高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題41(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（41）

一、單項選擇題（本大題共17小題，共85.（）分）

1.三棱錐ABC三條側(cè)棱兩兩垂直，三條側(cè)棱長分別為1,V5,V10,則該三棱錐的外接球體積

為（）

A.爭B.冢C,327rD.16兀

2.如圖，正方體ABCD-AiBiGA的棱長為百，以頂點A為球心，2為半

徑作一個球，則該球面與正方體的六個面相交所得到的曲線長度總和等

于（）

C.n

D.?

6

3.若圓錐SO]，SO2的頂點和底面圓周都在半徑為4的同一個球的球面上，兩個圓錐的母線長分別

為4,4V2,則這兩個圓錐重合部分的體積為

A9oQr56,px56+16V3

A.-71D.87rC.~~T[D.----------71

333

4.已知正方體ABCD-AiBigDi的棱長為2,E,F,G分別是棱AD,CCVJD1的中點，給出下

列四個命題：

①EF1BQ

②直線FG與直線AiD所成角為60。；

③過E,F,G三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

其中，正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

5.給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線;

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;

④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

6.如圖所示是某幾何體的三視圖,

半徑之比為

A-I

B|

c|

俯視圖

D1

7.已知圓錐的頂點為S,底面圓心是0,過直線SO的平面截該圓錐所得的截面是面積為舊的正三

角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.nB.V3n-C.2nD.2b兀

8.下列關(guān)于簡單幾何體的說法中正確的是（）

①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③在斜二測畫法中，直角三角形的直觀圖仍可能是直角三角形；

④有兩個底面平行且相似其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

⑤空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合是球面.

A.③④⑤B.③⑤C.④⑤D.①②⑤

9.在三棱錐4-BCD中，△ABDVACBC均為邊長為2的等邊三角形，且二面角4-BD-C的平面

角為120。，則該三棱錐的外接球的表面積為

167r

A.7兀B.87rC-VD.等

10.單位正方體4BC01。在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，動點M（a,a,O）,N（O,瓦1）,

其中0<a<1,0WbW1,設(shè)由M,N,0三點確定的平面截該正方體的截面為E,那么（）

A.對任意點M,存在點N使截面E為三角形

B.對任意點M,存在點N使截面E為正方形

C.對任意點M和M截面E都為梯形

D.對任意點N,存在點M使得截面E為矩形

11.設(shè)尸，Q為一個正方體表面上的兩點，已知此正方體繞著直線尸0旋轉(zhuǎn)。（0<。<2兀）角后能與

原正方體重合，那么符合條件的直線P。的條數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.13

12.下列四種說法中：

①有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

②相等的線段在直觀圖中仍然相等

③一個直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐

④用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

13.已知三棱錐P-4BC的四個頂點都在球。的球面上，PAJ?平面ABC,H.ABAC=60°,PA=2,

BC=2H.則二面角P-BC-4取最小值時，球O的表面積為

A.187rB.207rC.247rD.20V37T

14.有一正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）木料4BC-&BiG，其

各棱長都為2.己知0、Q?分別為上、下底面的中心，例為Q1Q2的

中點.過A,B,M三點的截面把該木料截成兩部分，則截面面積

為（）

A.V7

B166

?9

C.也

4

D.2

15.已知點A、B、C在都在半徑為迎的球面上，且4clBC,^ABC=30°,球心。到平面ABC

的距離為1，點M是線段BC的中點，過點M作球O的截面，則截面面積的最小值為（）

A.亙B.芋C.V37TD.3兀

44

16.已知三棱柱4BC-4BiGi中，44i_L平面ABC,AB=BC=AAr=3,/.ABC=90°,M為棱C￡

中點，則直線與41c所成角的余弦值為（）

A.在B.小C.立D.夜

31523

17.下列說法中正確的個數(shù)為（）

①有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體是棱錐

③有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺

④用一個平面截圓錐,截面與底面之間的部分是圓臺

A.0B.1C.2D.3

二、多項選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

18.折紙藝術(shù)起源于中國，是深受大眾喜愛的手工藝.如圖，有一張矩

形卡紙ABCZZM為BC的中點，將44BM沿直線AM翻折成2MBi

連結(jié)&D,N為a。的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的

是（）

A.存在某個位置，使得C'NL，13|

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,則AM1BXD

D.若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AMD的體積最大時，三棱錐當(dāng)一4M0的外接球的表面積是

