數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第十五講真題拓展-幾何提升版（含答案、教師版學(xué)生版）北師大版

第15講真題拓展——幾何一．選擇題〔共11小題〕1．〔2021?雞西〕一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正立方體，由假設(shè)干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體外表涂漆，請(qǐng)問一共有多少個(gè)小立方體被涂上了顏色？〔〕A．296B．324C．328D．384【分析】根據(jù)題意可知，正立方體總共有8×8×8個(gè)小立方體組成，處于最外層的小立方體全部被涂上了顏色，那么沒有涂上顏色的小立方體有6×6×6個(gè)，兩者之差即為涂上顏色的小立方體的個(gè)數(shù)?！窘獯稹拷猓?﹣2＝6〔個(gè)〕8×8×8﹣6×6×6＝512﹣216＝296〔個(gè)〕答：一共有296個(gè)小立方體被涂上了顏色。應(yīng)選：A。【點(diǎn)評(píng)】把大立方體看成由1×1的小立方體組成，那么涂色的就是最外面的立方體，而里面的沒有．那么總的減去里面的就是所求的個(gè)數(shù)。2．〔2021?雞西〕如圖中心線上半部與下半部都是由3個(gè)紅色小三角形，5個(gè)藍(lán)色小三角形與8個(gè)白色小三角形所組成。當(dāng)把上半圖沿著中心線往下折疊時(shí)，有2對(duì)紅色小三角形重合，3對(duì)藍(lán)色小三角形重合，以及有2對(duì)紅色與白色小三角形重合，試問有多少對(duì)白色小三角形重合？〔〕A．4B．5C．6D．7【分析】上下半局部各有16個(gè)小三角形，其中有2對(duì)紅色、3對(duì)藍(lán)色、2對(duì)紅色與白色小三角形重合，那么剩下重合的小三角形只有9對(duì)；紅色小三角形還有3×2﹣2×2﹣2＝0〔個(gè)〕，藍(lán)色還有5×2﹣3×2＝4〔個(gè)〕，所以在這9對(duì)中，應(yīng)還包括上半局部2藍(lán)對(duì)應(yīng)于下半局部2白，與上半局部2白對(duì)應(yīng)于下半局部2藍(lán)的情形，即再排除4對(duì)，因此，只有5對(duì)白色小三角形重合。【解答】解：紅色三角形剩余：3×2﹣2×2﹣2＝6﹣4﹣2＝0〔個(gè)〕所以，沒有紅色三角形和藍(lán)色三角形重合，藍(lán)色三角形剩余：5×2﹣3×2＝10﹣6＝4〔個(gè)〕這4個(gè)藍(lán)色三角形不與自身重合，只能與白色三角形重合，白色三角形剩余：8×2﹣4﹣2＝16﹣4﹣2＝10〔個(gè)〕10個(gè)白色三角形互相重合：10÷2＝5〔對(duì)〕答：有5對(duì)白色小三角形重合。應(yīng)選：B?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了染色問題，根據(jù)每種顏色的三角形的總量，以及重合的數(shù)量關(guān)系，求出剩余的數(shù)量，是此題解題的關(guān)鍵。3．〔2021?鄭州〕如下圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A和B兩點(diǎn)在小方格的格點(diǎn)上，點(diǎn)C也在小方格的格點(diǎn)上，且以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的面積為1個(gè)平方單位，那么滿足條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〔〕A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)【分析】根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，可知△ABC的面積為1可分兩種情況，①底邊為2，高為1；②底邊為1，高為2，解答即可．【解答】解：由分析可知：△ABC的面積為1時(shí)，可分兩種情況；當(dāng)?shù)走厼?，高為1時(shí)，如圖：有6種情況；當(dāng)?shù)走厼?，高為2時(shí)，沒有符合的點(diǎn)使三角形的面積為1，所以符合條件的格點(diǎn)C共有6個(gè)．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的面積公式來解決特殊的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來求解．注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．4．〔2021?嘉峪關(guān)〕某時(shí)刻鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，那么此時(shí)刻為〔〕A．10點(diǎn)15分B．10點(diǎn)19分C．10點(diǎn)20分D．10點(diǎn)25分【分析】在鐘面上，分針每分鐘走360°÷60＝6°，時(shí)針走360°÷〔60×12〕＝0.5°。由于再過6分鐘后分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，此時(shí)針與分針的夾角為180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°，10時(shí)整時(shí)，時(shí)針與分針相差60°〔鐘面上12個(gè)數(shù)字把鐘面平均分成12大格，每大格所對(duì)應(yīng)的圓心角是360°÷12＝30°，10時(shí)，時(shí)針指向10，分針指向12，夾角為60°〕。時(shí)針與分針每分鐘夾角相差6°﹣0.6°＝5.5°，根據(jù)追及問題，用〔142.5°﹣60°〕除以5.5°就是10時(shí)后經(jīng)過的分鐘數(shù)，再加10就是此題的時(shí)刻?！窘獯稹拷猓悍轴樏糠址N走6°時(shí)針每分種走0.5°再過六分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上此時(shí)刻分針和時(shí)針夾角＝180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°10點(diǎn)時(shí)分針和時(shí)針夾角＝60°分針和時(shí)針夾角每分種增加6﹣0.5＝5.5°〔142.5﹣60〕÷5.5＝82.5÷5.5＝15此時(shí)刻為10點(diǎn)又過了15分即10點(diǎn)15分。應(yīng)選：A?！军c(diǎn)評(píng)】此題較難。關(guān)鍵弄清以下幾點(diǎn)：分針每分針走的度數(shù)、時(shí)針每分鐘走的度數(shù)、時(shí)針與分針在方向相反一條直線上，相差180度。除按上述解答方法外，也可設(shè)此時(shí)為10點(diǎn)x分，6分鐘后的分針度數(shù)為〔6x+36〕度，3分鐘前的時(shí)針度數(shù)為〔300+0.5x﹣0.5×3〕度，根據(jù)上此分針與時(shí)針相差180°即可列方程解答。5．〔2021?亳州〕一次游泳比賽，由甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加決賽，賽前他們比照賽進(jìn)行了預(yù)測(cè)。甲說：“我第一，乙第二。〞乙說：“我第一，甲第四。〞丙說：“我第一，乙第四。〞丁說：“我第四，丙第一。〞比賽結(jié)果無并列名次，且四人各都只說對(duì)了一半，那么丁是第〔〕名。A．二B．三C．