，不當(dāng)之處，請(qǐng)多指正。

一、無論什么數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其本身都是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，從中發(fā)現(xiàn)人才。因此必須真

正的做好普及，才能穩(wěn)固提高。就我市目前情況來看，初中

主要有“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽和初三年級(jí)的“全國(guó)聯(lián)賽”?！跋?/p>

望杯”又分一試和二試，特別是第一試的試題，難度適中，

內(nèi)容也與教材很貼近，知識(shí)點(diǎn)都是學(xué)生已有知識(shí)的最近發(fā)展

區(qū)（或者跳一跳就能夠

著）可以為我們做好普及工作、奠基工作。20年來初一、

初二兩個(gè)年級(jí)的試題培訓(xùn)題已累計(jì)超3000個(gè)，幾乎覆蓋了

初中數(shù)學(xué)的全部及初中數(shù)學(xué)課本外的很多內(nèi)容。二試試題難

度略大一點(diǎn)，更突出對(duì)科學(xué)思維能力的培養(yǎng)，但不屬于摸不

著夠不到的內(nèi)容。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情有很大的作

用。這本書中提到的留德博士馬維民，當(dāng)年就是獲得了第二

屆的銅牌，這一枚銅牌就成了他人生的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因?yàn)樗?/p>

給他帶來了學(xué)習(xí)的樂趣、增添了他的信心和勇氣，其實(shí)這樣

的例子我們身邊也有不少。但為什么還有很多人逐漸對(duì)數(shù)學(xué)

競(jìng)賽失去興趣呢？原因有多方面的。楊樂院士曾在《中國(guó)教

師報(bào)》上接受記者采訪時(shí)談到一點(diǎn)原因是學(xué)生努力程度不

夠，他還沒嘗到成功帶來的喜悅，所以我們作為輔導(dǎo)老師，

不能一味地求難題做難題而不注重基礎(chǔ)訓(xùn)練，如果一味地加

大難度脫離我們平時(shí)的教學(xué)，只會(huì)扼殺學(xué)生的興趣，使他們

沮喪從而厭惡數(shù)學(xué)競(jìng)賽。只有把數(shù)學(xué)競(jìng)賽與常規(guī)教學(xué)相結(jié)合

才能把數(shù)學(xué)競(jìng)賽普及工作做好，而初一、初二年級(jí)的希望杯

競(jìng)賽正是這項(xiàng)工作的落實(shí)。

數(shù)學(xué)老師如何讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，對(duì)競(jìng)賽感興趣。激發(fā)

興趣，靠應(yīng)用價(jià)值、靠歷史的起源、靠數(shù)學(xué)游戲；發(fā)展興趣,

靠智性、靠不斷產(chǎn)生的適合最近發(fā)展區(qū)的問題；保持興趣，

靠成功與失敗的交錯(cuò)作用、靠問題的挑戰(zhàn)、靠個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)的

體驗(yàn)、靠數(shù)學(xué)本身的魅力。

數(shù)學(xué)競(jìng)賽的普及并不是指人人都參加競(jìng)賽,而是數(shù)學(xué)競(jìng)賽

有一個(gè)良好的環(huán)境氛圍，是指廣大教師、家長(zhǎng)能理性的思考,

不僅僅是培養(yǎng)個(gè)別數(shù)學(xué)尖子，而是能激發(fā)廣大青少年學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的熱情。不能“一刀切”，更不能象現(xiàn)在有的媒體宣傳的“洪

水猛獸”，而是數(shù)學(xué)競(jìng)賽這座高塔有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，當(dāng)然

越到塔頂人數(shù)越

少，這也是正常的、自然的。

二、數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)要長(zhǎng)期準(zhǔn)備，要具有系統(tǒng)性，同時(shí)要關(guān)

注數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本走勢(shì)。

作為輔導(dǎo)老師，首先要研究中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)制

訂的《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》，初中三年要根據(jù)大綱內(nèi)容制訂

出較系統(tǒng)、易執(zhí)行的計(jì)劃。每學(xué)期根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，應(yīng)該

學(xué)會(huì)哪些內(nèi)容、增加課本上沒有的哪些知識(shí)，選取一、二本

權(quán)威性的教材。我一般選用《希望杯數(shù)學(xué)能力培訓(xùn)教程》和

華東師范大學(xué)出版社的《奧數(shù)教程》。

近幾年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本走勢(shì)包括：

1、試題的價(jià)值取向。傳統(tǒng)競(jìng)賽強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)形式，關(guān)注數(shù)學(xué)