47r

19.用一個平面去截正方體，關(guān)于截面的形狀，下列判斷正確的是（）

A.正六邊形B.正三角形C.直角三角形D.梯形

20.如圖，在四棱柱4BCD中,44，平面ABCD,AB〃CD,-------71G

Z.DCB=90°,AB=AD=AA=2DC,。為棱CG上一動點，過

t\BX/\Q

直線AQ的平面分別與棱BBI，交于點P,R,且使得DR=BP,'夕/

則下列結(jié)論正確的是（），,/DLLCJC

A.對于任意的點。，都有4P//QR

B.對于任意的點Q,四邊APQR不可能為平行四邊形

C.存在點。，使得AARP為等腰直角三角形

D.存在點。，使得直線BC〃平面APQR

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

21.在四棱錐P-ABCD中，PD1AC,ABJ■平面PAD,底面ABC。為正方形，且CD+PD=3.若

四棱錐P-4BC。的每個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為.

22.已知長方體4BC0-41B1GD1的體積為36,則三棱錐&一BC/的體積為.

23.半徑為K,圓心角為90。的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面面積為.

24.如圖，直線/_L平面a,垂足為O,三棱錐4-BCD的底面邊長和側(cè)棱長1

都為4,C在平面a內(nèi)，8是直線/上的動點，則點B到平面a和平面AC。??一'^D

的距離之和的最大值為.?

25.在長方體ABCC-4窗住1。1中，AD=DDr=1,AB=V3,E,F,G分別是棱AB,BC,CC1的

中點，P是底面A8C￡＞內(nèi)一個動點，若直線。記與平面EFG平行，則AB/P面積最小值為

DiG

26.三棱錐的五條棱長都為2,另一條棱長為x,則x的取值范圍是

27.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐軸截面的面積為.

28.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-中，E為BC的中點，點P在正方體表面上移動,

且滿足BiP1DiE,則點％和滿足條件的所有點尸構(gòu)成的圖形的面積是

（）.

29.已知兩矩形ABCD與AOEF所在的平面互相垂直，力B=l,若將4DEF沿直線FQ翻折，使得點

E落在邊BC上（即點P）,則當(dāng)AO取最小值時，四面體尸一4DP的外接球的半徑是

四、解答題（本大題共1小題，共12.0分）

30.如圖，在長方體4BCO-&BiCiDi中，點E是的中點.

(1)求證：力劣〃平面&GE；

(2)若48=AD=2,44i=3,求點/到平面4送隹的距離.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體

的外接球同時也是三棱錐P-A8C外接球.算出長方體的對角線即

為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的

體積.本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的體積，

著重考查了長方體對角線公式和球的體積計算等知識,屬于基礎(chǔ)題.

解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖

則長方體的外接球同時也是三棱錐P-4BC外接球.

???長方體的對角線長為VI+5+10=4,

.??球直徑為4,半徑R=2

因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是扣x23=爭

故選：A.

2.答案：A

解析:

本題考查空間幾何的性質(zhì)和綜合應(yīng)用.解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面44B18、

面A2CD和面44劣。上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BBiGC、面?？?。和面&&口。1

上.由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和.

解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，

所得的交線分為兩類:

一類在頂點A所在的三個面上，即面44iB$、面A8CD和面上;

另一類在不過頂點A的三個面上，即面8B1GC、面CCi/D和面48傳1。1上.