四【分析】此題可通過假設(shè)法進(jìn)行分析，假設(shè)甲的說法中“甲第一〞正確，那么根據(jù)乙說：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正確；丙的說法“我第一，甲第四〞都不正確，與題意不符，所以甲的說法中“乙第二〞正確；由此推知中丙第一，丁第三，甲第四?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)甲的說法中“甲第一〞正確，那么根據(jù)乙說：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正確；丙的說法“我第一，甲第四〞都不正確，與題意不符，所以甲的說法中“乙第二〞正確，甲不是第一；因?yàn)槊咳硕颊f對(duì)了一半，根據(jù)乙的說法可得甲第四；根據(jù)丙的說法確定了丙第一；剩下的丁是第三名。即丙第一，乙第二，丁第四，甲第四。答：丁是第三名。應(yīng)選：B?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力。6．〔2021?雞西〕林輝在自助餐店就餐，他準(zhǔn)備挑選三種肉類中的一種肉類，四種蔬菜中的二種不同蔬菜，以及四種點(diǎn)心中的一種點(diǎn)心。假設(shè)不考慮食物的挑選次序，那么他可以有多少不同選擇方法？〔〕A．4B．24C．72D．144【分析】三種肉選一個(gè)有3種選法，四種蔬菜選兩種有4×3÷2＝6種選法，四種點(diǎn)心選一個(gè)有4種選法，根據(jù)乘法原理，他可以有3×6×4＝72種不同選擇方法．【解答】解：3×〔4×3÷2〕×4＝3×6×4＝72〔種〕答：他可以有72種不同選擇方法．應(yīng)選：C。【點(diǎn)評(píng)】乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法。7．〔2021?平原縣〕小張、小王和小李三人中有一位是工程師，一位是戰(zhàn)士，一位是工人．小李比戰(zhàn)士的年齡大；小王與工程師不同歲；工程師比小李的年齡?。敲此麄儺?dāng)中〔〕是工人．A．小張B．小王C．小李D．無法確定【分析】由“小李比戰(zhàn)士的年齡大〞可知，小李不是戰(zhàn)士，由“工程師比小李的年齡小〞可知，小李不是工程師，而小李即不是戰(zhàn)士也不是工程師，只能是工人，據(jù)此選擇?！窘獯稹拷猓河伞靶±畋葢?zhàn)士的年齡大〞可知，小李不是戰(zhàn)士，由“工程師比小李的年齡小〞可知，小李不是工程師，而小李即不是戰(zhàn)士也不是工程師，只能是工人。應(yīng)選：C?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了邏輯推理，需要學(xué)生具有較好的推理能力。8．〔2021?滎陽市〕甲、乙、丙、丁四位同學(xué)比賽跳遠(yuǎn)．乙說：“我不是跳得最遠(yuǎn)的，但比甲、丙跳得遠(yuǎn)．〞甲說：“我比丙跳得遠(yuǎn)．〞他們四人跳遠(yuǎn)距離按從遠(yuǎn)到近排是〔〕A．丁、甲、乙、丙B．甲、乙、丙、丁C．丁、乙、甲、丙【分析】根據(jù)乙說：“我不是跳得最遠(yuǎn)的，但比甲、丙跳得遠(yuǎn)．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因?yàn)榧渍f：“我比丙跳得遠(yuǎn)．〞可得他們四人跳遠(yuǎn)距離按從遠(yuǎn)到近排是：丁、乙、甲、丙；據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)乙說：“我不是跳得最遠(yuǎn)的，但比甲、丙跳得遠(yuǎn)．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因?yàn)榧渍f：“我比丙跳得遠(yuǎn)．〞可得他們四人跳遠(yuǎn)距離按從遠(yuǎn)到近排是：丁、乙、甲、丙．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力，關(guān)鍵是確定乙排在第二，丁排在第一．9．〔2021?溫州〕如圖，沿圖中的路線，從A地經(jīng)P點(diǎn)到B地，走最短路線共有〔〕種不同的走法．A．1B．4C．30D．100E．9【分析】想要路線最短，那么移動(dòng)時(shí)只能向上移動(dòng)一格或者向右移動(dòng)一格；先算從A地到P點(diǎn)，有多少種走法．從A到P需要向上移動(dòng)2格，向右移動(dòng)3個(gè)，也就是將“上、上、右、右、右〞進(jìn)行排列組合，第一個(gè)“上〞在一個(gè)位置時(shí)，第二個(gè)“上〞有4種情況；第一個(gè)“上〞在第二個(gè)位置時(shí)，第二個(gè)“上〞有3種情況；第一個(gè)“上〞在第三個(gè)位置時(shí)，第二個(gè)“上〞有2種情況，第一個(gè)“上〞在第四的位置時(shí)，第二個(gè)“上〞有1種情況．相加即可求得從A到P有幾種走法；再算從P點(diǎn)到B地，有多少種走法．從P到B需要向上移動(dòng)1格，向右移動(dòng)2格，也就是將“上、右、右〞進(jìn)行排列組合，有3種情況；兩數(shù)相乘，即為一共有多少種不同的走法．【解答】解：由分析知，從A到P有：4+3+2+1＝10〔種〕從P到B有3種，一共有：10×3＝30〔種〕答：走最短路線共有30種不同的走法．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了排列組合，分別求出從A到P和從P到B有多少種走法，兩者相乘即為所求．10．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)但不能經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，問有〔〕種不同的走法。A．17B．19C．20D．15【分析】根據(jù)題意，利用標(biāo)數(shù)法，把每點(diǎn)的走法都一一標(biāo)出來，從A到B的走法數(shù)量，等于從A到A右邊一個(gè)點(diǎn)的走訪數(shù)量+從A到A上邊一個(gè)點(diǎn)的走法的數(shù)量，即可進(jìn)行求解。【解答】解：如圖：答：一共有17種不同的走法。應(yīng)選：A。【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查排列組合，關(guān)鍵是根據(jù)圖意找到從A向上和向右的不同走法的數(shù)量。11．〔2021?長(zhǎng)沙縣〕王老師昨天按時(shí)間順序先后收到了A、B、C、D、E共5封電子郵件，如果他每次都是先回復(fù)最新收到的一封電子郵件，那么在下面的排列中，王老師可能回復(fù)郵件的順序是〔〕〔填數(shù)字編號(hào)〕A．ABECDB．BAECDC．CEDBAD．DCABEE．ECBAD【分析】這道題如果正向分析有很多種情況，然而選項(xiàng)只有5個(gè)，所以用逆向思維去分析答案，用排除法做更快．【解答】解：A選項(xiàng)的順序是ABECD，王老師最先回復(fù)A，證明王老師剛開始回復(fù)郵件時(shí)只收到了A郵件，回復(fù)A時(shí)收到了B郵件，回復(fù)完A后除了B沒有其他未回復(fù)的郵件，接下來回復(fù)E，證明王老師再回復(fù)B郵件時(shí)收到了CDE三封．這樣才會(huì)先回復(fù)最新收到E，既然王老師CDE都收到了，那回復(fù)完E，應(yīng)該先回復(fù)D，而不是先C后D，故錯(cuò)誤．B選項(xiàng)的順序是BAECD，王老師最先回復(fù)B，證明王老師剛開始回復(fù)郵件時(shí)已經(jīng)收到了AB兩封郵件，回復(fù)完B后沒有收到新郵件，只能回復(fù)A，接下來回復(fù)E，證明王老師再回復(fù)A郵件時(shí)收到了CDE三封．