高中數(shù)學(xué)函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)一輪復(fù)習(xí)微專題（文科）

—函數(shù)的零點(diǎn)（2課時）

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中起聯(lián)接和支撐作用的主干知識，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

其知識、觀點(diǎn)、思想和方法貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過程，同時也應(yīng)用于幾何問題的解決.因此,

在高考中函數(shù)是一個極其重要的部分，而對函數(shù)零點(diǎn)的復(fù)習(xí)則是高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的重頭戲.

一、考情分析

（一）考綱要求（2016年）

知識要求

內(nèi)容

了解（A）理解（B）掌握（C）

函數(shù)的要素了解

函數(shù)的定義域和值域會求

映射了解

函數(shù)的表示方法選擇

函數(shù)分段函數(shù)了解簡單應(yīng)用

單調(diào)性及其幾何意義理解

最大值、最小值及其幾何意義理解

奇偶性的含義了解

函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用研究

指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景了解

有理指數(shù)幕的含義理解

實(shí)數(shù)指數(shù)基的意義了解

指數(shù)函

暴的運(yùn)算掌握

數(shù)

指數(shù)函數(shù)的概念理解

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性理解

指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)掌握

對數(shù)的概念理解

對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)理解

換底公式知道

對數(shù)函對數(shù)函數(shù)的概念理解

數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性理解

對數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)掌握

指數(shù)函數(shù)y="與對數(shù)函數(shù)

y=log“x互為反函數(shù)（a>0,了解

且4W1）

累函數(shù)嘉函數(shù)的概念了解

知識要求

內(nèi)容

了解（A）理解（B）掌握（C）

23

基函數(shù)丁二%,y=xfy=x9

y=~,y=/的圖象及其變化了解

X

函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系了解

函數(shù)與

一元二次方程根的存在性及根

判斷

方程的個數(shù)

用二分法求相應(yīng)方程的近似解能求

指數(shù)、對數(shù)及基函數(shù)的增長特

函數(shù)模了解

征

型及其直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增

知道

長等不同函數(shù)類型增長的含義

應(yīng)用

函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用了解

2016年全國新課標(biāo)數(shù)學(xué)（文）學(xué)科大綱和2015年對比沒有變化.2016年高考數(shù)學(xué)全國

卷（I）,貫徹《2016年全國統(tǒng)一高考考試大綱》基本要求，一如既往保持了新課標(biāo)高考卷整

體穩(wěn)定、適度創(chuàng)新的風(fēng)格，重視考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，兼顧對各考點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法和

能力的考查，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，試卷梯度明顯，有良好的區(qū)分度.

（二）試題分析

近三年新課標(biāo)全國卷（文）對本專題的考查統(tǒng)計(jì)如下:

年份題號題型分值考查知識點(diǎn)比例難度

5選擇題5抽象函數(shù)奇偶性的判斷易

12選擇題5函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像難

201418%

15填空題5分段函數(shù)、解不等式中

函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等

21解答題12難

式有解問題的處理

10選擇題5分段函數(shù)的正向求值與逆向求值中

對稱問題中函數(shù)解析式的求法，指數(shù)式

12選擇題5難

與對數(shù)式的互化

201518%

14填空題5導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程易

零點(diǎn)的判斷、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性及

21解答題12難

最值中的應(yīng)用、均值不等式

8選擇題5對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、不等式的性質(zhì)中

9選擇題5函數(shù)圖像和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中

2016函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、18%

12選擇題5難

三角函數(shù)

21解答題12函數(shù)零點(diǎn)、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用難

根據(jù)上表可以看出新課標(biāo)全國卷（文）在本專題中的命題特點(diǎn)如下:

(1)從考查要求來看：不僅有基本知識、基本方法、基本技能的考查，更有數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本

質(zhì)的考查.

(2)從考查題型和難度來看：新課標(biāo)卷在函數(shù)方面占27分，題目基本穩(wěn)定在“三小一大”

的格局上，其中小題平均難度適中，解答題難度很大，比較穩(wěn)定的采用導(dǎo)數(shù)壓軸.

(3)從考查內(nèi)容來看：小題考點(diǎn)可總結(jié)為七類：一是分段函數(shù)，二是函數(shù)的性質(zhì)，三是基

本函數(shù)，四是函數(shù)圖象，五是方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))，六是函數(shù)的最值，七是函數(shù)與導(dǎo)數(shù).解

答題主要是利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)、方程和不等式等問題，有一定的難度.常見的考點(diǎn)可分為六

個方面，一變量的取值范圍問題，二證明不等式的問題，三方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))問題，

四函數(shù)的最值與極值問題，五導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題，六恒成立與存在性問題.

(4)從考查思維和能力來看：既考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，又考查運(yùn)算能力和

數(shù)據(jù)處理能力.

(5)從考查的數(shù)學(xué)思想方法來看：分類討論思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形

結(jié)合思想、整體代換思想、極端化思想、建模思想

如：分段函數(shù)問題、判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題常與分類討論思想相結(jié)合，

有關(guān)函數(shù)與方程的相關(guān)問題常涉及函數(shù)與方程思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，研究函數(shù)的圖象問題和

基本函數(shù)的性質(zhì)時常利用數(shù)形結(jié)合思想等.