在面ZaBiB上，交線為弧EF且在過球心4的大圓上，因為2E=2,AA1=V3>

則4為力E=J.同理4B4F=三所以NE4F=%

666

故弧E尸的長為：2x￡=g,

O5

而這樣的弧共有三條.

在面B/C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓

上,

此時，小圓的圓心為B,半徑為1,ZFBG=p

所以弧FG的長為：1x(=5

于是，所得的曲線長為：=

32o

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查圓錐及球的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

由題做出其軸線的截面，結(jié)合幾何關(guān)系求解公共部分對應(yīng)圓錐的體積即可求解.

解：如圖，做出對應(yīng)圓錐SO1，S4的軸線截面，軸截面分別為等邊三角形及等腰直角三角形,

兩個圓錐重合部分為以AB為直徑的圓錐的體積，易知底面半徑為2,高為2,所以其體積為

!XITX9'X9—

33

故選A.

s

°iB

4.答案：C

解析：

本題主要考查線線垂直的判定、線線角、截面多邊形形狀等問題，屬于中檔題.

解題時需要根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，線線角的計算，確定截面多邊形形狀，逐個判斷求解.

解：①如下圖，取BC中點M,連接MF,EM,BG，

則FM〃BC「BC、IBJC,

?-,EM//AB,4B1面BCQBI,二EM1面BCC/i，

vByCu面BCC/i，:.B1C1EM,

VEMnFM=M,EMu面EFM,FMu面EFM,

B】C1面EFM,EFu面EFM,

EF1BrC,故①正確；

②如下圖,連接&B,BD,易證尸G〃&B,

而ZkAiBD為等邊三角形，484。=60。，

???直線FG與直線&D所成的角為60。，故②正確：

TZC

M

③如下圖,

過E、/、G三點的平面截正方體所得截面為五邊形,

故③錯誤.

故選C.

5.答案：A

解析：

本題主要考查了柱，錐，臺的結(jié)構(gòu)特征以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握各種空間

幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能根據(jù)題中條件進(jìn)行靈活應(yīng)用.

解：圓柱的母線就是沿表面從上底面到下底面且垂直底面的任何一條線，

并不是在圓柱的上、下底面的圓周上各任取一點的連線，故①不正確；

根據(jù)棱錐的定義可得②不正確；

直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓錐，故③不正確；

棱臺的上、下底面一定相似，側(cè)棱長一定相等，選項④不正確，

故選A.

6.答案：C

解析:

本題考查了正四棱錐與其內(nèi)切球以及外接球的關(guān)系應(yīng)用問題，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是一個底面邊長為2,高為2企的正四棱錐，結(jié)合圖形，求出該

三棱錐的接球接球的半徑，利用體積求出其內(nèi)切球半徑即可求解.

解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為2,高為2四的正四棱錐.

設(shè)其外接球的球心到底面的距離為4半徑為凡其內(nèi)切球半徑為八

則R=2a—d=解得4R=3&.

44

又四棱錐的體積V=95全?7'=|&=當(dāng)"今「=：71

.匚=也，

R>5。

故選C.

7.答案：C

解析：

本題考查圓錐表面積的求解.

由己知得出母線和底面半徑，然后利用公式求解即可.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為，，

依題意得圓錐的母線長為2.，

所以12r)2sin60°=V3,

所以r=L母線長1=2,

所以圓錐的側(cè)面積S=nrl=27r.

故選C.

8.答案：B

解析：

本題考查了棱柱、棱錐、棱臺、球的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題.準(zhǔn)確理解幾何體的定義，是真正把握幾

何體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵.直接利用棱柱、棱錐、棱臺、球的結(jié)構(gòu)特征逐一核對五個結(jié)論得答案.