這樣才會(huì)先回復(fù)最新收到E，既然王老師CDE都收到了，那回復(fù)完E，應(yīng)該先回復(fù)D，而不是先C后D，故錯(cuò)誤．C選項(xiàng)的順序是CEDBA，王老師最先回復(fù)C，證明王老師剛開始回復(fù)郵件時(shí)已經(jīng)收到了ABC三封郵件，回復(fù)完C后，王老師沒有回復(fù)B，證明他又收到了新郵件，發(fā)現(xiàn)王老師接下來回復(fù)E，證明王老師再回復(fù)C郵件時(shí)收到了DE兩封．這樣才會(huì)先回復(fù)最新收到E，既然王老師DE都收到了，那回復(fù)完E，應(yīng)該先回復(fù)D，回復(fù)完D，回復(fù)BA，故正確．D選項(xiàng)的順序是DCABE，王老師最先回復(fù)D，證明王老師剛開始回復(fù)郵件時(shí)已經(jīng)收到了ABCD四封郵件，回復(fù)完D后，王老師回復(fù)C，證明他沒有收到新郵件，回復(fù)完C后沒有回復(fù)E證明王老師還沒有收到郵件E，那他就應(yīng)該先回復(fù)B而不是A，故錯(cuò)誤．EA選項(xiàng)的順序是ECBAD，王老師最先回復(fù)E，證明王老師剛開始回復(fù)郵件時(shí)已經(jīng)收到了ABCDE五封郵寄郵件，按照先回復(fù)最新收到的一封電子郵件的要求，那回復(fù)完E，應(yīng)該先回復(fù)D，而不是先C后D，故錯(cuò)誤．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題正向分析有很多情況，從正確的里面挑選ABCDE五個(gè)選項(xiàng)那個(gè)正確工作量很大，如果反向去看，只需要分析5種情況，工作量大大減小，排除法時(shí)選擇題的一個(gè)重要解題方法．二．填空題〔共15小題〕12．〔2021?岳麓區(qū)〕如圖是由9個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體搭成的，將這個(gè)立體圖形外表涂上紅色.其中只有三個(gè)面涂上紅色的正方體有5個(gè).【分析】觀察圖形，找出這9個(gè)小正方體只露出3個(gè)面的小正方體個(gè)數(shù)，即可得出只有三個(gè)面涂上紅色的正方體個(gè)數(shù)，據(jù)此解答問題。【解答】解：觀察圖形標(biāo)出三個(gè)面露在外部的小正方體如下圖：所以這個(gè)立體圖形外表涂上紅色.其中只有三個(gè)面涂上紅色的正方體有5個(gè)。故答案為：5?！军c(diǎn)評(píng)】解答此題關(guān)鍵是明確出露在外部的面是3個(gè)面的小正方體的個(gè)數(shù)，即可確定只有三面涂上紅色的小正方體的個(gè)數(shù)。13．〔2021?岳麓區(qū)〕平面上有3條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)，100條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生4950個(gè)交點(diǎn)?！痉治觥扛鶕?jù)題干，3條直線最多有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)，5條直線最多有1+2+3+4＝10個(gè)交點(diǎn)，6條直線最多有1+2+3+4+5＝15個(gè)交點(diǎn)，…，據(jù)此可得：n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n(n-1)【解答】解：根據(jù)題干分析可得：3條直線最多有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)，5條直線最多有1+2+3+4＝10個(gè)交點(diǎn)，6條直線最多有1+2+3+4+5＝15個(gè)交點(diǎn)，…，n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n當(dāng)n＝100時(shí)，n=＝4950答：100條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生4950個(gè)交點(diǎn)?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多條直線相交時(shí)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解答此題關(guān)鍵是找出規(guī)律，n條直線n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n14．〔2021?平羅縣〕有11個(gè)相同的長(zhǎng)方體，每一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是2、3、4個(gè)單位.如果先把所有長(zhǎng)方體的外表全部涂色，再把它們?nèi)拷爻衫忾L(zhǎng)為1個(gè)單位〔與原長(zhǎng)方體單位相同〕的正方體，那么這些正方體：〔1〕兩面有顏色的共有132個(gè).〔2〕一面有顏色的的共有44個(gè).【分析】每一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高上分別切割成2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小正方體，由此根據(jù)只有一面涂色的小正方體在每個(gè)正方體4×3的面上，只有2面涂色的小正方體在長(zhǎng)方體的3和4個(gè)單位的棱長(zhǎng)上〔不包括8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體〕，3面涂色的在8個(gè)頂點(diǎn)處，即可解答問題?！窘獯稹拷猓好總€(gè)長(zhǎng)方體只有一面涂色的有：〔4﹣2〕×〔3﹣2〕×2＝2×2＝4〔個(gè)〕一面有顏色的的共有：4×11＝44〔個(gè)〕只有兩面涂色的有：2×3×4＝24〔個(gè)〕〔24﹣8﹣4〕×11＝12×11＝132〔個(gè)〕答：兩面有顏色的共有132個(gè)，只有一面涂色的有44個(gè)。故答案為：132；44?！军c(diǎn)評(píng)】抓住外表涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上，3面涂色的在頂點(diǎn)處，由此即可解決此類問題。15．〔2021?長(zhǎng)沙〕在以下數(shù)表中，第2021行左邊的第一個(gè)數(shù)是8070543267891312111014151617…【分析】這個(gè)數(shù)表中開始的最小的一個(gè)數(shù)為2，每4個(gè)數(shù)一行，奇數(shù)行是從右到左的順序依次增加的；偶數(shù)行的數(shù)是從左到右依次增加的；整個(gè)數(shù)表可以看成是以2開始的自然數(shù)列，2021是偶數(shù)，所以是從左到右依次增加的，到第2021行共有2021×4＝8072個(gè)數(shù)，再加1減去3即可．【解答】解：2021×4＝8072〔個(gè)〕又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)表中開始的最小的一個(gè)數(shù)為2，所以，依數(shù)列的排列規(guī)律可知，第2021行的左邊第1個(gè)數(shù)為：8072+1﹣3＝8070．答：第2021行左邊的第一個(gè)數(shù)是8070．故答案為：8070．【點(diǎn)評(píng)】考查了數(shù)表中的規(guī)律，解決此題關(guān)鍵是找出這些數(shù)的排列規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求解．