高考數(shù)學(xué)數(shù)列難題訓(xùn)練題含答案解析5份

高考數(shù)學(xué)數(shù)列真題訓(xùn)練50題含答案

一、單選題

1.若數(shù)列｛樂｝滿足=9,an_1+n=an+l（n22且neN*）,貝U臂的

最小值為（）

A.\B.-C.-D.|

2.在等比數(shù)列?。小?lt;%<a8=i.則能使不等式a-部+@-J+…+（?n-

W）<o成立的正整數(shù)n的最大值為（）

A.13B.14C.15D.16

3.已知｛an｝滿足an+1=an+2n,且的=32,則智的最小值為（）

A.8V2-1B.等C.挈D.1（）

4.已知Sn為數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和，且即=1,即+1+以=3x2",則Si。。=（）

A.2100-3B.2100-2C.2101-3D.2101-2

5.函數(shù)/（%）=靖+acosx,xe（―zr,+oo）,下列說法不正確的是（）

A.當(dāng)a=l時(shí)，/（%）無(wú)極值點(diǎn)

B.當(dāng)a=-l時(shí)，/（%）存在唯一極小值點(diǎn)

C.對(duì)任意a>0,/（%）在工€（-兀，+8）上不存在極值點(diǎn)

D.存在a<0,/（%）在%€（-兀，+8）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

6.設(shè)數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為S“，且2S"是6和an的等差中項(xiàng).若對(duì)任意的n￡

N*,都有3Sn-*C[s,t],則t-s的最小值為（）.

A.|B.C.1D.1

3426

7.已知在數(shù)列｛即｝中，的=3,ci2=6,且an+2=an+1-an,貝!Ja20i7=（）

A.3B.-3C.6D.—6

8.設(shè)Sn是等比數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和，a”>0,若S6-2S3=5,則S9-S6的

最小值為（）

A.1B.1C.20D.與

424

a111

9.數(shù)列｛a九｝滿足的=z，即+i=成一斯+1,nWN*,則三+以-------的整數(shù)部

X4乙1U乙乙

分是()

A.1B.2C.3D.4

x

10.已知函數(shù)/(x)=e-x-l,數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足%=④，

an+i=/(an)，則下列有關(guān)數(shù)列｛a"的敘述正確的是()

1

A、Q，2>4B.。6V。7

C.Si。。<26D.附>14a2—3ali

二、填空題

11.數(shù)列｛an｝滿足斯+1=『"°彩聽?，且即=與，則

(an一1(。九>1)/

a2017=?

12.在無(wú)窮等比數(shù)列｛%｝中，若lim(cti+a+???+a)=1,則由的取值范圍是_

nT82nO

13.化簡(jiǎn)：(lg2)2+lg2*lg5+lg5=.

14.已知數(shù)列｛an｝滿足臼=1,o九+I=A^T，貝I的=.

23

15.設(shè)即(71=2,3,4,…)是(3-於)n的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，則無(wú)+支+

a2a3

???-j------=_________.

a18

16.若數(shù)列｛a0｝滿足ai=2,a“+產(chǎn)簪(n6N*),則該數(shù)列的前2015項(xiàng)的乘積

aiea2,a3>...a2oi5=?

17.若三個(gè)非零實(shí)數(shù)：x(y-z)、y(z-x)、z(y-x)成等比數(shù)列，則其公比

q=?

18.等差數(shù)列｛a“的前n項(xiàng)和為Sn,a3+a8<0,Sn>0,當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n=.

19.已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，Q1=1,Q九>0,前幾項(xiàng)和為S〃.若斯=yfs^+Js九一1(716

1

N",n>2),則數(shù)列｛不W」｝的前曲項(xiàng)和為

Q〃Q什1

20.記數(shù)列(??｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知匣M±l=cos罷-Sin罷(ne/v*)，且

19

=

m+52oi9-1009,a^m>0,則底+而的最小值為.