解：①符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可取一個簡單的組合體說明錯誤，如下面是一個正三棱柱，上面是一

個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，故①錯誤；

②棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故②錯誤；

③在斜二測畫法中，與坐標(biāo)軸不垂直的線段的長度在直觀圖中?一般改變長度，但是也有的長度不變,

例如長寬分別為3和魚的矩形的對角線，長度不變，故③正確；

④兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體，若側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體

不是棱臺，故④錯誤；

⑤在空間中，滿足到定點的距離等于定長的所有點的集合為球面，故⑤正確；

所以正確的是③⑤，

故選&

9.答案：D

解析:

本題考查了球的表面積公式的應(yīng)用，重點考查球的球心位置的判定.屬于中檔題.

首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示：

因為△48。與4BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角力-BD-C為120。,

取A4BD和△BCD的中心凡E,取BO的中點記為G,連接EG,FG,

所以NEGF=120°,

則球心。為過△48c和4BCD的中心的垂線的交點，

在四邊形OEG中可計算得：OE=OF=1,又因為ED=延，

3

利用勾股定理得：球的半徑r=+磬）2=亨，

則外接球的表面積S=4兀3=等.

故選。.

10.答案：A

解析：

本題考查平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用平面的基本性質(zhì)判斷選項即可.

解：由MN,。三點確定的平面截該正方體的下底面為。名.

當(dāng)N與。重合時，截面為矩形OBiBD；

當(dāng)N與C重合時，截面為等邊三角形O&C；

當(dāng)N在線段QC上（不包括端點時），截面為等腰梯形.

對于A,當(dāng)N與C重合時，截面為三角形。/C滿足題意，故A正確；

對于8,對任意點M,截面的底為。Bi，截面可以是矩形、梯形、三角形，沒有正方形，所以B不

正確；

對于C,對任意點M和N,截面E可以是矩形、梯形、三角形，所以C不正確；

對于D,對任意點存在點N使截面E可以是矩形、梯形、三角形，所以。不正確.

故選A.

11.答案：D

解析：

正方體繞著直線P。旋轉(zhuǎn)0（0<。<2兀）角后能與自身重合，則PQ比過正方體中心，否則，正方體

繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)。（0<9<2兀）角后，中心不能回到原來的位置，結(jié)合圖形求解，屬較難題.

解：若正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)火0<8<2兀）角后能與自身重合，則PQ比過正方體中心，

否則，正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)火0<8<2n）角后，中心不能回到原來的位置；共有三種情況：如

圖所示；

Q\

')77

當(dāng)P,Q為正方體的體對角線兩頂點時，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)二，正方體回到原來的位置，此時的

直線共有4條；

當(dāng)P,。為正方體兩相對棱中點時，把正方體繞尸。旋轉(zhuǎn)兀，正方體回到原來的位置，此時直線共有

6條；

當(dāng)P,。為正方體對面中心時，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn):，正方體回到原來的位置，此時直線共有3

條；

綜上，符合條件的直線尸。有4+6+3=13條.

故選O.

12.答案:A

解析：解：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，并且相鄰的兩個平行四邊形的公共邊都相互

平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱，故①錯誤.

②相等的線段在直觀圖中不一定相等，不正確；

③根據(jù)一個直角三角形繞其一條直角邊邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐，不正確；

④用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，不正確.

故正確的個數(shù)為0,

故選A.

根據(jù)棱柱、棱臺、圓錐的定義，進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.

本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，棱錐的幾何特征，棱臺的幾何特征，熟練掌握相關(guān)定義是解

答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)

鍵.作A01BC,連接PQ,由題意知取最大值時，二面角P—BC—A最小，再由余弦定理和基

本不等式可得W12,再由面積可得40的最大值為3,故求得球。的半徑，由球0的表面積

公式可得答案

解：如圖，在△4BC中，作4D1BC,連接PD.由PA1平面ABC,可知/PDA為二面角P—BC—4的

平面角.

???tam.PDA=—=0<NP/X4<三，二4。取最大值時，“￡>力最小.

ADAD2

在ZiABC中，/.BAC=60°,BC=2相,由余弦定理，WfiC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

AB2+AC2-AB-AC=12,^AB-AC<12,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，等號成立.

