新教材數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)2.2.1不等式及其性質(zhì)第1課時(shí)學(xué)案

2.2.1不等式及其性質(zhì)第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.使學(xué)生能在實(shí)際問(wèn)題中找到不等關(guān)系,并能列出不等式和不等式組,抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題;2.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對(duì)比聯(lián)想,得到不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì),并學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式;3.使學(xué)生掌握“作差法”比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式的大小;4.讓學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)進(jìn)行直觀解釋和邏輯證明,逐步提升學(xué)生的代數(shù)推理能力,發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)1.任意給兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,那么a≥b?.

2.實(shí)數(shù)大小比較符號(hào)表示如果a-b是正數(shù),那么

a-b>0?a>b;如果a-b等于0,那么

a-b=0?a=b;如果a-b是負(fù)數(shù),那么,

反之也成立.a-b<0?a<b.3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1推論1

性質(zhì)2

推論2

性質(zhì)3

推論3

性質(zhì)4

推論4

性質(zhì)5

推論5

課堂探究例1比較x2-x和x-2的大小.跟蹤訓(xùn)練1若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x) D.隨x值變化而變化例2求證:如果a+b>c,則a>c-b.跟蹤訓(xùn)練21.如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.2.如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.核心素養(yǎng)專練1.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,有下列說(shuō)法,其中正確選項(xiàng)是()A.若a>b,則ac<bc B.若ac2>bc2,則a>bC.若a<b<0,則a2>ab>b2 D.若a>b,1a>1b,則a>0,2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是()A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B3.已知x<1,比較x3-1與2x2-2x的大小.4.若bc-ad≥0,bd>0,求證:a+bb參考答案自主預(yù)習(xí)1.a≤b2.a>b,a=b,a<b3.性質(zhì)1如果a>b,那么a+c>b+c推論1如果a+b>c那么a>c-b性質(zhì)2如果a>b,c>0,那么ac>bc推論2如果a>b,c>d,那么a+c>b+d性質(zhì)3如果a>b,c<0,那么ac<bc推論3如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd性質(zhì)4如果a>b,b>c,那么a>c推論4如果a>b>0,那么an≥bn(n∈N,n>1)性質(zhì)5a>b?b<a推論5如果a>b>0,那么a>b課堂探究例1解:因?yàn)?x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,又因?yàn)?x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,所以(x2-x)-(x-2)>0,所以x2-x>x-2.跟蹤訓(xùn)練1C解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).故選C.例2證明:(方法一)“作差”a-(c-b)=(a+b)-c因?yàn)閍+b>c,所以(a+b)-c>0,所以a>c-b.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)1”在a+b>c兩邊同時(shí)加上-b,不等式依然成立.即a+b+(-b)>c+(-b),即a>c-b.跟蹤訓(xùn)練21.證明:(方法一)“作差”(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d),因?yàn)閍>b,c>d,所以a-b>0,c-d>0,所以a+c>b+d.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)1”和“性質(zhì)4”.由“性質(zhì)1”,有a>b?a+c>b+c,c>d?c+b>d+b,由“性質(zhì)4”(傳遞性),有a+c>b+d.2.證明:(方法一)“作差”ac-bd=a(c-d)+d(a-b),因?yàn)閍>b>0,c>d>0,所以a-b>0,c-d>0,所以ac>bd.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)2”和“性質(zhì)4”.由“性質(zhì)2”,有a>b,c>0?a·c>b·c,c<d,b>0?c·b>d·b,由“性質(zhì)4”(傳遞性),有ac>bd.核心素養(yǎng)專練1.B2.B解析:因?yàn)锳-B=a2+3ab-(4ab-b2)=a-b22+34b2≥03.解:x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)·x-因?yàn)閤<1,所以x-1<0.又因?yàn)閤-122+所以(x-1)x-12所以x3-1<2x2-2x.4.證明:因?yàn)閎c-ad≥0,所以ad≤bc.因?yàn)閎d>0,所以ab≤c所以ab+1≤cd+所以a+bb學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.2.掌握比較實(shí)數(shù)大小的基本方法—作差法,掌握作差法比較代數(shù)式大小的基本步驟.3.理解不等式的性質(zhì),能利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式及比較大小.自主預(yù)習(xí)1.不等關(guān)系與不等式不等式的定義:

.