21.在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛冊(cè)｝,｛“J分別表

示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：an+1=2an+bn,bn+1=

an+2bn(n=l,2-),描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程.若兩組信息

的初始信息強(qiáng)度滿足的>打，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：

①VneN*,an>bn；

6N*,O.n+l>an>^n+1>^n:

③北€N*,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有|耨-

?3keNf,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有|2*-2|<1()T°.

an

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

22.數(shù)列為｝是公比為q(q*1)的等比數(shù)列，S,為其前n項(xiàng)和.已知由?CI3=16年=12,

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①q<0;

②若存在m使得的,。2，…，火”的乘積最大，則小的一個(gè)可能值是3；

③若存在小使得a-a2,/a?t的乘積最大，則小的一個(gè)可能值是4；

④若存在m使得的，?2,的乘積最小，則m的值只能是2.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

2

23.設(shè)數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為S”，且臼=1,Sn=(2n-n)an(n€N*),貝lj

S2020=?

24.已知數(shù)列｛a。｝中，ai=l且a?產(chǎn)a“+2n+l,設(shè)數(shù)列｛、｝滿足b產(chǎn)a”-1,對(duì)任意正整數(shù)n

111

不等式上+畝+…+由<m均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為.

25.已知數(shù)列｛。九｝與｛“｝滿足冊(cè)+1=3cin,bn=bn+1-1,壇=%=3,若

(2A-l)an>366n,對(duì)一切nCN*恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍

是.

26.數(shù)列｛%｝為1,1,2,1,1,3,1,1,1,1,4,…,前n項(xiàng)和為Sn,且數(shù)列｛冊(cè)｝的

構(gòu)造規(guī)律如下：首先給出%=1,接若復(fù)制前面為1的項(xiàng)，再添加1的后繼數(shù)為2,于

是。2=1，a3=2,然后復(fù)制前面所有為1的項(xiàng)，1,1,再添加2的后繼數(shù)為3,于是

a4=1,a5=1,a6=3.接下來再?gòu)?fù)制前面所有為1的項(xiàng)，1,1,1,1,再添加3的

后繼數(shù)為4....如此繼續(xù).現(xiàn)有下列判斷：

①。3。=6；②S30=40；

③。1034=11；④$2022=2077.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

n

27.已知數(shù)歹!J｛aQ滿足ai=l,an+i+(-l)an=2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則裟整=.

22a

28.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列｛&(｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且nan+1—(n+l)an=ann+i對(duì)

2

任意正整數(shù)n恒成立，若滿足不等式a2_2an<t-2t的正整數(shù)n有且只有兩個(gè)，

則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

29.已知函數(shù)/㈤=3%+與—6,函數(shù)9(久)=電吐1一小，若對(duì)任意修[1,2],存在

XX

X2e[J,e],使得/(Xi)<g(%2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

30.已知直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x.當(dāng)a=-2時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)為；若直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范

圍是.

三、解答題

31.在數(shù)列｛即｝,｛“｝中，a1=b1=l,｛%｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且其前三項(xiàng)

和為《，｛M匕｝為等差數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為9.

住

(1)求｛%｝,｛g｝的通項(xiàng)公式;

(2)求｛八｝的前n項(xiàng)和7n.

n

32.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,bn-an=2+l,且2Sn=/一n.

(1)求數(shù)列｛3｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛。2九+與九｝的前n項(xiàng)和T".

33.等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列出"滿足小=/=1,=14,b2b4=a6,且九>0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知：①勾<1000；②加€N+，使設(shè)S為數(shù)列｛b｝中同時(shí)滿足條

件①和②的所有的項(xiàng)的和，求S的值.

34.已知數(shù)列｛an｝滿足：+a2+a3-I--?-+an=n-an,(n=1,2,3,...).

(1)求證：數(shù)列｛即-1｝是等比數(shù)列;

（2）令b九二（2—n）（an—l）（n=1/2,3,...）,如果對(duì)任意n6/V*,都有bn+

it<t2,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

35.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且ai=2,an+i=Sn+2,n^N*.

求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

36.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a九｝滿足?i=1,an_i-an=0n0n>2）,等比數(shù)列｛bn｝滿

足：藥=b],人2—既二。8?

（1）證明數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)7n=削+盧+…+》，求2,?

anan-lal

37.等差數(shù)列｛%｝（71eN*）中，％,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某

一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（1）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的｛的,a2，a3｝組合，并求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

（2）記（1）中您選擇的｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,判斷是否存在正整數(shù)k,使

得的，ak,Sk+2成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出k的值；若沒有，請(qǐng)說明理由.