?:S^ABC=^BC-AD=-AB-AC-sin^BAC,:.AD=<3.

.?.當(dāng)二面角p—BC—4取最小值時，AD=3,此時△ABC為等邊三角形，易求得球。的半徑為近，

此時球。的表面積為207r.

故選8

14.答案：B

解析：

本題考查了三棱柱的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)題意知過A,B,M三點的截面為等腰梯形，畫出截面圖形，結(jié)合圖形求出該梯形的面積.

解：根據(jù)題意畫出截面圖形，如圖所示：

正三棱柱ABC-4181cl中，各棱長都為2,M為QiQ的中點，。為AB的中點,

過4,8,M三點的截面為等腰梯形ABEF,

則EF=；&Bi=|,梯形的高為p0=L2(2V32=W3；

33yjk373

則截面面積為S=工X(2+2)x延=3.

故選B.

15.答案：B

解析：

本題考查球的截面性質(zhì)，空間中的距離，屬于中檔題.

設(shè)的中心為01，連結(jié)014根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、通過勾股定理求解.

而經(jīng)過點M的球O的截面，當(dāng)截面與OM垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面

圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值.

解：：因為點A、B、C都在半徑為方的球面上，且4C1BC,Z.ABC=30%

4ABe是直角三角形，AB的中點為01，所以01。，平面ABC,

因為球的半徑R=迎，球心。到平面ABC的距離為1,得0］。=1,

所以RtA。1。4中，04=1.又因為M為BC的中點，

2ABC是直角三角形，LABC=30°,所以BC=b，BM=叵.

2

因為過E作球。的截面，當(dāng)截面與OM垂直時，截面圓的半徑最小，

所以當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值.

此時可得截面面積為S=nr2=

4

故選B.

16.答案：B

解析：

本題考查了異面直線所成角的求法，涉及棱柱結(jié)構(gòu)特征的運用，屬于中檔題.

根據(jù)題意可得三棱柱ABC—4B1G為直三棱柱，取41G的中點M連接MMBN,B】N,可得乙BMN

即為直線與4C所成角，然后結(jié)合余弦定理求解即可.

解：由題意，三棱柱ABC-4/iG為直三棱柱，取41G的中點N,連接MN,BN,BrN,

則有MN〃4C,所以即為直線BM與41c所成角，

因為ZB=BC=AA1=3,乙ABC=90。，

所以4c=ArCi=3V2.

BM=VBC2+CM2=[2+(J=

MN=加C=^AA,2+AC2=小+(3小了=當(dāng),

BN=JBB/+B[N2=J32+(乎)2=乎,

所以在三角形BMN中，由余弦定理得COSNBMN=空絲空處

2BMMN2*吟乎_】5.

故直線BM與4C所成角的余弦值為普.

故選B.

41

17.答案：4

解析:

本題考查了命題的真假判斷，涉及多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)概念及其結(jié)構(gòu)逐一判斷即可得到

結(jié)果.

解：4不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，若幾何體的下部是一個正三棱柱，上部是一個以正三棱柱上底面為

底面的斜三棱柱，故此選項錯誤；

B.不符合棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)該是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，故

此選項錯誤；

C.不符合棱臺的結(jié)構(gòu)特征，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，則應(yīng)保證各側(cè)棱延長后

相交于一點，故此選項錯誤；

D應(yīng)是用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺，故此

選項錯誤.

故選A.