(三)命題趨向

(1)題量穩(wěn)定，題型不變，小題平均難度適中，解答題難度很大，導(dǎo)數(shù)壓軸；

(2)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、分段函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)依然是考查的重點(diǎn)；

(3)可能會有與其它章節(jié)交匯知識點(diǎn)的考查，如：函數(shù)與三角函數(shù)、函數(shù)與不等式、函數(shù)

與數(shù)列、函數(shù)與解析幾何等交叉滲透的綜合性問題；

(4)壓軸題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)、方程和不等式等問題，同時考查

推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及分類討論思想.

二、本專題復(fù)習(xí)的意義

作為高考考查的重點(diǎn)，又是學(xué)好其它相關(guān)章節(jié)的橋梁和工具，函數(shù)的一輪復(fù)習(xí)教學(xué)必須

深入而有效.傳統(tǒng)的一輪復(fù)習(xí)教學(xué)注重知識點(diǎn)的分類復(fù)習(xí)、題型和方法的分類復(fù)習(xí)，能促使

學(xué)生構(gòu)建知識體系，優(yōu)化解題思路，但是在復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)度、細(xì)致度、深刻度等方面尚存在一

定的問題，比如“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)"''解析幾何”等內(nèi)容，有知識點(diǎn)多、復(fù)習(xí)時間長的特點(diǎn)，學(xué)生

往往會陷入機(jī)械記憶模式，對很多問題仍然是一知半解.如能在傳統(tǒng)專題形式的基礎(chǔ)上對重

點(diǎn)考查的內(nèi)容穿插微專題，則可以起到“見微知著”，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的目的，同時也能激

發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

函數(shù)一輪復(fù)習(xí)的微專題有：函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的零

點(diǎn).

在新課標(biāo)中，函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)中的重要內(nèi)容，也是高考考查的熱點(diǎn).它是函數(shù)、方程、

不等式的一個知識交匯點(diǎn)，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個銜接點(diǎn)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思

想.從近幾年各省的高考真題來看，零點(diǎn)問題不僅呈現(xiàn)于客觀題中，考查學(xué)生對零點(diǎn)問題的

基礎(chǔ)知識與基本技能的理解與掌握，而且滲透于主觀題中，與其它知識交匯對接，考查學(xué)生

的綜合思維能力.小題中的零點(diǎn)問題多用數(shù)形結(jié)合的思想求解，解答題中的零點(diǎn)問題多用導(dǎo)

數(shù)法求解.特別是，新課標(biāo)卷近兩年在壓軸題中都考查了導(dǎo)數(shù)法解決零點(diǎn)問題，而且有一定

的難度.這一發(fā)現(xiàn)促使我開始從這兩種思路去研究零點(diǎn)問題.

微專題“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)(2課時)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)內(nèi)容解析

本課是高三一輪函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)之后對重點(diǎn)內(nèi)容設(shè)置的微專題復(fù)習(xí)課，不一定要做到面面

俱到，而是要把握重點(diǎn)、聚焦難點(diǎn)、力求突破難點(diǎn).本課主要復(fù)習(xí)解決零點(diǎn)問題的兩種基本

思路：①數(shù)形結(jié)合；②導(dǎo)數(shù)法.通過對零點(diǎn)問題的多級設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)知識的層層解析，思維的

步步深入，方法的自然遷移.教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生面對新問題時主動聯(lián)想己解決問題運(yùn)用

的各種策略，通過觀察、判斷、分析、比較尋得新問題的解決方法.在問題的逐級遞進(jìn)中，

讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟解決該類問題常用的思想方法，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化方法，從而讓學(xué)生活用知

識，升華思想，提高能力.通過習(xí)題的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會識別題目的類型、聯(lián)想方法、選擇

思路，在不同的復(fù)合情境中抓住題目的本質(zhì)，尋找解題的規(guī)律，“以不變應(yīng)萬變”.根據(jù)教學(xué)

內(nèi)容，微專題計(jì)劃兩課時完成.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：

教學(xué)重點(diǎn)：

數(shù)形結(jié)合探究零點(diǎn)問題、導(dǎo)數(shù)法探究零點(diǎn)問題.

2.學(xué)生學(xué)情分析

此課的授課對象為高三文科班的學(xué)生.學(xué)生此時剛好復(fù)習(xí)完了函數(shù)部分的所有知識點(diǎn)，

會畫簡單函數(shù)的圖象，會通過圖象研究、理解函數(shù)的性質(zhì)，對零點(diǎn)的求解方法和所涉及到的

基本題型也有了一定的認(rèn)識.但在深刻度上還有所欠缺.所以在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生歸類題型,

總結(jié)方法，注重題與題之間的連通性和變通性，從而在浩如煙海的數(shù)學(xué)題目中尋找解題的規(guī)

律.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：

教學(xué)難點(diǎn)：如何引導(dǎo)學(xué)生識別題目的類型、聯(lián)想方法、選擇思路，在不同的復(fù)合情境中

抓住題目的本質(zhì)，尋找恰當(dāng)?shù)摹⒆顑?yōu)的方法解決零點(diǎn)問題.

