專(zhuān)題35 幾何綜合壓軸題（40題）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編

PAGE13PAGE14專(zhuān)題35幾何綜合壓軸題（40題）一、解答題1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫(xiě)出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．2．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱(chēng)“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線(xiàn)經(jīng)真空從矩形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O處射入，其折射光線(xiàn)恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊于點(diǎn)，連接(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．4．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，為⊙O的弦，C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．連接．

(1)求證：是⊙O的切線(xiàn)；(2)若，求的面積．5．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點(diǎn)為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應(yīng)用】（2）若，，，求的長(zhǎng)；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．6．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，是正方形對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)求證：與相切．(2)若正方形的邊長(zhǎng)為，求的半徑．(3)如圖2，在（2）的條件下，若點(diǎn)是半徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．7．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在中，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題：(1)求證：；(2)探究與的關(guān)系；某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)你繼續(xù)探究：①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)P，連接，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，若，直接寫(xiě)出的值（用含m，n的式子表示）．8．（2024·廣東·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線(xiàn)上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．9．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．①求證：是的切線(xiàn)；②若，，求的半徑．10．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）已知的半徑為5，是上兩定點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，且的平分線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)證明：點(diǎn)為上一定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．①判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若為銳角三角形，求的取值范圍．11．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，過(guò)點(diǎn)B作的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)．12．（2024·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，，點(diǎn)P在邊上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊上以的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)求證：．(2)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值．(3)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積．13．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是與，的交點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)H，連接，．（ⅰ）如圖2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．14．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知，，是的外接圓，點(diǎn)在上（），連接、、．【特殊化感知】（1）如圖1，若，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【一般化探究】（2）如圖2，若，點(diǎn)、在同側(cè)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接寫(xiě)出、、滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）15．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)與點(diǎn)重合記為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，將圖2中的繞按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系．16．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類(lèi)比遷移（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．17．（2024·湖南·中考真題）【問(wèn)題背景】已知點(diǎn)A是半徑為r的上的定點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)A作的切線(xiàn)l，在直線(xiàn)l上取點(diǎn)C，使得為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，；【問(wèn)題探究】（2）以線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)作矩形，使得邊過(guò)點(diǎn)E，連接，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：無(wú)論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：②如圖3，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求及的值．18．（2024·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線(xiàn)相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，，是它的一條對(duì)角線(xiàn)．①寫(xiě)出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；②若，，，求的長(zhǎng)（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，使四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線(xiàn)三直角模型”．如圖2，在中，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

(1)【觀(guān)察感知】如圖2，通過(guò)觀(guān)察，線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)【問(wèn)題解決】如圖3，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，，求的面積；(3)【類(lèi)比遷移】在(2)的條件下，連接交于點(diǎn)，則______；(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線(xiàn)上找點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度．20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為M，連接，則的最小值為_(kāi)_____．21．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點(diǎn)在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點(diǎn)，連接，對(duì)角線(xiàn)分別與相交于點(diǎn)．①求證：是的中點(diǎn)；②求；(2)如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，連接的延長(zhǎng)線(xiàn)與相交于點(diǎn)．試探究線(xiàn)段與線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．23．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，，，，是的角平分線(xiàn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線(xiàn)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．24．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），作射線(xiàn)，在射線(xiàn)上取點(diǎn)，使，以為邊作正方形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè)．(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______；(3)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；(4)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)距離的3倍，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）25．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在上，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為交于．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，且，求長(zhǎng)．(3)連接，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，探究與大小關(guān)系并說(shuō)明理由．26．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某小組將一個(gè)含的三角尺利一個(gè)正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，觀(guān)察圖形的變化，完成探究活動(dòng)．【初步探究】如圖2，連接，并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)交于點(diǎn)．問(wèn)題1和的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應(yīng)用問(wèn)題1的結(jié)論解決下面的問(wèn)題．問(wèn)題2如圖3，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．求證．【嘗試應(yīng)用】問(wèn)題3如圖4，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)路線(xiàn)的長(zhǎng)度．27．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線(xiàn)和邊上，，．用等式寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，．用等式寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．28．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無(wú)外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類(lèi)型，我們不妨約定：既無(wú)外接圓，又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“平凡型無(wú)圓”四邊形；只有外接圓，而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無(wú)外接圓的四邊形稱(chēng)為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“完美型雙圓”四邊形．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長(zhǎng)滿(mǎn)足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類(lèi)型中選一種填入）；②若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長(zhǎng)．29．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．30．（2024·重慶·中考真題）在中，，，過(guò)點(diǎn)作．(1)如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；(3)若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線(xiàn)翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出的最大值．31．（2024·重慶·中考真題）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．在直線(xiàn)上取一點(diǎn)，使，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖1，若，用等式表示線(xiàn)段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值．32．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見(jiàn)，圖形變化是解決問(wèn)題的有效策略；【操作實(shí)踐】（2）如圖3，圖①是一個(gè)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過(guò)程，直接寫(xiě)出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系；【探究應(yīng)用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中存在最大值．若，，當(dāng)最大時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（4）如圖6，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．33．（2024·上海·中考真題）在梯形中，，點(diǎn)E在邊上，且．(1)如圖1所示，點(diǎn)F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；(2)已知；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線(xiàn)上，求的外接圓的半徑長(zhǎng)；②如圖3所示，如果點(diǎn)M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長(zhǎng)．34．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究，，三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫(xiě)出所有直角三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．35．（2024·河北·中考真題）已知的半徑為3，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在上，點(diǎn)C在內(nèi)），隨后移動(dòng)，使點(diǎn)B在弦上移動(dòng)，點(diǎn)A始終在上隨之移動(dòng)，設(shè)．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求點(diǎn)B到的距離，并求此時(shí)x的值；(3)設(shè)點(diǎn)O到的距離為d．①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上，且過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與垂直時(shí)，求d的值；②直接寫(xiě)出d的最小值．36．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長(zhǎng)．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿(mǎn)足的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)，分別與對(duì)角線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

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