18.答案:BD

解析：

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對選項逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取的中點為E,連接CE交于點F,如圖1,

M

圖1

貝ljNE〃4Bi，NF"MB\

如果CN1ABr則ENJ.CN,

由于ABilMBi，則ENJ.NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點,

故這是不可能的，故不正確;

對于B,如圖1,由/NEC=NMABi,

且NE=^ABltAM=EC,

.?.在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

圖2

取AM中點為0,???4B=BM,即=則4M1B1。

若4MlBi。，由于當(dāng)0n=Bi，

且&0,當(dāng)。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面0C81，

0D1AM,則/W=M0,

由于4。力MD,故4Ml不成立，故不正確；

對于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面&AM，平面AM。時，

三棱錐S-4MD的體積最大，取AD的中點為￡,

連接。E,B]E,ME,如圖2

AB=BM=1,貝IjABi=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

Br0LAM,By0u平面B/M

Bi。_L平面AMD,0Eu平面AMD

:.B]01OE,

則AM=V2,Br0=\AM=y，

OE=-DM=-AM=—，

222

從而%二俯"直=1,

易知￡;4=ED=EM=1,

.?.4D的中點E就是三棱錐a-AM。的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故。正確;

故答案為：BD.

19.答案：ABD

解析：

本題主要考查了空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征

的判斷，

根據(jù)已知及空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征的判斷，可知截面不可能是哪一個.

解：用一個平面去截正方體，截面的情況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、

等邊三角形（如圖所示），但不可能是鈍角三角形或直角三角形，

銳角三角形等腰三角形等邊三角形

②截面為四邊形時，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形（如圖所示），但不可能是直

角梯形；

梯形平行K邊形變形矩形

③截面為五邊形時，如圖所示，不可能是正五邊形;

五邊形

④截面為六邊形時，如圖所示，可以是正六邊形.

正六邊形

故可選ABD.

20.答案：ABD

解析：

本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，面面平行的性質(zhì)，線面平行的判定，屬于中檔題.

根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A、B,使用假設(shè)法判斷C、D.

解：???AB//CD,441//0。1，AArnAB=A,DDrnCD=D,AAr,ABu平面DDr,CDu平

面

二平面力BBi4〃平面CDDiG，

???平面APQRn平面4BBi4=AP,平面4PQRn平面CDOiG=RQ,

..AP//QR,故A正確；

???四邊形ABC。是直角梯形，AB//CD,

二平面BCGBi與平面ADDiAi不平行，

???平面4PQRn平面BCC/1=PQ,平面4PQRn平面4叫七=AR,

???PQ與AR不平行，故四邊形APQR不可能為平行四邊形，故8正確；

由DR=PBH.DR//PB,易得DB=PR,要使△ARP為等腰直角三角形，則>90°,

但根據(jù)題意N/MB<90。，故C不正確：

延長CQ至M,使得MD=CD,

則四邊形"CM是矩形,

???BC//AM.

當(dāng)R,Q,M三點共線時，AMu平面AP0R,BC仁平面APQR,

二BC〃平面APQR,故O正確.

故選A8D.

21.答案：67r

解析：

本題考查了棱錐外接球的表面積，以及立體幾何與函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意求出球心的位置，表示球。的表面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

設(shè)CD=x(0cx<3),則PO=3—x,

vAB1平面PAD,PDu平面PAD,

???AB1PD.

又??,P"！AC,ABOAC=A,AB,AC在平面ABC。內(nèi),

PD，平面ABCD.

故可將四棱鏈P-ABC。補(bǔ)為一長方體，PB中點即為球心,

2

工2+X2+(3-X)2

=3TT((X—1)2+2)267r.

當(dāng)x=l時，S取最小值.

故答案為.

22.答案：12

解析：

本題考查棱錐的體枳求法，屬于基礎(chǔ)題.

利用三棱錐&-BC］。的體積為長方體ABCD-&&口。1的體積減去4個相等的三棱錐體積求解即

可.

解：設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,h,則abh=36,

三棱錐&-Bq。的體積為長方體4BCD-的體積減去4個相等的三棱錐體積，

故三棱錐4一BCi。的體積=長方體4BC。-公當(dāng)口小的體積-4%_BDC】=abh-4x^x^abh.=

iab/i=ix36=12.

故答案為12.

解析：

本題考查了圓錐的性質(zhì)，面積公式，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.

根據(jù)圓的面積公式求出凡母線長，再求出圓錐的底面半徑，即可利用公式求解.

