高中數(shù)學《生活中的優(yōu)化問題舉例》導學案

,[?FBI第三章導數(shù)及其應用

DISANZHANG3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

卜課前自主預習

H基礎導學

i.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常

稱為國」尤化問題.通過前面的學習，我們知道圖導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠?/p>

力工具，運用國導數(shù),可以解決一些生活中的國優(yōu)化問題.

2.解決實際應用問題時，要把問題中所涉及的幾個變量轉化成/一函數(shù)關系

式，這需通過畫分析、聯(lián)想、抽象和轉化完成.函數(shù)的最值要由近極值和端點

的函數(shù)值確定,當定義域在園.開區(qū)間上場只有一個極值時,這個極值就是它的

最值.

3.解決優(yōu)化問題的基本思路

優(yōu)化問題------->用函數(shù)表示的數(shù)學問題

優(yōu)化問題的答案卜—I用導數(shù)解決數(shù)學問題

上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的因數(shù)學建模過程.

3］知識拓展

解決生活中的優(yōu)化問題應當注意的問題

(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際

意義的值應舍去.

(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點滿足f(x)=0的情

形.如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，我們可直接判斷這就是

最大(小)值.

(3)在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系

表示，還應確定出函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間.

自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)實際問題中列出函數(shù)模型后，其定義域上需函數(shù)關系式本身有意義即

可.()

(2)實際問題中(x)=0只有一個解且是極值點時，它就是7U)的最值

點.()

答案(l)x(2)7

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤M單位：萬元)與年產(chǎn)量式單位：萬件)的函數(shù)關

系式為丫=一|?+8支—234,則使該廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為.

(2)已知某矩形廣場面積為40000平方米，則其周長至少為米.

答案(1)9(2)800

卜課堂互動探究

探究1面積、容積的最值問題

例1用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四

個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90。，再焊接而成(如圖)，問該容器

的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

[解]設容器的高為光cm,容器的容積為V(x)cn?,

貝IV(x)=x(90-2x)(48-2x)=4?—276*+4320x(0a<24),

V'(x)=l2X2-552X+4320=12(?-46x+360)=12(x-l0)(x-36)(0<x<24).

令V'(x)=0,解得修=10,M=36(舍去).

當0a<10時，Vz(x)>0,V(x)是增函數(shù)；

當10<x<24時，V(x)<0,V(x)是減函數(shù).

因此，在定義域(0,24)內(nèi)，只有當x=10時函數(shù)V(x)取得最大值，其最大值為

V(10)=10X(90-20)X(48-20)=19600.

故當容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積是19600cn?.

拓展提升

在求面積、容積最大值問題時，要注意充分利用幾何圖形，建立數(shù)學模型，

列出函數(shù)關系式，再利用導數(shù)計算，但一定要注意自變量的取值范圍.

【跟蹤訓練1]用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果

所制容器的底面的一邊長比另一邊長長0.5m,那么高為多少時，容器的容積最

大？并求它的最大容積.

解設容器底面一邊長為xm,則另一邊長為(x+0.5)m,高為

14.8—4x—4(x+0.5)

-------------------------=(3.2-2x)m.

[3.2—2x>0,

由1八

,x>0,

解得Oavl.6.

設容器的容積為

則y=x(x+0.5)(3.2—2x)=—2x3+2.2x2+1.6x,

所以y，=-+4.4JC+1.6.

令y'=0,則15/一1卜一4=0,

4

解得X］=l,X2—一記(舍去).

在定義域(0,1.6)內(nèi)只有x=\使y'=0,x=\是函數(shù)y=-29+2.力？+1.6工

在(0,1.6)內(nèi)的唯一的極大值點，也就是最大值點.

因此，當x=l時，y取得最大值，ymax=-2+2.2+1.6=1.8,這時高為3.2

-2Xl=1.2(m).

故高為1.2m時，容器的容積最大，最大容積為L8n?.

探究2費用(用材最省問題)

例2某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的

中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為瞥1立方米，

且/22「.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建

造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元.設該容器的建造

費用為y千元.

(1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域;

(2)求該容器的建造費用最小時的r.

［解］(1)設容器的容積為V.

由題意知V=Tirl+^7lP.

80兀

又v=

由于/22r,即老?-r)?2r,因此0<r<2.