本身的問題，人為設(shè)置陷阱，誘使學(xué)生用特殊技巧去應(yīng)對(duì)，

新出現(xiàn)的競(jìng)賽題則更加突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)；注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用、

數(shù)學(xué)的情境，關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)、現(xiàn)象規(guī)律，應(yīng)用題、

情境題是這一趨勢(shì)的代表：例1（2009年江西預(yù)賽）一個(gè)

自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km報(bào)

廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報(bào)廢。行

駛一定路程后可以交換前、后輪胎，如果交換前、后輪胎要

使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛

km。

2、試題所用的語言。不只是自然語言，符號(hào)語言也重視

圖形語言，不僅用圖形提供停息，要求考生從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，也可以用圖形作答。圖形成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本語言之一

（包括幾何圖形、函數(shù)圖象、統(tǒng)計(jì)圖等）。

例2（2008年全國(guó)聯(lián)賽江西決賽）將正三角形每條邊四

等分，然后過這些分點(diǎn)作平行于其它兩邊的直線，則以圖中

線段為邊的菱形個(gè)數(shù)為（）

A.15

C.21B.18D.

24

3、試題的類型。題型更加豐富，不僅有常規(guī)解答題和證明

題，還有發(fā)現(xiàn)規(guī)律的探索題、圖案設(shè)計(jì)題。通過操作解決問

題的實(shí)驗(yàn)題。

例3（2006年“希望杯”初二第二試試題）在2、3兩個(gè)數(shù)

之間，第一次寫上2?3=5,第二次在2、5之間和5、3之間

分別寫上2?5=7和5?3=4如下所示：第0次操作：23

第1次操作：253

第2次操作：27543第3次操作：……

第k次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)

之間寫上這兩個(gè)數(shù)的和的。k

⑴請(qǐng)寫出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，并求出它們的和。

⑵經(jīng)過k次操作后所有數(shù)的和記為Sk,第k+1次操作后

所有數(shù)的和記為Sk+1,寫出Sk+1與Sk之間的關(guān)系式；⑶

求S6的值。

4、試題中知識(shí)的組合。不要求記憶知識(shí)，如有可能，可

以用常識(shí)、經(jīng)驗(yàn)代替知識(shí)，有許多初中賽題，如果從知識(shí)的

角度分析，不過是小學(xué)水平，但必須具備初中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才

能作答。例4（2009年江西預(yù)賽）10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做

游戲，游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己

想好的數(shù)如

實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁

的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來，若報(bào)出來

的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心理想的數(shù)是方塊6。1102

9384756

例5（2005年全國(guó)競(jìng)賽）有兩副撲克牌，每副牌的排列

順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、

方塊、梅花四種花色排列，每種花色的牌又按A,2,3……,

J、Q、K的順序排列，然后從上到下把

第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把

第四張放在最底層，……如此下去，直至最后只剩下一張牌,

則所剩的這張牌是。

5、試題不在單一知識(shí)上做文章，而是強(qiáng)調(diào)知識(shí)的聯(lián)系，

特別是在代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等多學(xué)科的交匯處挖掘素材，從

而提出具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，注重幾何問題用代

數(shù)方法處理，更加注重代數(shù)問題的幾何意義。

例6（《中學(xué)數(shù)學(xué)參考》第4屆中學(xué)生數(shù)學(xué)智能通訊賽八

年級(jí)試題）設(shè)求證：＜x2?l+?（l?x）2<l+2

簡(jiǎn)析：本題可以用分析法，但如果構(gòu)造幾何圖形，用數(shù)形

結(jié)合思想解決更巧妙、學(xué)生更容易接受。DMC

如圖：構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正方形ANMD和BCMN,

設(shè)MP=x,由圖中三角形三邊關(guān)系不難得出

AC<PC+PA<AM+MC,從而問題得證。ANB

三、數(shù)學(xué)競(jìng)賽尤其是初三全國(guó)聯(lián)賽近幾年考察的主要內(nèi)容

及考察重點(diǎn)、熱點(diǎn)是什么，我認(rèn)為了解這個(gè)問題同我們把握

中考命題方向是同樣重要的，它可以讓老師和學(xué)生少走很多

彎路，讓我們的輔導(dǎo)和訓(xùn)練有一定的

針對(duì)性。

1、數(shù)這一模塊內(nèi)容是每年考察的重點(diǎn)，其中包括：質(zhì)數(shù)