3.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

(1)讓學(xué)生掌握解決零點(diǎn)問題的兩種基本思路：①數(shù)形結(jié)合法；②導(dǎo)數(shù)法.

(2)讓學(xué)生掌握兩類題型的處理方式：①求零點(diǎn)的個數(shù)；②己知零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù).

(3)讓學(xué)生體會函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論的思想.

(4)強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的認(rèn)識與理解，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能

力.

4.教學(xué)策略分析

在“學(xué)生主體、教師主導(dǎo)”的新課標(biāo)理念下，運(yùn)用變式教學(xué)策略，實(shí)現(xiàn)對教學(xué)難點(diǎn)的突破.

策略1.一題多變

通過一題多變，給學(xué)生的思維發(fā)展提供階梯，讓學(xué)生在探究中感悟知識，建構(gòu)分段函數(shù)

零點(diǎn)問題的求解模型，提高學(xué)習(xí)效率.

策略2.?題多解

引導(dǎo)學(xué)生對同一零點(diǎn)問題從不同角度加以思考，探求不同的解決方法，訓(xùn)練思維的多向性,

實(shí)現(xiàn)對數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法探究零點(diǎn)問題解題方法的整理歸納.注重不同方法的對照、對比

和優(yōu)選，通過對多種解法的探究和呈現(xiàn)，更好的提高學(xué)生解題的靈活性和敏捷性.

策略3.多題歸一

引導(dǎo)學(xué)生將探究所得的方法應(yīng)用到零點(diǎn)問題的求解中，讓學(xué)生學(xué)會識別題目的類型、聯(lián)

想方法、選擇思路，在不同的復(fù)合情境中抓住題目的本質(zhì)，尋找解題的規(guī)律，“以不變應(yīng)萬變”,

做到抽絲剝繭，柳暗花明.

教學(xué)流程：

二、教學(xué)過程

第一環(huán)節(jié)：一題多變數(shù)形結(jié)合探零點(diǎn)

高考中，大多數(shù)的零點(diǎn)問題基本都要用到數(shù)形結(jié)合的思想來求解，而直接運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

的思想來探究零點(diǎn)問題多以小題的形式呈現(xiàn)，而且以分段函數(shù)的形式居多，為了貼近高考，

此環(huán)節(jié)設(shè)置的例題和變式題的函數(shù)形式都為分段函數(shù).

例題1(解析式與分段點(diǎn)均確定的零點(diǎn)問題)：設(shè)函數(shù)=[2-1，,則

[4(x-l)(x-2),x>1

函數(shù)的零點(diǎn)為.

2r-11

變式h【2014福建，文15]函數(shù)/")='的零點(diǎn)個數(shù)是_________.

2x-6+lnx,x>1

設(shè)計(jì)意圖：此問題由學(xué)生課前預(yù)習(xí)完成，幫助學(xué)生回顧函數(shù)零點(diǎn)問題的處理方法：一個原

理、兩種方法、三種轉(zhuǎn)換.讓學(xué)生意識到對于分段函數(shù)來說，還得根據(jù)每一段的定義域來求

零點(diǎn).為后面變式的探究打下基礎(chǔ).

小結(jié)：在師生的共同探討下，收獲如下：解析式確定的零點(diǎn)問題，不管是不是分段函數(shù),

零點(diǎn)問題概括起來就是一個原理一一零點(diǎn)存在性定理，兩種方法一一解出來或畫出來；三種

轉(zhuǎn)化一一轉(zhuǎn)化為/(x)=0型，/(x)=c型或者/(x)=g(x)型.而分段函數(shù)的零點(diǎn)在此基礎(chǔ)上還

要結(jié)合各段的定義域去確定零點(diǎn).所蘊(yùn)含的思想方法有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化

歸.

Y_ia

變式2(解析式確定，分段點(diǎn)不定的零點(diǎn)問題)：設(shè)函數(shù)f(x)=',

4(x-l)(x-2),x>a

若函數(shù)/(x)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是.

設(shè)計(jì)意圖：在例題1解析式的基礎(chǔ)上將分段點(diǎn)改為不確定的情況去探求零點(diǎn).該題由學(xué)生

先思考后展示，經(jīng)教師補(bǔ)充后共同提煉出兩種解法：一是先分別作出兩段函數(shù)在R上的圖象,

再通過分段點(diǎn)的左、右移動來取舍左、右兩段函數(shù)的圖象，進(jìn)而確定滿足條件的分段點(diǎn)的位

置.二是通過解方程計(jì)算兩段函數(shù)零點(diǎn)的取值為0,1,2,找到討論的標(biāo)準(zhǔn)，對分類討論來求解.