解答此題也可以先求出前2021行的個(gè)數(shù)，再加2，即〔2021﹣1〕×4+2＝8070．16．〔2021?長(zhǎng)沙縣〕現(xiàn)在都是由邊長(zhǎng)為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長(zhǎng)為2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形，他們的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外都是涂白顏色的小正方形，要組成這樣4個(gè)大小不同的正方形，總共需要紅色小正方形76個(gè)，白色小正方形89個(gè)【分析】如圖，邊長(zhǎng)為2厘米的正方形有〔2×2〕個(gè)紅色小正方形，無白色小正方形；邊長(zhǎng)為4厘米的正方形有[〔4﹣1〕×4]個(gè)紅小正方形，有[〔4﹣2〕×〔4﹣2〕]個(gè)白色小正方形；邊長(zhǎng)為8厘米的正方形有[〔8﹣1〕×4]個(gè)紅色小正方形，有[〔8﹣2〕×〔8﹣2〕]個(gè)白色小正方形；邊長(zhǎng)為9厘米的正方形有[〔9﹣1〕×4]個(gè)紅色小正方形，有[〔9﹣2〕×〔9﹣2〕]個(gè)白色小正方形．再分別求出紅色小正方形、白色小正方形的總個(gè)數(shù)．【解答】解：如圖紅色小正方形：2×2＝4〔個(gè)〕白色小正方形：0個(gè)紅色小正方形：〔4﹣1〕×4＝12〔個(gè)〕白色小正方形：〔4﹣2〕×〔4﹣2〕＝4〔個(gè)〕紅色小正方形：〔8﹣1〕×4＝28〔個(gè)〕白色小正方形：〔8﹣2〕×〔8﹣2〕＝36〔個(gè)〕紅色小正方形：〔9﹣1〕×4＝32〔個(gè)〕白色小正方形：〔9﹣2〕×〔9﹣2〕＝49〔個(gè)〕紅色小正方形共有：4+12+28+32＝76〔個(gè)〕白色小正方形共有：4+36+49＝89〔個(gè)〕答：總共需要紅色正方形76個(gè)，白色正方形89個(gè)．故答案為：76，89．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是弄清邊長(zhǎng)為2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的正方形各有多少個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形組成，這些邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形中，紅色的、白色的各有多少個(gè)．17．〔2021?西城區(qū)〕如圖，三個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，那么a：b：c＝20：25：24．【分析】4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即a：b＝4：5，即b是a的54；6a＝5c，即a：c＝5：6，即c是a的65；所以a：b：c＝a：：65a＝20：25：24【解答】解：4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即b是a的546a＝5c，即c是a的65a：b：c＝a：54a：6＝20：25：24．答：a：b：c＝20：25：24．故答案為：20：25：24．【點(diǎn)評(píng)】此題可根據(jù)周長(zhǎng)計(jì)算公式，對(duì)以上即個(gè)圖形進(jìn)行計(jì)算，然后得出三個(gè)字母間的關(guān)系，然后都用一個(gè)字母表示，進(jìn)行比，得出結(jié)論．18．〔2021?綿陽〕如圖，三角形ABC各邊的三等分點(diǎn)分別是D、E．F．假設(shè)三角形ABC的面積是210平方厘米，那么陰影局部的面積是30平方厘米．【分析】根據(jù)三角形ABC的面積等于三角形ABF面積+三角形BCE面積+三角形ACD面積+陰影局部面積﹣重合局部面積，可求將陰影局部面積轉(zhuǎn)化為三個(gè)小三角形的面積；根據(jù)兩個(gè)三角形同底或同高時(shí)的面積比與高或底的關(guān)系，求出小三角形面積，即可作答．【解答】解：三角形ABC面積用a表示，a＝210cm2，如圖，設(shè)點(diǎn)A到CD的高為hA，點(diǎn)F到CD的高為hF，連接DF，S△ABC＝S△ACD+S△ABF+S△BCE+S△OPQ﹣S△ADO﹣S△BFQ﹣S△CPE，又∵S△ACD＝S△ABF＝S△BCE=13S△ABC=可得：S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE，根據(jù)三角形面積與底的關(guān)系，可知：S△AFC=23a，S△ABF=S△ADF=13S△ABF=13×13a=19a，S△DFC三角形ADC和三角形DFC同底，所以，S△ADC：S△DFC＝hA：hF=13：49=三角形ADO和三角形FDO同底時(shí)，S△ADO：S△FDO＝hA：hF＝3：4，三角形ADO和三角形FDO同底時(shí)，S△ADO：S△FDO＝AO：FO＝3：4，所以，S△ADO=37S△ADF=37同理可求，S△BFP＝S△PCE=121所以，S陰影局部＝S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE=121×3a=17×故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查兩個(gè)三角形同底或同高時(shí)的面積比與高或底的關(guān)系，并運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，把陰影局部面積轉(zhuǎn)化為可求的小三角形面積，解答過程中要求仔細(xì)認(rèn)真．19．〔2021?深圳〕如圖中共有27個(gè)等邊三角形．【分析】根據(jù)圖形，單個(gè)的小三角形有16個(gè)，由4個(gè)小三角形組成的三角形有7個(gè)，9個(gè)小三角形組成的大三角形有3個(gè)，16個(gè)小三角形組成的大三角形有1個(gè)，再相加即可求解．【解答】解：?jiǎn)蝹€(gè)的小三角形有16個(gè)，由4個(gè)小三角形組成的三角形有7個(gè)，9個(gè)小三角形組成的大三角形有3個(gè)，16個(gè)小三角形組成的大三角形有1個(gè)，16+7+3+1＝27〔個(gè)〕答：如圖中共有27個(gè)等邊三角形．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是利用分類的思想，分別找出各種三角形的個(gè)數(shù)，即可得出三角形的總個(gè)數(shù)．20．〔2021?長(zhǎng)沙〕有13個(gè)不同的正整數(shù)，它們的和是100，其中偶數(shù)最多有7個(gè).【分析】根據(jù)題意，要想使偶數(shù)最多，從最小的開始〔正整數(shù)〕，使連續(xù)偶數(shù)的和小于或等于100。因?yàn)?個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和：2+4+……+16+18＝90，100﹣90＝10，1+3+5+7＝16，16＞10，所以偶數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)該小于9個(gè)；且偶數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，所以偶數(shù)個(gè)數(shù)最多是7個(gè)?！窘獯稹拷猓?+4+……+16+18＝90100﹣90＝101+3+5+7＝1616＞10所以偶數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)該小于9個(gè)所以偶數(shù)個(gè)數(shù)最多是7個(gè)。