和合數(shù)、最大公約數(shù)與最小公約數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、完全平方

數(shù)、數(shù)的整除等，并且每年都有一道與一元二次方程相結(jié)合

的整數(shù)根問題。

例7（2005年全國(guó)聯(lián)賽）設(shè)n為自然數(shù)，如果2005能

寫成n個(gè)正的奇合數(shù)之和，就稱n為“好數(shù)”則這種好數(shù)有

111個(gè)。

例8（2008年江西卷）555的末尾三位數(shù)字是（A）

A.125

B.375C.625D.875

篇二：歷年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題精選

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練

1、一個(gè)六位數(shù)，如果它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全

相同，順序也相同，由此六位數(shù)可以被（）整除。A.111

B.1000

C.1001

D.1111

解:依題意設(shè)六位數(shù)為abcabc,則abcabc=axl05+bxl04

+cxl03+axl02+bxl0+c=axl02(103+1)+bxl0(103

+1)+c(103+1)=(axl03+bxl0+c)(103+1)=1001

(axl03+bxl0+c),而axl03+bxl0+c是整數(shù)，所以能被

1001整除。故選C方法二：代入法

2、若S?

1

111

????198019812001

，則S的整數(shù)部分是____________________

解：因1981>1982??2001均大于1980,所以S?

122?

1

1980

9*

1980

?90,又1980、22

1981??2000均小于2001,所以S?

122?

12001

9*

200121

?90,從而知S的整數(shù)2222

部分為90o

3、設(shè)有編號(hào)為1、2、3??100的100盞電燈，各有接線開

關(guān)控制著，開始時(shí)，它們都是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生，

第1個(gè)學(xué)生進(jìn)來時(shí)，凡號(hào)碼是1的倍數(shù)的開關(guān)拉了一下，接

著第二個(gè)學(xué)生進(jìn)來，由號(hào)碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第n

個(gè)(n<100)學(xué)生進(jìn)來，凡號(hào)碼是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，

如此下去，最后一個(gè)學(xué)生進(jìn)來，把編號(hào)能被100整除的電燈

上的開關(guān)拉了一下，這樣做過之后，請(qǐng)問哪些燈還亮著。

解：首先，電燈編號(hào)有幾個(gè)正約數(shù)，它的開關(guān)就會(huì)被拉幾

次，由于一開始電燈是關(guān)的，

所以只有那些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，因?yàn)橹挥衅椒?/p>

數(shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以那些編號(hào)為1、22、32、42、52、

62、72、82、92、102共10盞燈是亮的。

4、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比進(jìn)

價(jià)高a%,后因市場(chǎng)的變化，該店把零售價(jià)調(diào)整為原來零售

價(jià)的b%出售，那么調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)是()A.

m(l+a%)(l-b%)元B.ma%(l-b%)元C.m(l+a%)b%元

D.m(l+a%b%)元

解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價(jià)為每件m(l+a%)元,

因調(diào)整后的零售價(jià)為原零售價(jià)的b%,所以調(diào)價(jià)后每件襯衣

的零售價(jià)為m(1+a%)b%元。應(yīng)選C

5、如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=O,那么a?b?c?abc

的所有可能的

|a||b||c||abc|值為A.0B.1或-1C.2或-2

解：由已知，a,b,c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。①當(dāng)a,

b,c為兩正一負(fù)時(shí)：

D.0或-2

()

abcabcabcabc???l??l所以？???0；|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

②當(dāng)a,b,c為兩負(fù)一正時(shí)：

abcabcabcabc

????1?1所以？???0|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知應(yīng)選A

6、在aABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若

ZB=60°,則值為A.1

2

abcabc

???所有可能的值為Oo|a||b||c||abc|

B.D.

22

ca

的？

a?bc?b

()

C.1

2

解：過A點(diǎn)作AD_LCD于D,在Rt^BDA中，則于NB

=60°,所以DB=

C

Co,AD=

22

在RtaADC中，DC2=AC2—AD2,所以有(a一

C2232

)=b-C,整理得a2+c2=b224

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc

+ac,從而有？？？？1

a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2

應(yīng)選C

7、設(shè)aVbVO,a2+b2=4ab,貝！JA.

a?b

的值為a?b

C.2

D.3

()

3

B.

