2017屆湖南省衡陽市第八高三實驗班上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題

衡陽2016年下期高三年級第四次月考試卷理數(shù)（試題卷）注意事項：1.本卷為衡陽高三年級實驗班第四次月考試卷，分兩卷。其中共22題，滿分150分，考試時間為120分鐘。2.考生領(lǐng)取到試卷后，應(yīng)檢查試卷是否有缺頁漏頁，重影模糊等妨礙答題現(xiàn)象，如有請立即向監(jiān)考老師通報。開考15分鐘后，考生禁止入場，監(jiān)考老師處理余卷。3.請考生將答案填寫在答題卡上，選擇題部分請用2B鉛筆填涂，非選擇題部分請用黑色0.5mm簽字筆書寫?？荚嚱Y(jié)束后，試題卷與答題卡一并交回?！镱A(yù)?？忌荚図樌锏贗卷選擇題（每題5分，共60分）本卷共12題，每題5分，共60分，在每題后面所給的四個選項中，只有一個是正確的。1.在n元數(shù)集S={a1，a2，…an}中，設(shè)X（S）=，若S的非空子集A滿足X（A）=X（S），則稱A是集合S的一個“平均子集”，并記數(shù)集S的k元“平均子集”的個數(shù)為fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，則下列說法錯誤的是（）A．fs（4）=fs（5）B．fs（4）=fT（5）C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8）D．fs（2）+fs（3）=fT（4）2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虛數(shù)單位），則z對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（）A．－2B．0C．2D．14.已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，其中，則函數(shù)的圖象()A．關(guān)于點對稱B．可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到C．可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到D．可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到6.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A．5 B．3 C．7 D．﹣87.一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)（左）視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．2D．8.等差數(shù)列{an}滿足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若當(dāng)且僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最大值，則首項a1取值范圍是（） A．（，） B．（，） C．[，] D．[，]9.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．210.函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）ex的圖象大致是（）A．B．C． D．11.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若對任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），則實數(shù)b的取值范圍是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）12.對任意的實數(shù)m，直線y=mx+n﹣1與橢圓x2+4y2=1恒有公共點，則n的取值范圍是()A．B．C．D．第II卷非選擇題（共90分）二.填空題（每題5分，共20分）13.（1﹣x）（1+x）6的展開式中x3系數(shù)為．14.以下四個命題：①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣．②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1．③在回歸直線=0.2x+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.2單位．④對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大．其中正確的命題是．15.已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐P﹣ABC的體積為．16.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元,設(shè)備乙每天的租賃費為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件B類產(chǎn)品140件,所需租賃費最少為__________元.三.解答題（共6題，共70分）17.（本題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．18.（本題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，分別是的中點，點在線段上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）當(dāng)時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.（本題滿分12分）某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試結(jié)束后，對考生成績進行統(tǒng)計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分為六組，第一組.如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人.（1）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為.若，則稱此二人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率；（3）以此樣本的頻率當(dāng)作概率，現(xiàn)隨機在這組樣本中選出3名學(xué)生，求成績不低于120分的人數(shù)的分布列及期望.20.（本題滿分12分）如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點”（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍． 選做題（從22、23題中任選一題作答，共10分）22.（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點A（﹣1，0），其傾斜角是α，以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設(shè)曲線C的極坐標方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直線l和曲線C有公共點，求傾斜角α的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)B（x，y）為曲線C任意一點，求的取值范圍．23.（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為1，求a的值.

衡陽2016年下期高三實驗班第四次月考理數(shù)參考答案題號123456789101112答案DBCBCCBBCBAA13.514.②③15.16.230017.（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項和，∴a1=11．當(dāng)n≥2時，．又∵an=6n+5對n=1也成立所以an=6n+5，{bn}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an=bn+bn+1=2bn+d．當(dāng)n=1時，2b1=11﹣d；當(dāng)n=2時，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以數(shù)列{bn}的通項公式為；（Ⅱ）由，于是，，兩邊同乘以2，得．兩式相減，得==﹣n?2n+2．所以，．18.以A為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1,1，0），，(Ⅰ)∵，∴.∴無論取何值，.(II)時，,.而面，設(shè)平面的法向量為，則,設(shè)為平面與平面ABC所成銳二面角，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是19.（1）頻率分布直方圖見解析，；（2）；（3）分布列見解析，..故的分布列如下0123依題意，故.20.（1）解：C1的左焦點為（），寫出的直線方程可以是以下形式：或，其中．（2）證明：因為直線y=kx與C2有公共點，所以方程組有實數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得．若原點是“C1﹣C2型點”，則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點．考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．顯然直線x=0與C1無公共點．如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組，得，矛盾．所以直線y=kx（|k|＞1）與C1也無公共點．因此原點不是“C1﹣C2型點”．（3）證明：記圓O：，取圓O內(nèi)的一點Q，設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1，C2都有公共點，顯然l不與x軸垂直，故可設(shè)l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點，矛盾，所以|k|＞1．因為l與C1由公共點，所以方程組有實數(shù)解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因為|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離，所以，從而，得k2＜1，與|k|＞1矛盾．因此，圓內(nèi)的點不是“C1﹣C2型點”．21.（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函數(shù)f（x）圖象在點（0，1）處的切線斜率為0， ∴圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=1； （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①當(dāng)a＞1，y=2x單調(diào)遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； ②當(dāng)0＜a＜1，y=2x單調(diào)遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）； （3）因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 記g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因為g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（當(dāng)t=1時取等號）， 所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0， 所以當(dāng)t＞1時，g（t）＞0；當(dāng)0＜t＜1時，g（t）＜0， 也就是當(dāng)a＞1時，f（1）＞f（﹣1）； 當(dāng)0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1） ①當(dāng)a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e， ②當(dāng)0＜a＜1時，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤， 綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0，]∪[e，+∞）． 22.（Ⅰ）曲線C的極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程是C：x2+y2﹣6