故答案為：7。【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查最大與最小問題，關(guān)鍵是根據(jù)連續(xù)偶數(shù)的和，找到符合圖意的偶數(shù)個(gè)數(shù)，完成題目。21．〔2021?長(zhǎng)沙〕現(xiàn)在是北京時(shí)間上午8點(diǎn)，再過18613分時(shí)，時(shí)針和分針離“6【分析】分針每分鐘繞中心旋轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，時(shí)針每分鐘繞中心旋轉(zhuǎn)360÷12÷60＝0.5°．在鐘面上每相鄰兩個(gè)數(shù)字間的角度是360°÷12＝30°．設(shè)8點(diǎn)x分時(shí)時(shí)針和分針離“6〞字的距離相等．8時(shí)整時(shí)，時(shí)針離開“6〞〔60+0.5x〕度，分鐘離開“12〞6x度，它與到“6〞還有〔180﹣6x〕度．根據(jù)題意即可列方程解答。【解答】解：8點(diǎn)x分時(shí)時(shí)針和分針離“6〞字的距離相等．60+0.5x＝180﹣6x60+6.5x＝1806.5x＝120x＝186答：再過18613分時(shí)，時(shí)針和分針離“6故答案為：18613【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是明白分針、時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的度數(shù)，然后根據(jù)題意列方程．也可這樣列，既然分時(shí)，時(shí)針和分針離“6〞字的距離相等，離開“12〞也相等，根據(jù)題意，120﹣0.5x＝6x。22．〔2021?長(zhǎng)沙〕在射擊游戲中，一名“恐怖分子〞隱藏在10個(gè)排成一行的窗戶后面，一位百發(fā)百中的狙擊手只要射中“恐怖分子〞所在的窗戶就能射中這名“恐怖分子〞，每次完成射擊后，如果“恐飾分子〞沒有被射中，那么他就會(huì)向右移動(dòng)一個(gè)窗戶，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動(dòng).為了確保射中這名“恐怖分子〞.狙擊手至少需要射擊6次.【分析】因?yàn)椤翱植婪肿莹晻?huì)向右移動(dòng)，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動(dòng)，所以每次射擊都射擊最右側(cè)的窗口即可。【解答】解：因?yàn)椤翱植婪肿莹晻?huì)向右移動(dòng)，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動(dòng)，所以每次射擊都射擊最右側(cè)的窗口，將窗口從左到右編號(hào)1～10考慮最壞狀況，“恐怖分子〞在1號(hào)窗口，設(shè)射擊x次后命中，“恐怖分子〞向右移動(dòng)了〔x﹣1〕次，此時(shí)恐怖分子移動(dòng)到了1+x﹣1＝x號(hào)窗口，此時(shí)射擊的窗口是10﹣〔x﹣1〕＝11﹣x號(hào)窗口，x＝11﹣xx＝5.5所以，至少要射擊6次，才能確保射中這名“恐怖分子〞。故答案為：6?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要最大與最小問題，根據(jù)“恐怖分子〞的移動(dòng)方式，得出射擊的方式，是此題解題的關(guān)鍵。23．〔2021?長(zhǎng)沙〕小剛騎在馬背上趕馬過河，共有甲、乙、丙、丁四匹馬，甲馬過河需2分鐘，乙馬過河需3分鐘，丙馬過河需6分鐘，丁馬過河需7分鐘，每次只能兩匹馬同時(shí)過河，要把4匹馬都趕到對(duì)岸去，最少需18分鐘．【分析】騎甲趕乙過河，騎甲回，需要3+2＝5分鐘，再騎丙趕丁過河，騎乙回，需要7+3＝10分鐘；再騎甲趕乙過河不回，需3分鐘．據(jù)此解答．【解答】解：最少需要的時(shí)間是：3+2+7+3+3＝18〔分鐘〕答：最少需要18分鐘．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是讓用時(shí)最少的兩匹馬先過河，然后騎用時(shí)最少的回來，再把用時(shí)最多的趕過河，然后再騎用時(shí)最少的回來，然后再過河．24．〔2021?長(zhǎng)沙〕在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間，鐘面上分針與時(shí)針在10時(shí)5511或38211【分析】由于時(shí)針1分鐘旋轉(zhuǎn)的圓心角度數(shù)為0.5度，分針1分鐘旋轉(zhuǎn)的圓心角度數(shù)為6度．當(dāng)兩針成直角時(shí)，兩針?biāo)叨葦?shù)差為〔90﹣60〕或〔300﹣90〕，又知兩針每分鐘所走度數(shù)差為〔6﹣0.5〕，那么時(shí)針與分針成直角所用的時(shí)間是：[90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕，計(jì)算出結(jié)果，再加上10時(shí)即可。【解答】解：[90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕＝30÷5.5=＝5511即10時(shí)5511或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕＝210÷5.5=＝38211即10時(shí)38211答：時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是10時(shí)5511分或10時(shí)382【點(diǎn)評(píng)】解決此題關(guān)鍵是求出時(shí)針和分針的速度差，討論兩種不同的情況，得出路程差，再用路程差÷速度差＝時(shí)間，從而解決問題。25．〔2021?隴縣〕王阿姨、李阿姨、劉叔叔、張叔叔分別是農(nóng)民、工人和軍人．只有兩位阿姨職業(yè)相同，張叔叔是農(nóng)民，李阿姨不是軍人，劉叔叔的職業(yè)是軍人．【分析】張叔叔是農(nóng)民，只有兩位阿姨職業(yè)相同，即只有兩位女性職業(yè)相同，即王阿姨、李阿姨職業(yè)相同，又因?yàn)槔畎⒁滩皇擒娙撕娃r(nóng)民，那么只能是工人，那么剩下的劉叔叔的職業(yè)只能是軍人．【解答】解：根據(jù)分析可得，張叔叔是農(nóng)民，只有兩位阿姨職業(yè)相同，即只有兩位女性職業(yè)相同，即王阿姨、李阿姨職業(yè)相同，又因?yàn)槔畎⒁滩皇擒娙撕娃r(nóng)民，那么只能是工人；那么剩下的劉叔叔的職業(yè)只能是軍人．答：劉叔叔的職業(yè)是軍人．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力，關(guān)鍵是明確王阿姨、李阿姨職業(yè)相同．26．〔2021?通許縣〕某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書和英語書．買書的情況是：有買一本的，有買兩本，有買三本的，至少要去20人才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書．【分析】如果買一本的有3種買法，如果買兩本的有6種買法，如果買三本的有10種買法，共有3+6+10＝19種買法，看作19個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜里有1個(gè)人，共需要19人，那么再有1個(gè)人，就能滿足一定有兩位同學(xué)買到相同的書．