所以建造費用y=IjiriX3+4nrc

=2"義｛號一，X3+4兀Jc

因此y=4兀(c-2)/+?:叫0<rW2.

160兀

(2)由(1)得<=8兀(0一2?

8兀（c—2y3_里）

Vc-1）'0<rW2.

由于c>3,所以c—2>0.

20

當時，

c-2'

20

令A_2=m,貝?"?>0?

所以y=7（r—機）（廠+nn+m

9

①當0<加<2,即c>/時，當r=m時，y'=0；

當rG（0,/”）時，y'<0；當rW（zn,2］時，y'>0.

所以廠=旭=韭鷲是函數(shù)V的極小值點，也是最小值點.

9

②當〃［22,即3<cW］時，

當「6(0,2］時，>'W0,函數(shù)單調(diào)遞減.

所以r=2是函數(shù)y的最小值點.

9

綜上所述，當3<cW］時，建造費用最小時r=2；

當c垓時，建造費用最小時

拓展提升

解決實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等問題，需要

求相應函數(shù)的最小值，此時根據(jù)/'(x)=0求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍去不

合適的極值點)后，判斷函數(shù)在該點附近滿足左減右增，則此時的極小值就是所求

函數(shù)的最小值.

【跟蹤訓練2】要建一個圓柱形無蓋的糧倉，要求它的容積為500m3,問

如何選擇它的直徑和高，才能使所用材料最?。?/p>

解設直徑為dm,高為。m,表面積為Sn?,

由尊2兀%=50。，得仁翠，

故S=(^2兀+而/j=^+^^(d〉o),

2000,nd,八、

s'~~cp_+2(/d>°)，

令S'=0,得4=1點（23

此時〃=5、*

時,S,；

當0<J<10\3<0

3［時，

當d>\S,>0,

時，

當d=lO\2s取得最小值.

：.當4=10^（m時，用料最省.

nm，h=5\

探究3利潤最大（成本最低）問題

例3某生產(chǎn)飲料的企業(yè)擬投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，

3x+1

預計年銷量。（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關系為。=工釘（x20）,已知生

產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元.若每件

產(chǎn)品售價為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之

和.

（1）試將年利潤六萬元）表示為年廣告費M萬元）的函數(shù)，如果年廣告費投入100

萬元，企業(yè)是虧損還是盈利？

（2）年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？

［解］（1）由題意，每年銷售。萬件，共計成本為（32Q+3）萬元.

銷售收入是（32Q+3>150%+匯50%,

所以年利潤y=（年收入）一（年成本）一（年廣告費）

=；(32Q+3—X)=T(32.3x+1

E+3f

—x2+98x+35

-2(x+l)(%^0),

2

_r_i_QQr_|_aC

所以所求的函數(shù)關系式為y=—亞司一（x20）.

當x=100時，y<0,即年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損.

/—X2+98X+35

（2）令y=/U）=-2（X+1）一（x2°），

省,，，、(-2x+98)-2(^+l)-2(-?+98x+35)

侍/(幻=記切

-X2-2X+63

=2(X+1)2?

令/'(x)=0,即*+2x—63=0.

所以x=-9(舍去)，x=7.

又當xe(0,7)時，f(x)>0；

當xE(7,+8)時，f(%)<o,

所以/(尤)相大值=八7)=42.

又人幻在(0,+8)上只有一個極值點，

所以/(九)max=/(X)極大值=負7)=42.

所以年廣告費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大.

拓展提升

1.經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法

經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自

變量很容易建立函數(shù)關系，從而可以利用導數(shù)來分析、研究、指導生產(chǎn)活動.(關

鍵詞：以產(chǎn)量或單價為自變量)

2.關于利潤問題常用的兩個等量關系

(1)利潤=收入一成本；

(2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤X銷售件數(shù).

【跟蹤訓練3】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品

的價格P(元/。之間的關系式為尸=24200一$2,且生產(chǎn)宜產(chǎn)品的成本為火=50000

+200工間該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？

(利潤=收入一成本)

解每月生產(chǎn)xt的利潤為

段)=(24200一家｝—(50000+200%)

13

=-p：3+24000x-50000U>0).

3

由/'(x)=-^2+24000,

令/'(x)=0,解得修=200,念=一200(舍去).