變式3(解析式不定，分段點(diǎn)確定的零點(diǎn)問題):

2X—ClyX<1

【2015北京，文14］設(shè)函數(shù)〃x)=

4(x-a)(x-2a),

①略

②若/(x)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

設(shè)計(jì)意圖：在例題1的基礎(chǔ)上將解析式改為不確定的情況，圖象不定，難度較大.可讓學(xué)生

先思考然后說出自己的解題方法再計(jì)算，最后請代表展示，教師點(diǎn)評.師生共同整理出對于

含參的分段函數(shù)零點(diǎn)的最優(yōu)解法：首先在每段中求零點(diǎn)，分析零點(diǎn)與分段點(diǎn)的位置關(guān)系找到

參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后將零點(diǎn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用分類討論的思想，結(jié)合圖象找限制條件.通

過此變式讓學(xué)生體會如何從復(fù)雜的情境中準(zhǔn)確的找到問題的切入點(diǎn)，同時復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合、分

類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

在例1以及3道變式題的基礎(chǔ)上，教師精心挑選配套練習(xí)題，進(jìn)一步鞏固如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合的思想來求解零點(diǎn)問題.

2-\x\,x^2

練習(xí)1：【2015天津，文8】已知函數(shù)/(x)=函數(shù)g(x)=3-/(2-x),則

(x-2)2,x>2

函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

設(shè)計(jì)意圖：分段函數(shù)中加絕對值，目標(biāo)函數(shù)也變得復(fù)雜，但是求解的方法卻更加靈活、多

樣.通過此題進(jìn)一步鞏固變1知識，同時訓(xùn)練學(xué)生的解題思維.具體有三種做法：一是利用

圖象的對稱變換、平移變換等知識，分別作出八加與g(x)的草圖，從圖象中發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的

圖象有兩個交點(diǎn)；二是求出函數(shù))，=/(x)-g(x)的解析式，在每一段中按照例1或變1的方法

求零點(diǎn)；三是構(gòu)造函數(shù)/?(x)=/(x)+f(2-x),將此問題轉(zhuǎn)化為求〃(x)與y=3的交點(diǎn)個數(shù).

練習(xí)2：［2016天津，文14］已知函數(shù)/(外=卜2+(4"3口+3丫<()3>0且“聲］)在R

logrt(x+l)+l,x^0

上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程|/(x)|=2-g恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置練習(xí)2的目的為：鞏固分段點(diǎn)不定零點(diǎn)問題的求法，讓學(xué)生感受獲得知識

的喜悅，考查學(xué)生對此類問題的掌握和理解情況.練習(xí)2難度較大，命制中增加了2個限制

條件，一是由函數(shù)的單調(diào)性限制了參數(shù)的范圍，二是目標(biāo)函數(shù)中增加了絕對值符號，即解題

中需結(jié)合函數(shù)的翻折變換，利用數(shù)形結(jié)合的思想找限制條件.通過此題讓學(xué)生體會解決此類

零點(diǎn)問題的難點(diǎn)并不是零點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化，而是如何通過畫圖、通過圖象的變換，找到的限制

條件.同時還要注意解題細(xì)節(jié)，直線y=2-x與曲線y=x?+(4a-3)x+3a相切也符合題意.

第二環(huán)節(jié)：拾級而上借用導(dǎo)數(shù)探零點(diǎn)

函數(shù)的圖象有時并不能直接畫出，或分情況畫出，必須通過求導(dǎo)討論單調(diào)性才能畫出，

進(jìn)而探究零點(diǎn).所以導(dǎo)數(shù)在探究零點(diǎn)問題中的工具作用不容小覷，而且這是新課標(biāo)文科卷近

年來考查的熱點(diǎn)，通常以解答題的形式呈現(xiàn)，考查的都是非分段函數(shù)的零點(diǎn)，并未涉及到分

段函數(shù).教師根據(jù)學(xué)生的掌握情況，設(shè)計(jì)一組問題，層層遞進(jìn).

例題2：(必修1,88頁例1改編)判斷函數(shù)/(x)=x-lnx-2的零點(diǎn)個數(shù).f

讓學(xué)生在學(xué)案上完成例題，并用實(shí)物投影儀展示學(xué)生的解答過程，得到以

ix)=x-Jnx-2

下兩種解法.

.1Y—1___

方法一：因?yàn)?(x)=x—lnx-2,所以/'(x)=l--=——，所以/(X)在(0,1)-0

XX

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以=又因?yàn)楫?dāng)接近時

函數(shù)值為正數(shù)，同時/(e2)>0,結(jié)合/(x)的圖象(圖1)可知/(x)的零點(diǎn)

方法二：判斷函數(shù)/(x)=x-lnx-2的零點(diǎn)個數(shù)，即判斷方程

x—Inx-2=0根的個數(shù)，即判斷函數(shù)y=x-2與函數(shù)y=lnx的交點(diǎn)個數(shù)

圖2

由圖2可知，它們的交點(diǎn)有兩個，所以/(x)的零點(diǎn)有2個.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題2進(jìn)一步鞏固第一環(huán)節(jié)中解決零點(diǎn)問題的方法，即一個原理，兩種方

法，三種轉(zhuǎn)化.同時指出不同之處為：不再是分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性必須借助于求導(dǎo)才能

判斷.由學(xué)生課前完成.

變式1：判斷函數(shù)/(x)=x-Inx-2-。的零點(diǎn)個數(shù).