38.已知數(shù)列｛a“的前n項(xiàng)和為S”，且m=1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立.

（1）試求當(dāng)ai為何值時(shí)，數(shù)列｛a“是等比數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列口g警｝的前n項(xiàng)和Tn取得最大值.

Qn

39.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝中，a?+a3+a4=21,且a2-1"3+l-a4+a3

構(gòu)成等比數(shù)列｛m｝的前三項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)Cn=a“bn，求數(shù)列｛7｝的前幾項(xiàng)和S”.

40.已知｛即｝為等差數(shù)列，｛%｝為等比數(shù)列，｛%｝的前71項(xiàng)和Sn=3-2n-3,即=比，

+a16=外.

（1）求數(shù)列5｝,｛砥｝的通項(xiàng)公式;

(2)記扇=駕>，求數(shù)列｛0｝的前71項(xiàng)和7”.

41.對(duì)于數(shù)列｛。九｝,記=\o,2—011+|。3-^21+…+|。九一火1-11(九>1，HGN").

(1)若數(shù)列｛5｝通項(xiàng)公式為：0n=l±^l￡(n€N*)，求U(5)；

(2)若數(shù)列｛。九｝滿足：⑥=a,an=b,且a>b,求證：1/(幾)=Q-b的充分必要

條件是。計(jì)1W見。=1,2,…，71—1)；

(3)已知P(2022)=2022,若無(wú)="(%+4---Fat),t=1,2,…，2022.求

僅2~yi\+僅3一+…+僅2022一〉20211的最大值?

42.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx—2V3cos2x+V3.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中a=7,若銳角

A滿足/(紅卷)=b,且sinB+sinC=,求△ABC的面積.

43.已知數(shù)列Q｝中，裝，an+1=2^(neN*).

(1)求證：數(shù)列｛富1｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn+czn=1(九GN),Sn=bib2+b2b3+…+bnbn^,試比較ctn與8Sn

的大小.

44.已知數(shù)列｛Q九｝,其前n項(xiàng)和為Sn,滿足臼=2,Sn=筋。九+〃冊(cè)_1,其中

n>2,nWN*,A,

(1)若2=0,〃=4,bn=an+1-2an(nWN*),求數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)

和；

(2)若。2=3,且4+〃=方，求證：數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列.

45.已知數(shù)列｛。?｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且為=4,a"1+2an+1an—4an+1=3成+12an-

(1)求｛。幾｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛彳)一｝的前n項(xiàng)和為％,求S”的取值范圍.

anan+2

46.已知函數(shù)/(x)=x2-2ax+5(Q>1).

(1)若/(x)的定義域和值域均是[La],求實(shí)數(shù)Q的值;

(2)若/(x)在區(qū)間(一8,2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的xe[l,a+1],都有

/(x)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

X

(3)若g(x)=2+log2(x+1)，且對(duì)任意的xe[0,1],都存在x0E[0,1],

使得/Qo)=g(X)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

47.若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和sn滿足“+1=2S“+n+2(716N*),

且a3+a5=10.

(1)判斷數(shù)列｛a“｝是否為等差數(shù)列？并說明理由；

(2)求數(shù)列｛每1的通項(xiàng)公式；

n

(3)若bn=2an,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和T..

48.已知函數(shù)/(%)對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n都滿足等式/(m-n)+f(m+n)=/(2m),當(dāng)％>0

時(shí)，/(x)<0,月/(2)=-4.

(1)判斷/(無(wú))的奇偶性;

(2)判斷/(%)的單調(diào)性，求/(%)在區(qū)間[-3,5]上的最大值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)于任意的[-1,1]，使得不等式/(x)<a2—

2ab+2恒成立.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

49.數(shù)列｛a/,｛bn｝滿足下列條件：?ai<0,仇>0；②當(dāng)k>2時(shí)，/，瓦

滿足：依-1+公-120時(shí)‘a(chǎn)k=ak-l>氏=。之二，九二1;Ofc-1+bfc-1<0時(shí)，

bk=b/c-i>ak=a.k二I：%二1.