因為7U)在［0,+8)內(nèi)只有一個點x=2oo,使/(x)=o,

所以x=200就是最大值點，且最大值為

/200)=-1x(200)3+24000X200—50000=3150000(元).

所以每月生產(chǎn)200t產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元.

1

f----------------------1邸罐弁---------------------

利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟

解決優(yōu)化問題的方法很多，如：平均不等式法、線性規(guī)劃方法及利用二次函

數(shù)的性質等.不少優(yōu)化問題，可以化為求函數(shù)最值問題.導數(shù)方法是解決這類問

題的有效工具.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟是：

(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問

題中變量之間的函數(shù)關系y=/U)；

(2)求函數(shù)的導數(shù)f(x),解方程/'(x)=0；

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使/'(x)=0的點的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大

(小)值.

卜隨堂達標自測

1.把一段長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩

個正三角形面積之和的最小值是()

cm2B.4cm2

C.3啦cm2D.2小cm2

答案D

解析設一段為x,則另一段為12—x(0<r<12),

rl1「X%S,1(12—小

貝"^)=2X[VX2+2Xl^-/X2

：.S'>4

令S'(x)=0,得x=6,

當xW(0,6)時，S'(x)<0,當xW(6/2)時，S'(x)>0,

...當x=6時，S(x)最小.

/.SminX^X62—1x6+16j=2小(cm?).

2.某箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)=x2代習

(0令<60),則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為()

A.30B.40C.50D.其他

答案B

3

解析V'(x)=60x—2%2=0,X=0或X=40.

X(0,40)40(40,60)

V(X)+0—

V(x)極大值

可見當x=40時，V(x)達到最大值.

3.某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出

(200—x)件，當每件商品的定價為元時，利潤最大.

答案115

解析設利潤為S(x)元，則S(x)=(x—30)(200-%)=-/+230x—

6000(30WxW200),S'(x)=-2x+230,由S'(x)=0得x=115.當30〈x<115時，

S'(x)>0；當115<rW200時，S'(x)<0.所以當尤=115時，S(x)取得最大值.故當

每件商品的定價為115元時，利潤最大.

4.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，

一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=

噸.

答案20

解析設該公司一年內(nèi)總共購買〃次貨物，則〃=￥，

二總運費與總存儲費之和ZU)=4〃+4x=*見+4x(0aW400),

令，(x)=4—斗?^=0,解得x=20,尤=20是函數(shù)的最小值點，故尤=20

時，段)最小.

5.如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個占地面積為2400n?的矩形休閑廣場，按

照設計要求，休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之

間是道路(圖中陰影部分),道路的寬度均為2m.怎樣設計矩形休閑廣場的長和寬，

才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出最大面積.

解設休閑廣場的長為xm,則寬為等m,綠化區(qū)域的總面積為S(x)n?.

f2400八(，八，2400、

貝S(x)=(x—61一^——4J=2424-^4A%+6X-y-J

(.3600、

=2424—4卜+—尢￡(6,600).

:㈤⑴一｛1-*=-1+：泮-60),

4S'(x)<0,得60Vx<600；令S(x)>0,得6Vx<60.

二S(x)在(6,60)上是增函數(shù)，在(60,600)上是減函數(shù)，

...當x=60時，S(x)取得極大值，也是最大值，

，Sa)max=S(60)=1944.

二當休閑廣場的長為60m,寬為40m時，綠化區(qū)域的總面積最大，最大面

積為1944m2.

卜課后課時精練、

A級：基礎鞏固練

一、選擇題

1.某公司的盈利y(元)和時間M天)的函數(shù)關系是y=/(x),假設./(x)>0恒成立,

且/'(10)=10,(20)=1,則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()

A.公司己經(jīng)虧損

B.公司的盈利在增加，且增加的幅度變大

C.公司在虧損且虧損幅度變小

D.公司的盈利在增加，但增加的幅度變小

答案D

解析導數(shù)為正說明盈利是增加的，導數(shù)變小說明增加的幅度變小了，但還

是增加的.

2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本

增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量M04W390)的關系是H(x)=一而+

400x（0^x^390）,則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是（）

A.150B.200C.250D.300

答案D

解析由題意可得總利潤P（x）=一赤+300x-20000,0WxW390,所以P'（x）

=-300+300,由P，（幻=°，得尤=300.當0Wx<300時，P'（無）〉0,當300<rW390

時,P'（x）<0,所以當x=300時,P（x）最大.

