2025屆高考數(shù)學二輪復習提升微專題幾何篇第02講平面向量的分解及坐標運算含解析

Page1第02講平面對量的分解及坐標運算一、學問與方法1平面對量基本定理及坐標表示(1)平面對量基本定理:若是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,則對于這一平面內(nèi)的隨意向量,存在唯一一對實數(shù),使,其中,不共線的向量叫作表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底.(2)平面對量的坐標表示:在平面直角坐標系中,分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量,由平面對量基本定理可知,有且只有一對實數(shù),使,這樣,平面內(nèi)的任一向量都可以由唯一確定,把有序數(shù)對叫作向量的坐標,記作,其中叫作在軸上的坐標,叫作在軸上的坐標.2平面對量的坐標運算(1)加法:若,則.(2)減法:若,則.(3)實數(shù)與向量的乘法:若,則.(4)向量模的求法:若,則.(5)向量坐標的求法：1）若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.2）設(shè),則3平面對量共線的坐標表示設(shè),其中,則.二、典型例題【例1】如圖所示,在中, 表示.【分析】本例具有探究的特點,即通過三點共線,利用平面對量的分解定理求解.這里三點共線與三點共線是解題的核心條件,為此增加協(xié)助量與,即設(shè),則問題必定輕松獲解.【解析】由已知得,設(shè),則,而 即,同理,設(shè).則即.所以有,由與是不共線向量,得解得.【例2】(1)已知點.試用向量方法求與的交點的坐標.(2)已知.若與平行,求實數(shù)的值;(3)設(shè).在線段上是否存在點,使(4)已知,且,求的坐標.【分析】對于,解題的關(guān)鍵是運用三點共線的充要條件,可以奇妙地引入雙參數(shù)和解之,也可利用三點共線干脆運算,但不引入?yún)?shù),此時思路簡潔,運算量卻較大.對于,運用兩個向量平行的充要條件,在直角坐標系下表現(xiàn)為對應(yīng)坐標成比例.對于(3),抓住兩向量共線的充要條件與兩向量垂直的充要條件.對于,由得兩個等式,解方程組求得,再利用條件求得.【解析】（1）【解法1】設(shè) 【解法2】設(shè)(3)設(shè),則,即.(4)設(shè),由得:,又,得.而,(2)聯(lián)立(1)(2),解方程組得:,即.故.三、易錯警示【例1】已知,若是平行四邊形的3個頂點,求第四個頂點的坐標.錯解:設(shè)點的坐標為,則,又知,則因此所求的點的坐標為.【評析及正解】點的坐標有可能是,但上述解法是不完整的.因為題中并末標明平行四邊形,這是一種思維定勢在作怪.所以在解答中要依據(jù)定.點的依次分類探討,即平行四邊形或平行四邊形或平行四邊形,有3種可能的狀況.正確的解法如下：【解析】設(shè)點的坐標為,則.如圖所示,當四邊形為平行四邊形時,有,則解得因此所求的點的坐標為.如圖所示,當四邊形為平行四邊形時,.有,則解得因此所求的點的坐標為.如圖所示,當四邊形為平行四邊形時,.有,則解得因此所求的點的坐標為.綜上所述,所求的點的坐標為或.【例2】如圖所示,已知三定點、;三動點滿意(1)求動直線斜率的改變范圍;（2）求動點的軌跡方程.【錯解】(1)略.(2),,即.即所求軌跡方程為.評析及正解上述解法中消參(元)意識不強,含參數(shù)問題一般都要留意變量的范圍,而錯解沒有留意范圍的限定.正確的解法如下：【解析】(1)設(shè)【評析及正解】上述解法中消參(元)意識不強,含參數(shù)問題一般都要留意變量的范圍,而錯解沒有留意范圍的限定.正確的解法如下：【解析】(1)設(shè)由,可知,,同理(2)【解法1】 【解法2】四、難題攻略【例】已知正方形的邊長為1,當每個)取遍時,的最小值是.最大值是.【分析】本題考查平面對量的模,可以適當建立平面直角坐標系,將幾何問題代數(shù)化,運用坐標的不同取值求解,也可以求模后結(jié)合配方法探討其最值或利用肯定值不等式的性質(zhì)求解.【解析】【解法1】以點為原點,所在直線分別為軸、y軸建立平面直角坐標系,因為正方形的邊長為1,則,則則則當時，取得最小值0當時,同理可探討的另外3種狀況,都有的最大值為【解法2】記則令,則當時,,解法三記,則因此,即(兩邊等號均能取到).五、強化訓練1.(1)設(shè)是坐標原點,為何值時,三點共線?(2)已知,其中,求的取值范圍及取得最大值時的值.【解析】.(1)由,可得.三點共線的條件是共線,共線的條件是,解得或.當或時,三點共線.(2),..當時,即,