(1)若的=-1,玩=1,求&2，&3，&4和b2,b3,b4的值，并猜想數(shù)列｛%-冊(cè)｝

可能的通項(xiàng)公式(不需證明)；

(2)若的=-1,bA=2019,n是滿足/>電>久>…〉勾522)的最

大整數(shù)，求n的值.

50.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S”，。3=7,S3=5al.

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列口+4｝的前n項(xiàng)和為Tn,用符號(hào)[刈表示不超過x的最大數(shù)，當(dāng)

[邛+莊]+???+["]=52時(shí)，求n的值.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

1L【答案】芋

12.【答案】（0,|）U,|）

13.【答案】1

14.【答案】1

15.【答案】17

16.【答案】3

17.【答案】學(xué)

18.【答案】5

19.【答案】||

20.【答案】16

21.【答案】①②③

22.【答案】①②③

23.【答案】瑞翳

24.【答案】［/+8）

25?【答案】（||,+00）

26.【答案】②③④

27.【答案】1009

28.【答案】(-1,0]U[2,3)

7

29.【答案】(一8,留

30.【答案】2；(-2,2)

31?【答案】(1)解：設(shè)等比數(shù)列｛3｝的公比為q(q>。)，

因?yàn)閿?shù)列也｝的前三項(xiàng)和為京所以必+b2+b3=：=l+q+q2=：=q=；,

或q=—^<0舍去，所以%=($"T，

設(shè)等差數(shù)列｛M匕｝的公差為d,因?yàn)椋?。君工前三?xiàng)和為9,

所以有。1瓦+Q2b2+。3b3=9=l+l+d+l+2d=9=d=2,

所以即"=1+(n-1)-2=2n-1,因?yàn)椤?

所以廝=(2n-l)-2n-1;

n-1

(2)解：由⑴可知:an=(2n-l)-2,

所以=1+3-2+5-22+7?23+-+(2n-1)-2n-1(l),

27^=1-2+3-224-5-234-7-244--+(2n-1)-2n(2),

(1)-(2),得一2=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)-2n,

=一〃=1+2.2(17；1)_(2n-1).2%所以Tn=(2n-3)-2"+3.

32?【答案】(1)解：?.?25日=於一般，.??511=三2，

=Si=0,

當(dāng)幾32時(shí)，an=Sn-Sn_i=n-1,又即=0也滿足，故an=n-1.

n

又勾—%=2"+1,Abn=2+n

(2)解：?Q2n+b2n=2九-1+22"+2/i=4H—1+4",

.F=曄也+隼%n(2…+學(xué)?

33.【答案】(1)解：由等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列｛“｝滿足%=比=1,a2+a4=14,

b2b4=@6，且b九>°，

設(shè)｛冊(cè)｝的公差為d,｛九｝的公比為q,

可得'將代入，解得『二2)由小>°，則取q=2,

n

故0n二3九-2,bn=2~;

rl

(2)解：由%二2"1,bn<1000,令21000，

由于必o=2。=512,=210=1024，故九一149,即幾410,

3mE/V+,使0nl=%,故令3zn-2=2九一1,

則=2“-1+2,由于血，n€N*，

3

故可以看出當(dāng)n=l,3,5,7,9時(shí)，7n=2n；+2成立,

故S=Z)i+無(wú)+生++d=1+4+16+64+256=341.

34.【答案】(1)證明：由題可知：的+4+。3+…+=九—，(D>%+。2+

03---1-an+l=九+1一冊(cè)+1，②

(J)?②可得2an+i-an=1,即：冊(cè)+i-1=；(61九~1),乂的一1二—；,

所以數(shù)列｛冊(cè)-1｝是以-義為首項(xiàng)，以I為公比的等比數(shù)列；

(2)解：由(1)可得斯=1—(今"，??.既=(2-2(即-1)=蒙，

n+l—2n—23—TL

由bn+l-bn=苫甲---尹-=聲I>0可得n<3,由bn+1-bn<0可得n>

2，2

3,

所以b]Vb2Vb3=b4,b4>>bn>???,故bn有最大值b3=h4=i，

111

有

9N*都

+-<c^nG-<--

n4-8-4

成立，

所以t2-1t-1>0，解得t>|或tw—，所以實(shí)數(shù)t的范圍是(一8,-i]u

1

[2'+8)?