方法一：因?yàn)閰?shù)在常數(shù)項(xiàng)的位置，它是例2中的函數(shù)經(jīng)過上下平移得到的，由圖象易

得：當(dāng)a<-1時，無零點(diǎn)；當(dāng)a=-l時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)。時，有兩個零點(diǎn).

方法二：由題意，原問題即判斷函數(shù)y=x-2-“與函數(shù)y=lnx的交點(diǎn)個數(shù)，在例2的方

法二的基礎(chǔ)上，求出函數(shù)y=lnx的斜率為的切線方程為y=x-l,通過平移函數(shù)y=x-2易得

同樣結(jié)論.

方法三：運(yùn)用分離參數(shù)法.轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)y=x-lnx-2與>的交點(diǎn)個數(shù)問題.由

例2中方法一的圖象易得同樣結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：添加參數(shù)，參數(shù)在常數(shù)項(xiàng)的位置.學(xué)生經(jīng)過分析，得到三種解法，教師用實(shí)物

投影展示成果.通過此變式讓學(xué)生的思維處于螺旋上升狀態(tài).

變式2：若函數(shù)/(x)=x-lnx-2-。在區(qū)間上有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.

e

設(shè)計(jì)意圖：添加區(qū)間后，變式1下的三種方法均可行，學(xué)生稍作思考便能得出答案為：

"=-1或1-1<4忘/-4.幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)方法的自然遷移.

e

變式3：若函數(shù)/(x)=ar-lnx-2有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：改變參數(shù)位置，將參數(shù)置于一次項(xiàng)系數(shù)位置，增加問題難度，讓學(xué)生面對新

目標(biāo)，再次起跳，爭取摘到“桃”.

經(jīng)過思考，學(xué)生得到三種解法，用實(shí)物投影展示其解答過程.

方法一：因?yàn)?(x)=or-Inx-2,所以尸(力=.-2=竺~~-,所以當(dāng)aWO時，/(x)在

xx

(0,+oo)上單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)接近時函數(shù)值為正數(shù)，同時，⑴="-2<0,所以函數(shù)必定有一

個零點(diǎn).

當(dāng)。>0時，易知/(X)在(0,3上單調(diào)遞減，在d,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)而0=/(3

aaa

=0即可，解得a=e.綜上所述：。忘0或。=6.￥/

方法二：由題意可知，函數(shù)y=依-2與函數(shù)y=lnx有一個交點(diǎn)，2f

而函數(shù)y=or-2是過定點(diǎn)(0,-2)的直線，由圖3,當(dāng)aWO或直線與??1

圖3

由_L=〃可知切點(diǎn)坐標(biāo)為P(-,ln-),

y=Inx相切時滿足題意，相切時可設(shè)切點(diǎn)為P(%,%)，

x0aa

又因?yàn)槭c(diǎn)在直線y=ar-2上，解得〃=e.綜上所述：aWO或。=e

方法三：分離參數(shù)可得.即函數(shù)y=a與式x)=電9(xx0)有一個

X

—|riy—111

交點(diǎn).因?yàn)?(x)=1,所以q(x)在(0,3上單調(diào)遞增，在(與g0)上

XTee

單調(diào)遞減，所以觀幻而?=4(3=6,又因?yàn)楫?dāng)接近時函數(shù)值是負(fù)的，當(dāng)趨

e

向正無窮時函數(shù)值是正的，由圖4可知，的取值范圍是。忘0或。=6.

變式4：當(dāng)a>0時，若函數(shù)/(x)=x-alnx有兩個零點(diǎn)，求的取值范

圍.

設(shè)計(jì)意圖：再次改變參數(shù)位置，將參數(shù)置于對數(shù)前，再添難度，讓學(xué)生嘗試對比以上方

法擇優(yōu)解決.答案為：?>e.

練習(xí)：【2015新課標(biāo)1,文21］設(shè)函數(shù)f(x)=e2*-alnx.

(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)的零點(diǎn)的個數(shù).

(II)略

設(shè)計(jì)意圖：雖然與前面的變式題在解析式上有些不同，但是處理的方法完全一樣，即轉(zhuǎn)化

為函數(shù)y=2re2，(x>0)與y=a的交點(diǎn)個數(shù)，并通過導(dǎo)數(shù)來判斷，或函數(shù)y=2e2*(x>0)與

y=q的交點(diǎn)個數(shù)，或求導(dǎo)討論((x)=2e2，-3a>0)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零

XX

點(diǎn).通過此題，鞏固利用導(dǎo)數(shù)探究零點(diǎn)的三種方法，分辨最優(yōu)解.同時感受高考真題，體會

真題中零點(diǎn)的考查方式.

第三環(huán)節(jié)：順藤摸瓜解題規(guī)律及時找

師：通過以上兩個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

學(xué)生分組討論完成，教師在方法技巧的基礎(chǔ)上提煉核心數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生形成實(shí)用有

效的解題規(guī)律：零點(diǎn)問題概括起來就是一個原理一一零點(diǎn)存在性定理，兩種方法一一解出來

或畫出來；三種轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化為f(x)=O型，/(》)=,型或者/(幻=8。)型.