3.一點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過，秒運動的距離為s=54一|尸+2人

那么速度為零的時刻是（）

A.1秒末B.0秒

C.4秒末D.0」,4秒末

答案D

解析s'=?—5?+4r,令s'=0,得八=0,亥=1,白=4,故選D.

4.設有一個容積V一定的鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的

價格是鐵的3倍，當總造價最少時，桶高為（）

13/2V13l~V

A

-rV^B-2

答案C

解析設圓柱形鐵桶的底面半徑為r,高為加總造價為y,單位面積鐵的造

價為a,貝！］丁=兀，?3。+兀,?“+2兀M+引，則<=*-的

>0,故尸

+co上單調(diào)遞增.故當r

/

=奴用時，y最小，即總造價最少，此時桶高人=2、^.故選C.

5.設底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面邊長

為（）

A.折B.^/2VC.yfAVD.2y/v

答案C

解析設底面邊長為X,高為力,

.4V4V3V

..4—,?”-莉-

?一0立24,_^3,4-V3V

??S表一2,4%+3x,h—2x2十](x>0).

S'(%)=5》—耳把，令S'(x)=0可得Sx=4gv,X3=4V,x—yfAV.

當0<r(而>時，S'(x)<0；當%>迎>時，S'(x)〉0,

,當％=寺而時S(x)最小.

6.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm,要使其體積為最大，則高為

()

?巫?l(h/3-16^^20\/3

A.cmB.-cmC.-cmD.-cm

答案D

解析設圓錐的高為X,則底面半徑為十202—d,

其體積為V=|TT4202-?)(0<X<20),

V=|TI(400-3X2),令V=0,

20^32Oj3

解何光1一3，處—一3(舍去),

當0令〈粵^時，V'>0；

當幺乎令<20時，V<0；

.?.當》=邛時，V取最大值.故選D.

二、填空題

7.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關系式為y=-/+27x

+123(x>0),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為百萬件.

答案3

解析依題意得，y'=-3X2+27=-3(X-3)(X+3),當0令<3時，y'>0；

當x>3時，了<0.因此，當尤=3時，該商品的年利潤最大.

8.要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72cn?,其底面兩鄰邊

長之比為1：2,則長為,寬為,高為時，可使表面積

最小.

答案6cm3cm4cm

72

解析設底面兩邊分別為xcm,2xcm,高為ycm,則72=2x2）,所以

=7,所以表面積S=2（2f+孫+與）=4/+6孫=4/+~^—.所以S'=8x—qr,

令S'=0得x=3.經(jīng)檢驗長為6cm,寬為3cm,高為4cm,箱子表面積最小.

9.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10

km/h時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，當行

駛每千米的費用總和最小時，此輪船的航行速度為.

答案20km/h

解析設輪船的速度為xkm/h時，燃料費用為Q元，則。="3//0）.

因為6=%X1（?,所以左=病，所以。=病人,3.

所以行駛每千米的費用總和為

y=（嘉,+96）+=松+2受（*>0）.

396

所以<=海工-7■?令<=0，解得x=20.

因為當x￡（0,20）時，>'<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當x￡（20,+8）時，y'>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當x=20時，y取得最小值，

即此輪船以20km/h的速度行駛時，每千米的費用總和最小.

三'解答題

10.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為（單位:

m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的總面積為8m2,問：x,y分別是

多少時用料最?。浚ň_到0.001m）

1Y

解依題意，有xy+]x5=8,

2

8—工

48x

-彳（《<4也r）,

于是框架用料長度為

/=2x+2y+2^^)=仔+也｝+當

I'=|+也一￥=0,解得xi=8—4/，必=4"\"一8(舍去).

當(Kr<8—4/時，I'<0；當8—4也<%<46時，V>0,

,當尤=8—4/時，/取得最小值，此時，x=8—46心2.343(m),y=2.828m.

即當x為2.343m,y為2.828m時，用料最省.

B級：能力提升練

1.某公司為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)

查，每年投入廣告費/(單位：百萬元)，可增加銷售額約為一*+5*單位：百萬元,

且04W5).

(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應投入多少廣告費，才

能使該公司由此獲得的收益最大？

(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造.經(jīng)預測，

每投入技術改造費式單位：百萬元)，可增加的銷售額約為一1?+x