35.【答案】解：Van+i=Sn+2,neN*.

??當(dāng)n^2時(shí)，an=Sn-1+2,可得an+i-an=an,化為an+i=2an.

又a2=ai+2,滿足a2=2ai,

數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2.

n

，an=2.

36?【答案】（1）證明：,.?｛即｝各項(xiàng)為正，且an-i-an=anan_1（n>2）,

11

??年一占=l（n22）.

anan-1

...｛a｝是公差d=1，首項(xiàng)1的等差數(shù)列.

,*=n，則與4'

2

設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為q,則比=4,b2-b3=bAq-q）=l-

故q_q2=1解得q另，故"=%q"T=去

⑵解：7n=*+占+…+號(hào)+^+…+方?①

2"=n+?+旨+…+?②

2

②一①：rn=n-（1+^+^+-++^）=n-i_f=n-1+

37?【答案】（1）解：由題意可知：有兩種組合滿足條件：

①的=8,a2=12,a3=16,此時(shí)等差數(shù)列｛aj,%=8,d=4,

所以其通項(xiàng)公式為an=4n+4.

②的=2,a2=4,a3=6,此時(shí)等差數(shù)列｛%｝,%=2,d=2,

所以其通項(xiàng)公式為On=2n.

2

（2）解：若選擇①，Sn=2n+6n.

22

則Sk+2=2（k+2）+6（k4-2）=2k+14k+20.

2

若的,ak,Sk+2成等比數(shù)列，則ak=at-Sk+2，

即（4k+4）2=8（2/+14k+20）,整理，得廿+2k+1=廿+7k+10,即5k=

—9,

此方程無(wú)正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)k,使內(nèi),ak,Sk+2成等比數(shù)列.

2

若選則②，Sn=n+n,

則Sk+2=（k+2）2+（k+2）=必+5k+6,

若巴,ak,Sk+2成等比數(shù)列，則ak2=a「Sk+2，

即（2k）2=2（公+5k+6），整理得/c2-5/c-6=0，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k=6.

故存在正整數(shù)k=6,使%,ak,Sk+2成等比數(shù)列.

38.【答案】（1）解：由an+i=l+Sn得:當(dāng)吟2時(shí)，an=l+Sn-B兩式相減得:an+i=2anj

?.?數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，，a2=2ai,

又,.?a2=l+Si=l+ai,解得：ai=l.

n-1

得：an=2

(2)解：均4嘿00=①400端，可知數(shù)列｛ig4喑00｝是一個(gè)遞減數(shù)歹U,

xx

UJI2"2"

?7400、7400、,400、、,400、、,400、

?處>s/>ig3>°n>ig干〉…

由此可知當(dāng)n=9時(shí),數(shù)列。。誓｝的前項(xiàng)和Tn取最大值

39.【答案】(1)解:因?yàn)閿?shù)列｛&J為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,

所以。2+。3+。4=3a3=21,

即得=7,

設(shè)公差為d,則有a2—1=&3-d—1=6—d,(13+1=8,

。4+。3=。3+d+。3=14+d,

又因?yàn)椤?-1，。3+1，。4+。3構(gòu)成等比數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)，

2

所以Q+I)=(a2—1)?Q+。3)，即64=(6—4)(14+d),

解得d=2或d=-10(舍去)，

_

所以cii=a32d=7—4=3,

所以數(shù)列｛an｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

故得a”=2n+1,

由題意得，比=a2—1=4,￡?2=+1=8,

所以數(shù)列｛%｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故既=4?2吁1=2n+1

n+1

(2)解:設(shè)q=anbn=(2n+1)-2?

則S”=3-224-5-23+7?24+???+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1?.

在上式兩邊同時(shí)乘以2得，

34n+1n+2

2Sn=3-2+5?2+…+(2n-1)-2+(2n+1)-2,(2),

①-②得，

234n+2

-Sn=3-2+2(2+2+…+2。+1)-(2n+1)-2,

=-4+(1-2n)-2n+2,

所以Sn=(2n—l)-2n+2+4

40.【答案】⑴解:設(shè)｛an｝的公差為d,｛既｝的公比為q,

由已知可得比=3,b2=S2-S1=9—3=6,則q=*=2,

即勾=biqnT=3x271T=3?271T.