數(shù)形結(jié)合探究含參的分段函數(shù)零點(diǎn)具體做法為：首先在每段中求零點(diǎn)，分析零點(diǎn)與分段

點(diǎn)的位置關(guān)系找到參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后將零點(diǎn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用分類討論的思想，結(jié)

合圖象找限制條件.不僅要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、還需用到分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.

借用導(dǎo)數(shù)探究一般函數(shù)零點(diǎn)具體做法為：1、f(x)=O型.求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論進(jìn)而討

論函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖象的特征，找參數(shù)的限制條件；2、f(x)=c型.將函數(shù)變形，

把參數(shù)置于一邊，對新構(gòu)造的確定函數(shù)求導(dǎo)，討論函數(shù)單調(diào)性，確定圖象的特征，最后平移

直線y=c,找到參數(shù)的限制條件；3、/(x)=g(x)型.將函數(shù)變形，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為

一條直線和一個一般曲線的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，通過圖象找到參數(shù)的限制條

件.

我們應(yīng)將具體問題轉(zhuǎn)化為三種類型的某一類，有時還要通過分析、比較找出最優(yōu)解，也即

最佳策略.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對所學(xué)的知識有比較全面的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決不同零點(diǎn)問

題的處理方法、思想方法和解題步驟，從解決問題的方法、規(guī)律、思維策略等方面反思自己

的做法，總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高解題能力.及時反饋課堂的教學(xué)效果，讓復(fù)習(xí)課更加深

刻、細(xì)致和精準(zhǔn)，從而實(shí)現(xiàn)微專題復(fù)習(xí)課的終極目標(biāo).

第四環(huán)節(jié)：回歸梳理，下一輪會更精彩

布置學(xué)生課后在函數(shù)零點(diǎn)的課本習(xí)題中，在以前做過和考過的題目中，把與本課相類似

的零點(diǎn)問題找出來再做，總結(jié)和歸納解題的經(jīng)驗(yàn)、感悟、困惑和教訓(xùn).同時布置課后練習(xí)，

為二輪復(fù)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

課后練習(xí)：

1.12016山東，文15]已知函數(shù)=，其中相>0.若存在實(shí)數(shù)，使

[x-2nvc+4加，x>m

得關(guān)于的方程/(x)=6有三個不同的根，則機(jī)的取值范圍是.(3,y0)

2.【2015江蘇，13】已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)=f',0<'^1,則方程|/(x)+g(x)|=l

[|x-4|-2,X>1

實(shí)根的個數(shù)為.

e"+axW0

3.已知函數(shù)/(尤)='(“eR),若函數(shù)/(x)在R上有兩個零點(diǎn)，則的取值

2x-1,x>0

范圍是.

x2-2ax,xW1o

4.已知實(shí)數(shù)?！礝J0)=h。丫丫>1若方程/(工)=-士/有且僅有兩個不等實(shí)根，且較大

.2

實(shí)根大于2,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

5.12016新課標(biāo)1,文21】已知函數(shù)/(X)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

6.12014新課標(biāo)1,文12］已知函數(shù)/&)=63-3/+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)看,且%>0,

則的取值范圍是.

7.12014陜西，文21】設(shè)函數(shù)/■(x)=lnx+竺,〃?eR.

X

(ID討論函數(shù)g(x)=r(x)-1零點(diǎn)的個數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固所學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會獨(dú)立識別題目的類型、聯(lián)想方法、選擇思路，

在不同的復(fù)合情境中抓住題目的本質(zhì)，尋找解題的規(guī)律，“以不變應(yīng)萬變”.體會函數(shù)與方程

思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.

教學(xué)反思：本課復(fù)習(xí)了解決與零點(diǎn)相關(guān)問題的兩種基本思路：①數(shù)形結(jié)合；②導(dǎo)數(shù)法.

兩類題型：①求零點(diǎn)的個數(shù)；②已知零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù).內(nèi)容設(shè)計(jì)層層深入，分段進(jìn)行，又

環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生在接受知識、探究問題的過程中能有一個逐步積累深入、螺旋上升的發(fā)展.

但本課主要涉及的是數(shù)形結(jié)合解決分段函數(shù)中的零點(diǎn)問題，以及借用導(dǎo)數(shù)畫圖象來解決非分

段函數(shù)的零點(diǎn)問題，對于非分段函數(shù)直接畫圖或者通過圖象的變換再畫圖去求解零點(diǎn)的問題，

限于課時不能展開.直接解方程求解函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)榭嫉幂^少故而直接忽略掉了.

近五年與零點(diǎn)有關(guān)的真題搜集如下：

【2016山東，文15］已知函數(shù)="<機(jī)，其中相>0.若存在實(shí)數(shù)，使得

［X-2mx+4根,x>m

關(guān)于的方程f(x)=6有三個不同的根，則機(jī)的取值范圍是.(3,*?)

