2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6.1-雙曲線的定義、方程與性質(zhì)【課件】

第1課時(shí)雙曲線的定義、方程與性質(zhì)目錄CONTENTS12課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1考點(diǎn)分類突破課堂演練雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

（1）已知定點(diǎn)

F

1（－2，0），

F

2（2，0），

N

是圓

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

F

1關(guān)于點(diǎn)

N

的對(duì)稱點(diǎn)為

M

，線段

F

1

M

的中

垂線與直線

F

2

M

相交于點(diǎn)

P

，則點(diǎn)

P

的軌跡是（

）A.橢圓B.

雙曲線C.拋物線D.

圓解析：如圖，連接

ON

，由題意可得｜

ON

｜＝1，且

N

為

MF

1的中點(diǎn)，又

O

為

F

1

F

2

的中點(diǎn)，所以｜

MF

2｜＝2.因?yàn)辄c(diǎn)

F

1關(guān)于點(diǎn)

N

的對(duì)稱點(diǎn)為

M

，線段

F

1

M

的中垂線與直線

F

2

M

相交于點(diǎn)

P

，由垂直平分線的性質(zhì)可得｜

PM

｜＝｜

PF

1｜，所以｜｜

PF

2｜－｜

PF

1｜｜＝｜｜

PF

2｜－｜

PM

｜｜＝｜

MF

2｜＝2＜｜

F

1

F

2｜，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)

P

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點(diǎn)的雙曲線.

1

解題技法1.雙曲線定義的應(yīng)用（1）利用雙曲線的定義判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)

而根據(jù)要求可求出曲線方程；（2）在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)

合｜｜

PF

1｜－｜

PF

2｜｜＝2

a

，運(yùn)用平方的方法，建立關(guān)

于｜

PF

1｜·｜

PF

2｜的方程.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法（1）待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，

列出參數(shù)

a

，

b

，

c

的方程（組）并求出

a

，

b

，

c

的值；（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出

a

的值，由

定點(diǎn)位置確定

c

的值.提醒

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注

意分類討論.也可以設(shè)雙曲線方程為

mx

2＋

ny

2＝1（

mn

＜

0）求解.

1.已知圓

C

1：（

x

＋3）2＋

y

2＝1，

C

2：（

x

－3）2＋

y

2＝9，動(dòng)圓

M

同時(shí)與圓

C

1和圓

C

2相外切，則動(dòng)圓圓心

M

的軌跡方程為（

）

雙曲線的幾何性質(zhì)考向1

雙曲線的漸近線問(wèn)題

解題技法求雙曲線漸近線方程的方法（1）求雙曲線中

a

，

b

的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；（2）求

a

與

b

的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；（3）令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近

線方程.提醒

兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸

近線關(guān)于

x

軸，

y

軸對(duì)稱.考向2

雙曲線的離心率問(wèn)題【例3】

（1）（2021·全國(guó)甲卷5題）已知

F

1，

F

2是雙曲線

C

的兩個(gè)

焦點(diǎn)，

P

為

C

上一點(diǎn)，且∠

F

1

PF

2＝60°，｜

PF

1｜＝3｜

PF

2｜，則

C

的離心率為（

）

A.雙曲線

C

的實(shí)軸長(zhǎng)為定值B.雙曲線

C

的焦點(diǎn)在

y

軸上C.雙曲線

C

的離心率為定值

雙曲線模型的實(shí)際應(yīng)用【例4】某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：

正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間

比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m.則該

巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各

點(diǎn)均在同一平面上）（

）

解題技法利用雙曲線模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)雙曲線方程及性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（注意實(shí)際意義）.

（2024·濮陽(yáng)模擬）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種

設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射

后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，從雙曲線

C

的右焦

點(diǎn)

F

2發(fā)出的光線通過(guò)雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)

左焦點(diǎn)

F

1.已知入射光線

F

2

P

的斜率為－2，且

F

2

P

和反射光線

PE

互相垂直（其中

P

為入射點(diǎn)），則雙曲線

C

的漸近線方程為

?

?.2

x

＋

y

＝0和2

x

－

y

＝0

PART2課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.－2＜

m

＜1B.

m

＞1C.

m

＜－2D.

－1＜

m

＜2

12345678910111213141516171819202122232425262728

A.

y

＝±2

x

4.已知

F

1，

F

2為雙曲線

C

：

x

2－

y

2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

P

在

C

上，｜

PF

1｜＝2｜

PF

2｜，則cos∠

F

1

PF

2＝（

）

A.雙曲線

C

的實(shí)軸長(zhǎng)為8C.雙曲線

C

的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

－1

B.3πD.4π

D.｜

PF

｜的最小值為2

±2

（1）用

a

表示｜

PF

1｜，｜

PF

2｜；

（2）若∠

F

1

PF

2是鈍角，求雙曲線的離心率

e

的取值范圍.

B.3D.5

解：根據(jù)題意，道路

MN

段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)

A

的距離比到景點(diǎn)

B

的距離都多16km，則道路

MN

所在的曲線是以定點(diǎn)

A

，

B

為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其方程為

x

2－

y

2＝64（8≤

x

≤10，0≤

y

≤6）.又由道路

NP

段上的任意一點(diǎn)到

O

的距離都相等，則道路

NP

所在的曲線為以

O

為圓心，

ON

為半徑的圓，其方程

為

x

2＋

y

2＝64（－8≤

y

≤0）.故道路

M

-

N

-

P

對(duì)應(yīng)的曲線方程為

MN

段：

x

2－

y

2＝64

（8≤

x

≤10，0≤

y