?a1=bi,??=3,

又?:a74-a16=65=48,

/.a7+a16=2al4-21d—6+21d=48,解得d=2,即冊(cè)=3+2（n—1）=2n+1.

（2）解：由（1）知。=爺N=^^1，

令7n=|（1+|+/+…+*>/f）①,

①式兩邊同乘號(hào)得：打n=|8+*+W_1--卜+令）②,

錯(cuò)位相減得:7\=|（1+,+也+今+“,+一袋）=WK4）一袋］

則Tn=g（2一第.

71

41?【答案】（1）解：由通項(xiàng)公式冊(cè)=1+（］）（九GN*）得：即=0,4=L。3=。，

。4=1,。5=0.

所以，（5）=\0,2—+|。3—+1。4—+1。5—^4I=1+1+1+1=4

（2）證明：充分性：若數(shù)列｛Qn｝的前n項(xiàng)單調(diào)不增，即時(shí)W…工做工的.

此時(shí)有：V（n）=\ai+l~ai\=（。1-a2）+（。2—。3）+（。3—。4）T---卜（fin-l-

an）=Q］_Q九=Q_b.

必要性:用反證法.若數(shù)列｛Q九｝不滿足a+1工a（￡=1,2,…,九一1）,則存在k（iw

k<n-l）,使得的+i>akf那么1/（九）=R+i-=2仁f\ai+1-at\+\ak+1-

ak\+Yd=k+1\ai+l~ai\

aa

>\ak-ar\+（afc+1-aQ+\n-k+i\

\\an一Qi+以一Q/c+11+（以+1—Qk）

>\a-b+ak+1-ak\+（ak+1-ak）

由于。攵+1>幺，a>b,所以|a-b+以+i-以I+（以+i—以）>a—b.與已知P何）=

a-b矛盾

所以，假設(shè)不成立，必要性得證.

綜上所述：V(n)=a-b的充分必要條件是q+iWa/i=1,2,???,n-1)

(3)解：由兒=]+U-2+…+a。，t=1,2,…，2022,令%=+。2+…

+cik),k=1,2,…，2021>則九+i='+](幻+0-2+%+1).

所以

1

\yk+i-yk\I-(a2-al)-2(a3-a2)---------k(ak+l-afc)l

k(k+l)

1

Wk(k+])(出-aj+21cl3-a2\+"■+k\ak+i-afcl)

11

a

=與一1+-il+21a3-a2\+???+k\ak+1-ak|)

所以1丫2-yil+"3-yzl+…+僅2022一丫20211=Sk=VWk+l~7/cI

111

w(1-2升。2-a/+(2-o)(la2-ail+21a3-a2l)+

11

■+(2021~2022■)(102-all+21a3-al\T------卜2021—2022-a2021l)

111

ail+xFX2022-a2il-01

=|a2-221a3-a2|H------2Q2120211a202022(出一1

4-2|a3-a2|d------1-2O21|a2o22一?202il)

<2022-2^22|2022|=2021.

aaaaa

(因?yàn)榈?—Oil+21a3—a2\+----卜2021|a2O22-2021l-\2~ll+l3-2\+----F

la2022—a20211=2022)

當(dāng)且僅當(dāng)|。2—a/=2022,。2==…=。2022=0時(shí)，僅2—yj+僅3—42|+…

+僅2022一丫2。211取得最大值2021.

42.【答案】(1)解：f(x)=2sinxcosx—2V3cos2x+V3=sin2x—V3cos2x=2sin(2x

-三)

3)9

因此f(x)的最小正周期為T=竽=兀

由2k兀一￡<2x—今<2kn+*(keZ)得k?r—金<x<k?r+招,kGZ,

即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為曲一令，k兀+駕](kGZ).