【2016天津，文14】已知函數(shù)/(x)=卜-+(4a-3)x+3k<O(a>o且a#D在R上單調(diào)遞減，

[log?(x+l)+l,x>0

且關(guān)于的方程|/(x)|=2-]恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.[1,|)

f2-1rIxW2

【2015天津，文8】已知函數(shù)〃x)=；,函數(shù)g(x)=3-/(2-x),則函數(shù)

[(x-2),x>2

y=/(x)-g(x)的零點(diǎn)的個數(shù)為(A)

A.2B.3C.4D.5

【2015安徽，文4】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(D)

A.y=\nxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx

[2015安徽，文14]在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，若直線y=2a與函數(shù))，=次-〃|-1的圖像只

有一個交點(diǎn)，則的值為_____________.--

2

【2015湖南，文14]若函數(shù)"x)=|2'-2|-b有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.0<b<2

【2015陜西，文9】設(shè)f(x)=x—sinx,則f(x)=(B)

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)

【2015湖北，文13]函數(shù)f(x)=2sinxsin(x+9-x2的零點(diǎn)個數(shù)為.個

【2015江蘇，13】已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)=F,°<""l，則方程|f(x)+g(x)|=l實(shí)

[Ix-41-2,x>1

根的個數(shù)為.個

【2014新課標(biāo)1,文12]已知函數(shù)/(x)=o?-3f+l,若“X)存在唯一的零點(diǎn)七,且x°>0,

則的取值范圍是(A)

A.(2,+oo)B.(l,+oo)

C.(-oo,-2)D.(-oo,-l)

【2014湖北，文9】已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時，fM=x2-3x,則函數(shù)

g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為(D)

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3)

C.{2-77,1,3)D.{-2-e,1,3}

2

【2014福建，文15］函數(shù)/(x)=r-2'r<"0的零點(diǎn)個數(shù)是_________?個

2x-6+Inx,x>0

【2013天津，文8】設(shè)函數(shù)/(x)=e*+x-2,g(x)=lnx+/-3.若實(shí)數(shù)a/滿足

/(a)=0,g(6)=0,則(A)

A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)

C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<Q

【2013湖南，文6】函數(shù)/(x)=lnx的圖象與函數(shù)g(x)=f-4x+4的圖象的交點(diǎn)個數(shù)(C)

A.B.C.D.

Q

【2013上海，文】方程二二+1=3'的實(shí)數(shù)解為.log,4

3-1

［2013湖北，文12］已知函數(shù)/(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(B)

A.(-co,0)B.(0,-)C.(0,1)D.(0,4-oo)

2

【2013安徽，文10】已知函數(shù)f(x)=V+加+版+c有兩個極值點(diǎn)x，%,若/(%)=%<尤2，

則關(guān)于的方程3(/。))2+2次工)+〃=0的不同實(shí)根個數(shù)為(A)

A.3B.4C.5D.6

【2012湖北，文】函數(shù)f(x)=XCOS2x在區(qū)間［0,21］上的零點(diǎn)的個數(shù)為(D)

A.2B.3C.4D.5

(；)、的零點(diǎn)個數(shù)為(B)

【2012北京，文】函數(shù)/(%)=/—

A.0B.1C.2D.3

【2012湖南，文】設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)是最小正周期為2萬的偶函數(shù)，f'(x)是/(X)的

導(dǎo)函數(shù).當(dāng)工￡。乃］時，0</(X)<1;當(dāng)X￡(0,7T)且時，(不一')./*'(%)>0.則函數(shù)

丁=/(%)-5缶不在［-2肛2詞上的零點(diǎn)個數(shù)為(B)

A.2B.4C.5D.8

【2012天津，文】已知函數(shù)、=反二”的圖像與函數(shù)丫=阮的圖像恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的

|x-l|

取值范圍是.(0,1)u(1,2)

【2016新課標(biāo)1,文21］已知函數(shù)f(x)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

【2016北京，文20】設(shè)函數(shù)/(》)=/+奴2+公+。.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(II)設(shè)。=6=4,若函數(shù)/(x)有三個不同零點(diǎn)，求的取值范圍；

(III)求證：/-3匕＞0是/(x)有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.

【2016江蘇，文19】已知函數(shù)為(*)=優(yōu)+，已。＞0/＞0,4=1/*1).

(I)設(shè)“=2力=；①求方程/(幻=2的根；

②若對任意xeR,不等式f(2x)Z，4(x)-6式恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值；

(H)若0＜。＜1力＞1,函數(shù)g(x)=/(x)-2有且只有1個零點(diǎn)，求"的值.

【2015新課標(biāo)1,文21］設(shè)函數(shù)f(x)=e2*-alnx.

(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)的個數(shù)；

(II)證明:當(dāng)a＞()時〃x)》2a+aln±.

【2015北京，文19］設(shè)函數(shù)f(x)=］-〃lnx,k＞0.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)證明：若/(X)存在零點(diǎn)，則〃x)在區(qū)間(L&J上僅有一個零點(diǎn).

【2015廣東，文21】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)〃x)=(x-a)2+k-4-a(a-l).

(I)若/(O)W1,求的取值范圍；

(II)討論/(x)的單調(diào)性；

(III)當(dāng)時，討論了(幻+色在區(qū)間(0,內(nèi))內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).

x

【2015山東，文20】設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)lnx,g(x)=—.已知曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處

e*

的切線與直線2x-y=0平行.

