專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

專題09專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議指數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)內(nèi)容的核心知識(shí)點(diǎn)之一，在歷年的高考中主要是以簡(jiǎn)單題目為主，指數(shù)冪的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是要求掌握的知識(shí)點(diǎn)。指數(shù)函數(shù)作為一種重要的函數(shù)模型，要充分理解它的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2024年的高考對(duì)于指數(shù)函數(shù)部分的考察還是以指數(shù)冪的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主要出題方向。集合復(fù)習(xí)策略：1.理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算；2.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì)；3.理解指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用。→?考點(diǎn)精析←1．根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)概念：函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象定義域(1)R值域(2)(0，＋∞)性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1(4)當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1(5)當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)[常用結(jié)論]1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來(lái)研究．→?真題精講←1.【2020年高考北京】已知函數(shù)，則不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.2.【2020廣東省惠州市高三模擬】已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，知是偶函數(shù)，不等式等價(jià)為，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得.故選A.3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)在均單調(diào)遞減可得即；函數(shù)在均單調(diào)遞減可得，解得，若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，由題可得所求區(qū)間真包含于，結(jié)合選項(xiàng)，函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是C故選：C4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由圖象可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)，，可得.對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，，則，所以，，D對(duì).故選：ABD.5.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_________．【答案】/【解析】令，可得，此時(shí)，所以函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A在直線上，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上，的最小值為.故答案為：.→?模擬精練←1.【2020河南省林州一中高二月考（理）】函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位得到圖象.故選：B2．下列命題正確的有（）A．函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；B．函數(shù)是奇函數(shù)；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移2個(gè)單位得到；D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，可判定A；根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，可判定B；根據(jù)函數(shù)的圖象的平移變換，可判定C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可判定D.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)是不正確的；對(duì)于B中，由函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以不正確；對(duì)于C中，函數(shù)向右平移2個(gè)單位，可得，所以是正確的；對(duì)于D中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，若，則，所以是正確的.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，函數(shù)的圖象的平移變換，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．若關(guān)于x的方程：9x+（4+a）?3x+4＝0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4） C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]【解答】解：∵a+4=?3令3x＝t（t＞0），則?因?yàn)?t+4t)≥∴a+4≤﹣4，所以a的范圍為（﹣∞，﹣8]故選：D．4．（2021·北京高三二模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：指數(shù)函數(shù)，底數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于B選項(xiàng)：冪函數(shù)，，所以冪函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于C選項(xiàng)：二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對(duì)于D選項(xiàng)：對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，基本初等函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的奠基，和很多專題知識(shí)都有交融，是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).5．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎?，且，則（

）.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【分析】先由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式得到，從而得到，計(jì)算出.【詳解】由得：，由換底公式可得：，則，所以，因?yàn)椋怨蔬x：B6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來(lái)比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.7．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得：，，，又由，所以，故．又，所以，所以．故選：A．8．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C．任意，D．函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】對(duì)于A：，因?yàn)椋?，，因此，故，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：令，則，令，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；C正確；對(duì)于D：時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：ABC9．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則______．【答案】【解析】，定義域?yàn)?，所以，故，；又，所以．又，故，所以，所以．故答案為?0．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）曲線與的公共切線的條數(shù)為________．【答案】2【解析】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為，則公切線方程為：，則，注意到，，則由，可得.則公切線條數(shù)為方程的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).，令，則，得在，則，使得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又注意到，，則，使得，得有2個(gè)零點(diǎn)，即公共切線的條數(shù)為2.故答案為：211.化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù))．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋π0(2)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0)(3)eq\r(3,3\f(3,8))－π0；(4)【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\f(1,2)－eq\f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(2)原式＝eq\f((a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3)))\s\up6(\f(1,2)),ab2a－\f(1,3)b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝eq\f(a,b).(3原式＝=－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.(4)原式＝＝eq\f(1,a).12.（2022秋·河南三門峽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(，且)是指數(shù)函數(shù).（1）求k，b的值；（2）求解不等式.【答案】（1），；（2）答案見解析【解析】（1）因?yàn)?，且)是指數(shù)函數(shù)，所以，，所以，；（2）由（1）得(，且)，①當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，則由，可得，解得；②當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，則由，可得，解得，綜上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.13．已知定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)．為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求在上的解析式；（2）若函數(shù)與的值域相同，求實(shí)數(shù)m的值；（3）令討論關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程僅一個(gè)實(shí)數(shù)根．【分析】（1）利用為偶函數(shù)即可求解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)求值域，結(jié)合已知即可求m的值；（3）由，分類討論m確定的零點(diǎn)情況即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，而為偶函數(shù)，有．（2）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，且的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，由是偶函數(shù)，∴的值域?yàn)椋深}意知：．令，易知在上單調(diào)遞增，且；∴．（3）由（2）有，令，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，在中，故無(wú)零點(diǎn)；在中單調(diào)增，而，，∴故此時(shí)，使，即僅有一個(gè)有，．④當(dāng)時(shí)，在中，零點(diǎn)有，故有兩個(gè)零點(diǎn)；在中單調(diào)增，而，即無(wú)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程僅一個(gè)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性求解析式，根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)確定值域結(jié)合已知條件求參數(shù)，將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，應(yīng)用分類討論的方法研究函數(shù)的零點(diǎn)；→?專題訓(xùn)練←題型一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故選：C.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算：①＝________.②＝________.【答案】1102【解析】①原式＝.②原式=.故答案為：1；102（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）___________【答案】【解析】原式.故答案為：.題型二指數(shù)函數(shù)的定義及應(yīng)用（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號(hào))．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系數(shù)不是，不是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)是不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑤的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；⑥是冪函數(shù)．故答案為：③（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】或【解析】由已知可得，且.又時(shí)，，即，所以有，即，解得或.故答案為：或.題型三指數(shù)函數(shù)的圖象問題（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)、、、的大致圖象如下圖所示，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，作出直線得到，所以.故選：B題型四指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．（1，3）D．（2，3）【答案】B【解析】要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只需，解得：.故選：B（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則M，N的大小關(guān)系為____．【答案】【解析】令，顯然是R上的減函數(shù)，∴，即.故答案為：.題型五指數(shù)函數(shù)的奇偶性（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)【答案】B【解析】方法一：因?yàn)?，所以，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，將的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù).方法二：因?yàn)?，，則，所以為偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù).故選：B題型