(2)解:由f(紅看)=2sin[2(.+J]=2sinA=V3,又A為銳角，則A=

TC

3，

由正弦定理可得2R=薪=.=居，sinB+sinC=舞=喈，

則6+。=騫?孕=13,由余弦定理可知，cosA=廬+02_。2=(6+靖一2瓦一。2

14行2bc2bc

_1

一2'

可求得bc=40,再由SAABC=^bcsinC，得SAABC=10V3.

43.【答案】⑴解：?.&，*1=另-(n€N*),

1=-4]=]_2_.幾=]_1口口11《

???向一1-S九+1—1一-Qn-l一Q九一1，即時(shí)+「「京T?

...匕當(dāng)｝是首項(xiàng)為一4,公差為一1的等差數(shù)列.

從而_1=_n_3=斯=1一急

(2)解：?.”“+%=l(n€N*),由(1)知的=1一缶.

Abn=^+3>bkbM=k+3~k+4(卜=123,

?$=*2+b2b3+-+bnbn+1=-1)+(1-1)+(1-7)+…+(+-亳)=

11

廠市，

?

而8Sn-an=8(1-+)一(1一+)=(n+3)(n+4)'

...當(dāng)n=1,2時(shí)'有(n&(*4)<。氏<an;

n2_o

當(dāng)nN3時(shí)’有(n+3)(n+4)>°'8Sn>an

44.【答案】(1)解：Sn=4冊(cè)_1,所以Sn+1=4an.兩式相減得Sn+1-Sn=4an-

4%i—i?

即an+1=4an-40nt

所以Qn+1-20n=2(an-2an_D,即刈=241T,

又S2=4al=8,所以做=$2—%=6,得比=勾—2al=2

n

因此數(shù)列｛匕｝為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.bn=2,前n項(xiàng)和為2"1-2

(2)證明：當(dāng)n=2時(shí)，$2=2入。2+，所以3+2=64+2〃.又2+〃=微，

可以解得2=3，4=1所以an-t,Sn+i=^^冊(cè)+1+Q…兩式相減

得%+1=、彳1Qn+1—1斯+斯-Q九_(tái)1即n2^an+l=~2~an+an-l,猜想。九=九十

1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=l或2時(shí)，%=2=1+1,做=3=2+1,

猜想成立；(2)假設(shè)當(dāng)n<k(kEN*,k>2)時(shí)'ak=k+1成立則當(dāng)n=k+1

時(shí)，tt/c+i—(-2~ak+a/c-i)—(~2~(fc+1)+fc)=fc+2猜想成乂?

由①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n,an=n+l.

所以an+1-an=l為常數(shù)，所以數(shù)列｛%J是等差數(shù)列.

45.【答案】(1)解：因?yàn)槌?i+2an+1an-40n+i=3欣+12an,

2aa

所以成+i+n+in-3a2=4an+1+12an

所以(a九+i—。九)(。九+1+3an)=4(an+］+3M)，

因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù),即+i+3an>0,

所以即+i—Qn=4,

所以數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，

an=4+(九—1)x4=4幾,

所以數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為即=4n(nGN*).

(2)解：因?yàn)槠?47i(nWN*)

1_1__l_11、

r"rp^lanCln+2-4nx4(n+2)-16yn(n+2)~32mn+2)'

川k_1n1.11、

WJSn=32(l-5+2-4+3-5+-+^-ra+--^)

1111

=32(1+2-^+l-^+2)

3111

二的_亦帝+用》

因?yàn)?16N*,故n一+1H九+2>0?

所以Sn<又a九>0,所以SnNSi=焉,

所以5?的取值范圍為點(diǎn)給.

46.【答案】(1)解：：/(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2)

.,./(%)在(-co,a］上單調(diào)遞減，又a>1,.../(%)在［La］上單調(diào)遞減，

.(/⑴—a?(1—2a+5=a-_o4

??1(a)=「F-2a2+5=l'n/4

(2)解：?.?/(%)在區(qū)間(一8,2]上是減函數(shù)，...(-8,2]C(-00,a],：.a>2

11—a\>|(a+1)-a|,f(1)>/(a+1)