(I)求的值；

(H)是否存在自然數(shù)，使得方程〃x)=g(x)在(34+1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；

如果不存在，請說明理由；

(III)設(shè)函數(shù),w(x)=min"(x),g(x)}(min{p,q}表示〃，q中的較小值)，求皿x)的最大值.

【2015四川，文21】已知函數(shù)/(x)=-2xlnx+x2-2ov+a2,其中a>0.

(I)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；

(H)證明：存在aw(O,l),使得/'(X)明0恒成立,且f(x)=O在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)有唯一一解.

【2015浙江，文20］設(shè)函數(shù),(幻=/+辦+4(a,bwR).

2

(I)當(dāng)b=2+1時,求函數(shù)f(x)在上的最小值g(a)的表達(dá)式;

4

(II)已知函數(shù)/(x)在上存在零點(diǎn)，0Wb-2aWl,求的取值范圍.

【2014湖南，文21】已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx+l(x>0).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)記士為/(x)的從小到大的第i(ieN*)個零點(diǎn)，證明：對一切”eN*,有

【2014陜西，文21】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+—

x

(I)當(dāng)機(jī)=e<(為自然對數(shù)的底數(shù))時，求/(x)的極小值；

(II)討論函數(shù)g(x)=零點(diǎn)的個數(shù)；

(III)若對任意。>a>0,"份="：<1恒成立,求旭的取值范圍.

b-a

【2014四川，文21】已知函數(shù)/(x)=e"—以2-法一1,其中a,beR,e=2.71828…為自然對

數(shù)的底數(shù).

(I)設(shè)g(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值；

(II)若/(1)=0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，證明：e-2<?<l.

【2013江蘇，文】設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ar,g(x)=ex-ax,其中為實(shí)數(shù).

(I)若f(x)在(l,+oo)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(l,+oo)上有最小值，求的取值范圍；

(H)若g(x)在(T,xo)上是單調(diào)增函數(shù)，試求/(x)的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【2013陜西，文】已知函數(shù)f(x)=e"其中xeR.

(I)求y(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；

(II)證明：曲線y=f(x)與曲線y+x+l有唯一公共點(diǎn).

(III)設(shè)""比較/色心］與型二幺絲的大小，并說明理由.

\2)b-a

【2013北京，文】已知函數(shù)f(x)=x?+xsinx+cosx.

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(〃,/(，，)))處與直線y=匕相切，求與的值；

(II)若曲線y=/(x)與直線y=。有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.

【2013福建，文】已知函數(shù)/(x)=x_i+巴(aeR,為自然對數(shù)的底數(shù)).

e*

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線平行于軸，求的值；

(II)求函數(shù)/(x)的極值；

(III)當(dāng)a=l的值時，若直線/:)，=丘-1與曲線y=/(x)沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

【2012天津，文】已知函數(shù)/(X)=-or-a,xeR,其中a>0.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；

(III)當(dāng)。=1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間+上的最大值為MQ),最小值為m(f),記

g(f)=M(r)-m(r),求函數(shù)g⑴在區(qū)間［-3,-1］上的最小值.

【2012福建，文】已知函數(shù)/(x)=arsinx-3(aeR),且在［0,§上的最大值為與3.

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(II)判斷函數(shù)/(x)在(0,乃)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，并加以證明.

附錄：

《高考中的立體幾何問題》說課稿

立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的

重要載體，是每年高考必考的重要知識點(diǎn)！無論是從高考的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，還是從學(xué)

生個人的長遠(yuǎn)發(fā)展來看，學(xué)好立體幾何這一模塊的內(nèi)容對于學(xué)生來說都是極為重

要的。在此，我僅從高考要求、命題趨勢、考綱變化、復(fù)習(xí)意義四個方面來對立

體幾何模塊談?wù)勎业目捶ā?/p>

一、高考要求

1、空間幾何體

（1）認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征;

（2）能畫出簡單空間圖形的三選圖，能識別相應(yīng)三視圖所表示的立體模型，會用

斜二測畫法畫出他們的直觀圖；

（3）會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不

同表現(xiàn)形式；

（4）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式。

2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（1）理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解四個公理及推論；

（2）認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理;

（3）能夠用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。

3、空間向量與立體幾何

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的

正交分解及其坐標(biāo)袤示;

（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量數(shù)量積判斷向量的共線與垂

直；

（4）理解直線的方向向量及平面的法向量;

（5）能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；

（6）能用向量法則立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理；

（7）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,

了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

二、命題趨勢

2016年2015年2014年2013年2012年

全國卷乙（I）全國卷（I）全國卷（I）全國卷（I）全國卷

題題題題題

內(nèi)容內(nèi)容內(nèi)容內(nèi)容內(nèi)容

號號號號號

三視圖（圓

三視圖（球、三視圖（三棱球、正方體，三視圖（三棱

611柱、球表面1267

表面積）錐、補(bǔ)形）體積錐、體積）

積）

（棱錐）組

合體：（I）