【解答】解：有3+6+10＝19〔種〕19+1＝20〔人〕答：至少要去20人才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用排列組合和抽屜原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是確定抽屜數(shù)，再?gòu)淖畈钋闆r考慮即可．三．應(yīng)用題〔共5小題〕27．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖，△ABC的面積為27，且BD=12DC，AF=12FD，CE=【分析】根據(jù)三角形面積公式：S＝ah÷2，可知，高相等時(shí)，面積比等于底的比，據(jù)此依次計(jì)算出△ACD、△CDF、△DEF的面積即可。【解答】解：根據(jù)BD=12DC，AF=12FD，可知，CD=23BC，DF=23AD，△ABC與△ADC等高，底CD=23所以，S△ACD＝S△ABC×2同理可得：S△CDF=23S△ACD，S△DEF=23所以，S△DEF=23×=8＝8答：△DEF的面積為8?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形面積與底的正比關(guān)系，根據(jù)條件求出底邊的關(guān)系是此題解題的關(guān)鍵。28．〔2021?岳麓區(qū)〕D是BC的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．△ADG的面積比△EFG的面積大6平方厘米，△ABC的面積是多少？【分析】觀察圖形可知，△ADG的面積比△EFG的面積大6平方厘米，那么△ADG的面積+三角形DEG的面積比△EFG的面積+三角形DEG的面積大6平方厘米，即三角形ADE的面積比三角形FDE的面積大6平方厘米，由中點(diǎn)的性質(zhì)可明顯求的，三角形ADE面積等于三角形ABC面積的14，三角形FDE面積等于三角形ABC面積的18，所以三角形ADE的面積與三角形FDE的面積之差就是三角形ABC面積的18，所以三角形ABC面積面積為6【解答】解：根據(jù)題干和圖形可得：因?yàn)椤鰽DG的面積﹣△EFG的面積＝6平方厘米，所以三角形ADE的面積﹣三角形FDE的面積＝6平方厘米，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以三角形ADE的面積=12三角形ADC的面積=1三角形FDE的面積=12三角形FDC的面積=14三角形ADC的面積所以14三角形ABC的面積-18三角形ABC即18三角形ABC的面積＝6所以三角形ABC的面積為：6÷18答：三角形ABC的面積是48平方厘米．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是，由割補(bǔ)法得出三角形ADE的面積比三角形FDE的面積大6平方厘米；再由中點(diǎn)的性質(zhì)將它們分別化成三角形ABC的14和18，從而求出三角形ABC的面積的1829．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖，平行四邊形ABCD的面積是96平方厘米，EC＝2AE，BF＝3FC。三角形DEF的面積是多少平方厘米？【分析】觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：三角形DEF的面積＝三角形DEC面積+三角形EFC的面積﹣三角形DFC的面積，根據(jù)三角形面積公式：S＝ah÷2，可知，高相等時(shí)，底邊長(zhǎng)的比等于面積比，據(jù)此計(jì)算出△EDC、△EFC、△DFC的面積和平行四邊形面積的關(guān)系，然后計(jì)算求出△DEF的面積即可?！窘獯稹拷猓涸O(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，連接AF，由圖可知：S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC根據(jù)三角形和平行四邊形的面積公式可知，等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半，S△ADC＝S△ABC=1對(duì)于△ADC和△EDC，高相同，底AC＝EC+12EC=所以，S△DEC=23S△ADC=2對(duì)于△ABC和△AFC，高相同，底BC＝FC+BF＝FC+3FC＝4FC，所以，S△AFC=14S△ABC=1對(duì)于△AFC和△EFC，高相同，底AC=32所以，S△EFC=23S△AFC=23對(duì)于平行四邊形ABCD和△DFC，高相同，底BC＝4FC，所以，S△DFC=14×1所以，S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC=13S+1＝〔824+=7=7＝28〔平方厘米〕答：三角形DEF的面積是28平方厘米?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形、三角形的面積公式的應(yīng)用，需要學(xué)生掌握等底等高平行四邊形與三角形的面積的關(guān)系，以及等高的兩個(gè)三角形面積之比與底邊之比的關(guān)系。30．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖，棱長(zhǎng)為4cm的正方體木塊的每個(gè)面的中心打上一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長(zhǎng)為1cm的正方形，求挖洞后木塊的體積及外表積.【分析】觀察圖形可知，挖洞后，體積減少了3個(gè)寬1厘米、高1厘米、長(zhǎng)4厘米的小長(zhǎng)方體的體積，因?yàn)橹虚g的棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體被重復(fù)多減了2次，所以體積＝正方體的體積﹣3個(gè)小長(zhǎng)方體的體積+2個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體的體積；挖洞后，忽略正中間挖掉的小正方體，外表積可以看作是增加了12個(gè)寬1厘米、長(zhǎng)4﹣1＝3厘米的長(zhǎng)方形的面積，外表積＝正方體的外外表積+挖洞里面形成的外表積，再減去正中間減少的棱長(zhǎng)1厘米的正方體的外表積，據(jù)此計(jì)算即可解答問題?！窘獯稹拷猓耗緣K的體積：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2＝64﹣12+2＝54〔立方厘米〕木塊的外表積：〔4×4﹣1×1〕×6＝15×6＝90〔平方厘米〕1×〔4﹣1〕×12＝1×3×12＝36〔平方厘米〕90+36＝126〔平方厘米〕答：這個(gè)木塊的體積是54立方厘米，外表積是126平方厘米。【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是掌握切割后的體積與外表積的計(jì)算方法，明確體積＝正方體的體積﹣3個(gè)小長(zhǎng)方體的體積+2個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體的體積；外表積＝正方體的外外表積+挖洞里面形成的外表積，再減去正中間減少的棱長(zhǎng)1厘米的正方體的外表積。31．〔2021?廣州〕如圖，△AEF、△ABF、△BFD的面積分別是3，2，1，陰影局部的面積是多少？【分析】在△ABF與△AFE中，高相等，面積的比就是對(duì)應(yīng)的底的比，在△BDF與△DFE中，高相等，面積的比就是對(duì)應(yīng)底的比，由此求出陰影局部的面積．