.,.xe[La+1]時(shí)，/(x)max=/(l),

又?.?對(duì)任意的xe[1,a+1],都有f(x)<0,

/./(I)<0,即1-2a4-5<0,也就是a23

綜上可知a238

X

(3)=2+log2(x+l)在[0,1]上遞增,/(x)在[0,1]上遞減，

當(dāng)％e[0,1]時(shí),g(x)e[1,3],f(x)e[6-2a,5]

?.?對(duì)任意的xG[0,1],都存在x0e[0,1],使得/(的)=9(乃成立

.,.[1,3]￡[6-2a,5]

6—2a<1,所以aN,

47.【答案】(1)解：因?yàn)閃+i=2Sn+n+2，當(dāng)nN2時(shí)，冠=ZS-i+(n-1)+2,

2

兩式相減得W+i—成=2an+1,即a"1=碎+2an+1=(a?+l).

因?yàn)閍">0，所以a4+i=cin+1,即%1+1-=1?

所以，當(dāng)n22時(shí)，｛an｝是公差d=1的等差數(shù)列.

因?yàn)閍3+a5=10,所以a4=5,所以a2=3.

當(dāng)n=1時(shí)、?2=2?i+1+2,所以刈=3.

因?yàn)椤?—=0于1，

所以數(shù)列不是等差數(shù)列.

(2)解：由(1)知：數(shù)列｛時(shí)｝從第二項(xiàng)開始是等差數(shù)列，當(dāng)7122時(shí)，斯=71+1,

Q77=1

所以數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式冊(cè)="'

九+1,n>2.

n6,n

(3)解：bn=2dn=i

((n+l)2n,n>2.

23n-1n

當(dāng)n之2時(shí)，rn=6+3-2+4-2+-+n-2+(n+1)-2,①

27^=12+3-23+4-24+???4-n-2n+(n+1)-2n+1,(2)

34n+1

②-①，WTn=-6-(2+2+???+2")+(n+1)-2

nn+1

=(n+1)-2+i/七言2)-6=n?2+2?

n+1

當(dāng)n=l時(shí)，Ti=6,滿足上式，所以Tn=n-2+2.

48.【答案】(1)解：取m=n=0,則/(0)=2f(0),

.,./(0)=0,

取m=0,n=x,則f(x)+/(—x)=f(0)=0,

/./(-x)=—f(x)對(duì)任意xGR恒成立，

.../(%)為奇函數(shù)；

(2)解：任取41，x2e(-00,+8)且久2<%1，則％1-久2>0，

因?yàn)?(m-n)+f(m+n)=/(2m),故/(2m)-f(m+n)=f(m—n),

令m=,,n=%2一斗，則有/QL)-f(￥+*2-?)=f(乎-"2+爭(zhēng))'

即fOi)-/(x2)=/(%i-x2),

Vx>。時(shí)，/(x)<0,

故-x2>0時(shí)，f(xx—x2)<0,

'-f(%2)<

故f(x)為R上的減函數(shù).

???xG［-3,5］./(x)</(-3),

Vf(m—n)+f(m+n)=/(2m),/(2)=—4,

令6=1,n=0，則/'(1)+/(1)=/(2)=-4,故f(l)=-2,

因?yàn)?/p>

令m=l,n=2，則f(l-2)+/(l+2)=/(2),即f(—1)+”3)=/(2)=-4,

由(1)知：f(x)為奇函數(shù),故/(-I)=一/(1)=2,

故2+f(3)=—4,解得：〃3)=-6,

故f(-3)=-/(3)=6,

故/'(X)在［一3,5］上的最大值為6；

(3)解：???/(%)在［一1,1］上是減函數(shù),

/./(%)</(-1)=-/(1)=2,

V/(x)<a2-lab4-2,對(duì)所有％W[-1,1],bG[—1,1]恒成立.

：.a2-2ab+2>2,VbG[-1,1]恒成立；

即a?-2ab>0,\fb6[-1,1]恒成立，

令。㈤…則喘）即｛駕痘。°,

解得：a>2或Q<-2.

???實(shí)數(shù)a的取值范圍為(—8,-2)U(2,+8).

49.【答案】(1)解：的=-1,比=1,故%+/=0,

，均=-1，b?=—=。，。2+力2=-1V0，

%=82=0，的=i=—^<0,

???力4=b3=0，04=