在上述不等式符號(hào)中,要特別注意“≥”“≤”.任意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則a≥b?

a≤b?

2.兩實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小比較實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn),即

.

點(diǎn)的坐標(biāo)的定義:.

另外,數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí),它所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)會(huì).一個(gè)數(shù)加上一個(gè)正數(shù),相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向方向移動(dòng)了一段距離;一個(gè)數(shù)減去一個(gè)正數(shù)(即加上一個(gè)負(fù)數(shù)),相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向方向移動(dòng)了一段距離.

由此可以看出,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小,只需考察與的相對(duì)大小就可以了,即

?

?

?

3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

性質(zhì)4

性質(zhì)5

課堂探究[合作探究1]5≥3,2≥2,2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎?[合作探究2]結(jié)合圖1找到a<b的等價(jià)條件.圖1[要點(diǎn)歸納1][典型例題1]比較x2-x和x-2的大小.[要點(diǎn)歸納2]性質(zhì)1如果a>b,那么a+c>b+c.圖2[思考](1)結(jié)合圖2利用數(shù)軸,給出性質(zhì)1的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)1.性質(zhì)2如果a>b,c>0,那么ac>bc.性質(zhì)3如果a>b,c<0,那么ac<bc.[試一試]請(qǐng)參考性質(zhì)1的證明方法,嘗試證明性質(zhì)2,3.性質(zhì)4如果a>b,b>c,則a>c.圖3[思考](1)結(jié)合圖3利用數(shù)軸,給出性質(zhì)4的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)4.性質(zhì)5a>b?b<a.[試一試](1)利用數(shù)軸,給出性質(zhì)5的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)5.[合作探究3]用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空:(1)a>b是a+c>b+c的條件;

(2)如果c>0,則a>b是ac>bc的條件;

(3)如果c<0,則a>b是ac<bc的條件;

(4)a>b且b>c是a>c的條件.

[評(píng)價(jià)反饋]1.判斷下列命題的真假:(1)當(dāng)x=3時(shí),x≥3;(2)當(dāng)x>3時(shí),x≥3;(3)當(dāng)x≥3時(shí),x=3;(4)當(dāng)x≥3且x≤3時(shí),x=3.2.填空:(1)x+5x+2;

(2)a<b?3a3b;

(3)a<b?-5a-5b;

(4)當(dāng)c0時(shí),a>b?ac<bc;

(5)a>b?a-1b-2.

3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,則t和s的大小關(guān)系是()A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s核心素養(yǎng)專練1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),則糖水變甜了,根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉的一個(gè)不等式為()A.a+mb+m<aC.a-mb-m<a2.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,則()A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b3.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B.小明的身高xcm,小華的身高ycm,則小明比小華矮表示為“x>y”C.某變量x至少是a可表示為“x≥a”D.不等式x≥2的含義是指x不小于24.下列命題中正確的有.(填序號(hào))

(1)不等式x≥3的含義是指x不小于3.(2)若a<b或a=b之中有一個(gè)正確,則a≤b正確.(3)若a>b,則ac>bc一定成立.5.當(dāng)m>1時(shí),m3與m2-m+1的大小關(guān)系為.

6.某公司有20名技術(shù)人員,計(jì)劃開發(fā)A,B兩類共50件電子器件,每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下:產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬(wàn)元/件)A類17.5B類16今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高,則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件,最高產(chǎn)值為萬(wàn)元.

7.已知x∈R且x≠-1,比較11+x與1-x參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略核心素養(yǎng)專練1.B[糖水變甜了,說(shuō)明糖水中糖的濃度增加了,故a+mb+2.C[∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.]3.CD[對(duì)于A,x應(yīng)滿足x≤2000,故A錯(cuò);對(duì)于B,x,y應(yīng)滿足x<y,故B不正確;C正確;D正確.]4.(1)(2)[(1)正確.不等式x≥3表示x>3或x=3,即x不小于3,故此說(shuō)法是正確的.(2)正確.不等式a≤b表示a<b或a=b.故若a<b或a=b中有一個(gè)正確,則a≤b一定正確.(3)錯(cuò)誤.ac-bc=(a-b)c,這與c的符號(hào)有關(guān).]5.m3>m2-m+1[∵m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).又∵m>1,故(m-1)(m2+1)>0.∴m3>m2-m+1.]6.20330[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件,則