【解答】解：因?yàn)椤鰽BF與△AFE的高相等，所以S△ABF：S△AFE＝BF：EF＝2：3，在△BDF與△DFE的高相等，所以S△BDF：S△DFE＝BF：EF＝2：3，因?yàn)椤鰾FD的面積是1，所以S△DFE＝1.5，答：陰影局部的面積：1.5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了高一定，面積與底成正比的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．四．解答題〔共12小題〕32．〔2021?長(zhǎng)沙〕思考題：在直角梯形ABCD中，AD＝12厘米，AB＝8厘米，BC＝15厘米，且三角形ADE，三角形CDF和四邊形DEBF的面積相等，求陰影局部的面積．【分析】由題意可知：梯形的面積可求，那么S四邊形DEBF、S△ADE、S△DCF可求，從而可以求出AE、BE，S△CDF可求，那么CF、BF可求，從而可以求出S△EBF，陰影局部的面積＝S四邊形DEBF﹣S△EBF，問題得解．【解答】解：S梯形==＝108〔平方厘米〕S△ADE＝S梯形DEBF＝S△CDF＝108÷3＝36〔平方厘米〕AE＝36×2÷12＝72÷12＝6〔厘米〕BE＝8﹣6＝2〔厘米〕CF＝36×2÷8，＝72÷8＝9〔厘米〕BF＝15﹣9＝6〔厘米〕所以S△EBF＝6×2÷2＝6〔平方厘米〕陰影局部的面積＝36﹣6＝30〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是30平方厘米．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是利用等量代換，將陰影局部利用其他圖形的面積轉(zhuǎn)化出來．33．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖C、E、B三點(diǎn)共線，CB⊥AB，AE∥DC，AB＝8，CE＝5，那么△AED的面積為多少？【分析】根據(jù)三角形等高模型可知△AED的面積＝△AEC的面積=12CE×【解答】解：連接AC，因?yàn)锳E∥DC，所以根據(jù)等號(hào)模型可知△AED的面積＝△AEC的面積，又因?yàn)镃B⊥AB，所以△AED的面積＝△AEC的面積=12CE×AB=【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形面積，三角形等高模型知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。34．〔2021?徐州〕數(shù)學(xué)課上，老師給同學(xué)們出了一道題，要大家求出一個(gè)四邊形的面積〔如圖1〕．奇奇一看，頓時(shí)就為難了，這是一個(gè)不規(guī)那么的四邊形??！怎么計(jì)算它的面積呢？老師提示說：想想我們學(xué)過哪些平面圖形的面積計(jì)算方法？能不能把它變成我們熟悉的圖形來計(jì)算它的面積呢？奇奇眼前一亮，想到了一個(gè)好方法，他把四邊形的兩條邊延長(zhǎng)，使它們相交于E點(diǎn)〔如圖2〕．他發(fā)現(xiàn)：因?yàn)椤螩＝45°，∠B＝90°，所以BCE是個(gè)等腰直角三角形，∠E＝45°，△BCE的面積就是70×70÷2＝2450〔平方米〕；又因?yàn)椤螦DE＝90°，∠E＝45°，所以△ADE也是個(gè)等腰直角三角形，它的面積是30×30÷2＝450〔平方米〕；所以原來四邊形的面積＝△BCE的面積﹣△ADE的面積＝2450﹣450＝2000〔平方米〕．〔1〕上面奇奇解決問題的過程中，用到了轉(zhuǎn)化策略．〔2〕運(yùn)用上面的策略，嘗試解決下面的問題．在六邊形ABCDEF中〔圖3〕，六個(gè)角相等，均為120度．AB＝1厘米，BC＝CD＝3厘米，DE＝2厘米，這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是多少？【分析】〔1〕奇奇解決這個(gè)四邊形的面積時(shí)通過作輔助線，把這個(gè)不規(guī)那么的四邊形轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)直角三角形的面積差，這是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的策略；〔2〕解決這個(gè)問題也可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略，六邊形ABCDEF，并不是一規(guī)那么的六邊形，但六個(gè)角都是120°，所以通過適當(dāng)?shù)南蛲庾餮娱L(zhǎng)線，可得到等邊三角形，進(jìn)而求解．【解答】解：〔1〕上面奇奇解決問題的過程中，用到了轉(zhuǎn)化策略．〔2〕如圖，分別作邊AB、CD、EF的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線使它們交于點(diǎn)G、H、P．六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°，六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°．△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等邊三角形GC＝BC＝3厘米，DP＝DE＝2厘米GH＝GP＝GC+CD+DP＝3+3+2＝8〔厘米〕FA＝HA＝GH﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4〔厘米〕EF＝PH﹣HF﹣EP＝8﹣4﹣2＝2〔厘米〕六邊形的周長(zhǎng)為1+3+3+2+4+2＝15〔厘米〕答：這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是15厘米．故答案為：轉(zhuǎn)化．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定定理；解題中巧妙地把六邊形轉(zhuǎn)化成等邊三角形，從而求得周長(zhǎng)．轉(zhuǎn)化的策略是常用的解題策略，注意學(xué)習(xí)并掌握．35．〔2021?長(zhǎng)沙〕如下面圖1那樣，在用塑料制的三棱柱形的筒里裝著水，這個(gè)筒的展開圖如下面圖2．現(xiàn)在，如圖1那樣，把這個(gè)筒的A面作為底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面講的條件答復(fù)以下問題：〔1〕把B面作為底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？〔2〕把C面〔直角三角形的面〕作為底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？【分析】此題要借助畫圖來幫助分析，先標(biāo)出各頂點(diǎn)的字母，借助直角三角形及體積知識(shí)求出水的體積〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；當(dāng)把B面作為底面時(shí)，因?yàn)椤鱕ZM與△XYP完全一樣．故水深1.5cm；當(dāng)把C面作為底面時(shí)，用體積除以底面積即可．【解答】解：在圖中標(biāo)上字母如以下圖所示，因X是MN的中點(diǎn)，故Y也是MP的中點(diǎn)，△MXY，△MNP都是直角三角形；利用勾股定理，可求出XY＝1.5cm，水的體積為：〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；當(dāng)YZ與PN垂直，交NP于Z時(shí)，XY＝NZ＝ZP＝1.5cm，XN＝Y(jié)Z＝2cm；故三角形XYM與三角形YZP完全一樣．〔1〕當(dāng)B作底面時(shí)，側(cè)面PMN如以下圖所示，因?yàn)椤鱕ZM與△XYP完全一樣．