6

解：因?yàn)?a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<O,得

a?b??ab,a?b??2ab,故

a?b

?3oa?b

應(yīng)選A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+

2002,則多項(xiàng)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為()A.0B.

1C.2D.3

1解：?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],

2

又a?b??Lb?c??Lc?a?2

1

?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?3

2

a2b2c2

9、已知abc#,且a+b+c=0,則代數(shù)式的值是??

bccaab

A.3B.2C.1D.0

()

解：原式？

?(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c

??bcacabaabbcc

??(?)?(?)?(?)

bcacababc

9?9?9?9?1KJ

abc

10、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí),

為了不虧損成本，售價(jià)的折扣(即

降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過d%,則d可用p表示為

解：設(shè)該商品的成本為a,則有a(l+p%)(l-d%)=a,

解得d?

11、已知實(shí)數(shù)z、y、z滿足x+y=5及z2=xy+y-9,則

x+2y+3z=_______________

解：由已知條件知(x+1)+y=6,(x+l)y=z2+9,所以

x+1,y是t2—6t+z2+9=0的兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解，

則4=(-6)2-4(z2+9)=-4z2>0,從而知z=0,解方

程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8

12.氣象愛好者孔宗明同學(xué)在x(x為正整數(shù))天中觀察到:

①有7個(gè)是雨天；②有5個(gè)下午是晴天；③有6個(gè)上午是晴

天；④當(dāng)下午下雨時(shí)上午是晴天。則x等于()A.7B.

8C.9D.10

選Co設(shè)全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午

晴c天，全天晴d天。由題可得關(guān)系式a=0①，b+d=6②，

c+d=5③，a+b+c=7④，②+③一④得2d-a=4,即d=2,故

b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有編號(hào)為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為

每小時(shí)vl、v2>v3>v4千米，且滿足vl>v2>v3>v4>0,

其中，v水為河流的水流速度（千米/小時(shí)），它們?cè)诤恿髦?/p>

進(jìn)行追逐賽規(guī)則如下：（1）四條艇在同一起跑線上，同時(shí)出

發(fā)，①、②、③是逆流而上，④號(hào)艇順流而下。（2）經(jīng)過1

小時(shí)，①、②、③同時(shí)掉頭，追趕④號(hào)艇，誰先追上④號(hào)艇

誰為冠軍，問冠軍為幾號(hào)？

1小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為Si?［（vi?v

水）？（v水？v4）］?l?vi?v4各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為ti?

100p

100?p

vi?v4v?v42v4

?i?l?

（vi?v水）?（v水?v4）vi?v4vi?v4

對(duì)vl>v2>v3>v4有tl?t2?t3,即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用

的時(shí)間最小，①號(hào)是冠

軍。

14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干,

用12臺(tái)水泵需5小時(shí)，用10臺(tái)水泵需7小時(shí)，若要在2小

時(shí)內(nèi)抽干，至少需水泵幾臺(tái)？解：設(shè)開始抽水時(shí)滿池水的

量為x,泉水每小時(shí)涌出的水量為y,水泵每小時(shí)抽水量為z,

2小時(shí)抽干滿池水需n臺(tái)水泵，則

?x?5y?5?12z①

9*

?x?7y?7?10z②

?x?2y?2nz③？

由①②得？An?22

?x=35z

,代入③得：35z?10z?2nz

?y?5z

1

,故n的最小整數(shù)值為23。2

答：要在2小時(shí)內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵23臺(tái)

15.某賓館一層客房比二層客房少5間，某旅游團(tuán)48人，

若全安排在第一層，每間4人，房間不夠，每間5人，則有

房間住不滿；若全安排在第二層，每3人，房間不夠，每間

住4人，則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間？

解：設(shè)第一層有客房x間，則第二層有(x?5)間，由題可

得

?4x?48?5x①？

3(x?5)?48?4(x?5)②？

由①得：？

?4x?483

,即9?x?12

5?48?5x

?3(x?5)?48

由②得：?,即7?x?ll

48?4(x?5)?

，原不等式組的解集為9

3

?x?ll5

，整數(shù)x的值為x?10o答：一層有客房10間。

16、某生產(chǎn)小組開展勞動(dòng)競(jìng)賽后，每人一天多做10個(gè)零

件，這樣8個(gè)人一天做的零件超過200個(gè)，后來改進(jìn)技術(shù)，

每人一天又多做27個(gè)零