解：設(shè)扇形的半徑為R,

???圓心角為90。，

二扇形面積為:乃/?2,

由圓錐母線長為：，=R,

???-nR2=nrI,

4

???圓錐底面半徑為r=

J.圓錐底面積為S麻=nr2=2〃R2.

故答案為白兀R2

24.答案：44-1V6

解析:

本題考查點到平面的距離.結(jié)合圖形，弄清題意是解題的關(guān)鍵，首先點B到平面ACD的距離是定值，

而點8到平面a的距離的最大值是BC的長，只要求出點8到平面ACQ的距離問題迎刃而解，作BM_L

平面AC。，垂足為“，連接AM并延長與CC交于N點，判斷M是△4C。的重心，利用勾股定理求

出BM,從而求出所求的最大值.

解：作BMJL平面4C。，垂足為連接4W并延長與交于N點，

???三棱錐4-BCO的底面邊長和側(cè)棱長都為4

M是△4CD的重心

???AN1CD

：?CN=ND=2

AN=y/AD2-ND2=J42-22=2遮

BM=y/AB2-AM2=J42一(Ix28)=^V6

即B到平面ACD的距離為g巡，

點B到平面a距離的最大值等于BC的長，

所以點B到平面a和平面ACZ)的距離之和的最大值為4+T后.

故答案為4+1V6.

25.答案:亙

4

解析：

本題考查多面體的截面性質(zhì)，屬較難題.利用面面平行的性質(zhì)補(bǔ)全截面EFG為截面EFG/7QR,得到

△BBiP為直角三角形，再求面積的最小值.

解：如圖，補(bǔ)全截面E『G為截面

易知平面ZCDi〃平面設(shè)BRIAC于點R,

「直線QP〃平面EFG,

PeAC,且當(dāng)P與R重合時，BP最短為BR,此時APSBi的面積最小,

由等積法：IBRXAC=IBAXBC,

得BR=—,又BBiJ?平面ABCD,

2

ABB11BP,△PB81為直角三角形，

故S0BB/=IxBBTXBP=*

故答案為今

26.答案：(O,2V3)

解析:

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查組成三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和三角

形的三邊關(guān)系求解.

解：如圖：

設(shè)A。=4C=BD=BC=CC=2,點G是CD的中點，所以三角形ACDBCD都是等邊三角形，BG=

AG=V3.由三角形三邊關(guān)系知AB<BG+AG=2b，因為4B>0,所以0<AB<2次，即0cx<

2版.

故答案為（0,28）.

27.答案：V3

解析：

本題考查圓錐的軸截面面積的求法，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

易知該圓錐的軸截面形狀為邊長為2的等邊三角形，由此能求出該圓錐的軸截面面積.

解：由題意可知，該圓錐的底面直徑為2,

故該圓錐的軸截面形狀為邊長為2的等邊三角形，

故該圓錐的軸截面面積為S=1x2x2xsin60°=V3.

故答案為：V3.

28.答案：|

解析:

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，同時考查線面垂直的性質(zhì)及判定，屬于較難題.

找出過當(dāng)且與垂直的平面即可求解.

解：取CQ,CD的中點分別為N,M,連接4MMMBIMABI，DE,

由于

所以四點共面，且四邊形ABiNM為梯形,

在正方體ABCD-中，

易知△XDMsADCE,則ZD4M=4CDE,

則皿1M+乙AMD=ACDM+ADMA=90°,

AM1DE,

又正方體中DDi_L平面ABCD,AMu平面ABCD,

AM1DDX,又D%CDE=D,D%、DEu平面。EO，，

???AM1平面。ED]，又D[Eu平面DE5,

AAM1D]E,

正方體中BC_L平面4BB1%,ABXu平面4BB送i，

:.BC1ABr,

又ABilA/,A]BCBC=B,&B、BCu平面〃。。出，

1平面BCMi，

又ED】u平面BCDMi，???