故水深1.5cm．〔2〕因高＝體積÷底面積，所以△NMP面積：3×4÷2＝6〔cm2〕；高為：54÷6＝9〔cm〕．答：把B面作為底面，水面高1.5厘米；把C面作為底面，水面高是9厘米．【點(diǎn)評(píng)】解答此類題目要畫出幾何圖形幫助分析，找出其中的相關(guān)數(shù)據(jù)．36．〔2021?長(zhǎng)沙縣〕“倍爾數(shù)〞是以美國(guó)數(shù)學(xué)家倍爾的名字命名的一個(gè)數(shù)列．請(qǐng)仔細(xì)觀察下面的幾行數(shù)，你看，它的形狀多像一個(gè)三角形啊，因此人們又稱它為“倍爾三角形〞，同學(xué)們，你們能發(fā)現(xiàn)每行數(shù)的組成有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)?jiān)囍賹懗鲆恍小氨稜枖?shù)〞．【分析】這樣的數(shù)列，形狀像個(gè)三角形，因而又叫“倍爾三角形〞，巧得很，第一豎列依次是1、1、2、5、15、52、……，右邊斜行也是1、2、5、15、52、……；仔細(xì)觀察、分析可知倍爾數(shù)的形成有兩條規(guī)律：①每排的最后一個(gè)數(shù)都是下一排的第一個(gè)數(shù)；②其他任何一個(gè)數(shù)等于它左邊相鄰數(shù)加左邊相鄰數(shù)上面的一個(gè)數(shù)；據(jù)此解答即可．【解答】解：第一個(gè)數(shù)等于上一行的最后一個(gè)數(shù)，即52．然后依次是：52+15＝6767+20＝8787+27＝114114+37＝151151+53＝203故答案為：52、67、87、114、151、203．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力；對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些局部發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各局部的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．37．〔2021?長(zhǎng)沙〕如圖，有一個(gè)敞口的立方體水箱，在其側(cè)面一條高的三等分點(diǎn)處有兩個(gè)排水孔A和B，它們排水時(shí)的速度相同且保持不變．現(xiàn)在以一定的速度從上面往水箱注水．如果翻開A孔、關(guān)閉B孔，經(jīng)過20分鐘可將水箱注滿；如果關(guān)閉A孔，翻開B孔，經(jīng)過22分鐘可將水箱注滿．如果兩個(gè)孔都翻開，那么注滿水箱的時(shí)間是多少分鐘？【分析】翻開A孔、關(guān)閉B孔，設(shè)A孔上面用的時(shí)間為t，那么A孔下面用的時(shí)間為〔20﹣t〕；關(guān)閉A孔，翻開B孔，那么20-t2+2t＝22，解方程即可求得翻開A【解答】解：翻開A孔、關(guān)閉B孔，設(shè)A孔上面用的時(shí)間為t，那么A孔下面用的時(shí)間為〔20﹣t〕．20-t2+220﹣t+4t＝443t＝24t＝86+8+12＝26〔分〕答：如果兩個(gè)孔都翻開，那么注滿水箱的時(shí)間是26分鐘．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了工程問題．關(guān)鍵是得出翻開A孔、關(guān)閉B孔，B孔以下用的時(shí)間．38．〔2021?寧波〕將1～3000的整數(shù)按照下表的方式排列．用一長(zhǎng)方形框出九個(gè)數(shù)，要使九個(gè)數(shù)的和等于〔1〕1997〔2〕2160〔3〕2142能否辦到？假設(shè)辦不到，簡(jiǎn)單說明理由．假設(shè)辦得到，寫出正方框里的最大數(shù)和最小數(shù)．【分析】這樣框出的九個(gè)數(shù)的和一定是被框出的九個(gè)數(shù)的中間的那個(gè)數(shù)的9倍，即九個(gè)數(shù)的和能被9整除；又左右兩邊兩列的數(shù)不能作為框出的九個(gè)數(shù)的中間一個(gè)數(shù)，即能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個(gè)數(shù)；由此進(jìn)行判斷．【解答】解：這樣框出的九個(gè)數(shù)的和一定是被框出的九個(gè)數(shù)的中間的那個(gè)數(shù)的9倍，即九個(gè)數(shù)的和能被9整除．1997中1+9+9+7＝26，26不是9的倍數(shù)，所以1997不能被9整除，所以不可能框出和是1997．又左右兩邊兩列的數(shù)不能作為框出的九個(gè)數(shù)的中間一個(gè)數(shù)，即能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個(gè)數(shù)．2160÷9＝240，又240÷15＝16，余數(shù)是零．所以不可能框出和是2160．2142÷9＝238238÷15＝15……13余數(shù)是13，所以可以框出和是2142的9個(gè)數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】解決此題關(guān)鍵是找出框出的九個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，和是9的倍數(shù)，且能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個(gè)數(shù)．39．〔2021?長(zhǎng)沙縣〕直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，將它的直角邊AC對(duì)折到斜邊AC與AD重合．如圖，求圖中陰影局部〔未重疊局部〕的面積是多少平方厘米？【分析】根據(jù)條件可知：AC⊥BC，CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕，根據(jù)三角形ABC的面積等于三角形ACE和三角形AEB的面積之和求出線段ED的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出陰影局部面積．【解答】解：如圖：由題意可知：直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，所以：AC⊥BC；又將它的直角邊AC對(duì)折到斜邊AC與AD重合所以CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕設(shè)CE＝DE＝x厘米，那么；4×x÷2+5×x÷2＝3×4÷22x+2.5x＝64.5x＝64.5x÷4.5＝6÷4.5x=所以陰影局部的面積是：BD×ED÷2＝1×4=2答：陰影局部〔未重疊局部〕的面積是23【點(diǎn)評(píng)】此題考查求三角形的面積，注意應(yīng)用條件求出要求三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)短即可．40．〔2021?湖南〕三角形ABC中，DC＝3BD，DE＝EA．假設(shè)三角形ABC的面積是1，那么陰影局部的面積是多少？【分析】如圖：連接DF，△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△AEF的面積＝△EFD，因?yàn)椤鰽EC的面積＝△ECD的面積，所以△DFC的面積＝△AFC的面積＝△BDF的面積×3，進(jìn)而求出陰影局部的面積．【解答】解：如圖：連接DF因?yàn)镈E＝EA△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△A