第1章 勾股定理 北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊綜合素質(zhì)評價(jià)(含答案)

第一章綜合素質(zhì)評價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，則AB的平方為()(第1題)A.9 B.16 C.25 D.412.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A.0.3，0.4，0.5 B.35，45C.4，5，6 D.7，24，253.在△ABC中，∠B＝35°，BC2－AC2＝AB2，則∠C的大小為()A.35° B.55° C.65° D.90°4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則BD的長度是()(第4題)A.2 B.3 C.4 D.55.[情境題生活應(yīng)用]如圖，在A村與B村之間有一座大山，原來從A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C＝90°)繞過村莊間的大山，打通A，B間的隧道后，就可直接從A村到B村.已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為()(第5題)A.7km B.6km C.5km D.2km6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()(第6題)A.225 B.200 C.150 D.無法計(jì)算7.[情境題生活應(yīng)用母題教材P6習(xí)題T1]如圖母題①，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約6米，如圖②，則滑輪到地面的距離為()(第7題)A.9米 B.12米 C.15米 D.24米8.[2024岳陽月考]如圖，長為6cm的橡皮筋A(yù)B固定兩端A和B后把中點(diǎn)C向上豎直拉升4cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長了()(第8題)A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm9.如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上任意一點(diǎn)，則CE2－BE2＝()(第9題)A.1 B.2 C.4 D.510.[新考向數(shù)學(xué)文化]意大利著名畫家達(dá)·芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理.若設(shè)圖①中空白部分的面積為S1，圖③中空白部分的面積為S2，則下列等式成立的是()(第10題)A.S1＝a2＋b2＋2ab B.S1＝a2＋b2＋abC.S2＝c2 D.S2＝c2＋12二、填空題(每題3分，共15分)11.[2024天津西青區(qū)期中]如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為cm2.(第11題)12.已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則此三角形的最長邊上的高等于.13.如圖，一座橋橫跨一河，橋AB的長為40m，一艘小船自橋北頭(A處)出發(fā)，向正南方駛?cè)?，因水流原因到達(dá)南岸(C處)后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭(B處)9m，則小船實(shí)際行駛的路程為m.(第13題)14.[母題教材P17復(fù)習(xí)題T5]如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12nmile和16nmile，1h后兩輪船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20nmile.如果知道甲輪船沿北偏西40°方向航行，則乙輪船沿方向航行.15.[2024青島期末]如圖是某滑雪場U型池的示意圖，該U型池可以看成是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3m的半圓，其邊緣AB＝CD＝16m，點(diǎn)E在CD上，CE＝4m.一名滑雪愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為m.(π取3)三、解答題(16題10分，17～19題每題12分，20題14分，21題15分，共75分)16.如圖，∠B＝90°，求x的值.17.如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13.試說明△ACD是直角三角形.18.[2024贛州期末]圖①是放置在水平面上的可折疊式護(hù)眼燈，其中底座的高AB＝5cm，連桿BC＝30cm，燈罩CD＝20cm.如圖②，轉(zhuǎn)動BC，CD，使得∠BCD成平角，且燈罩端點(diǎn)D離桌面l的高度DH為45cm，求AH的距離.19.觀察下列勾股數(shù)：①3，4，5，且32＝4＋5；②5，12，13，且52＝12＋13；③7，24，25，且72＝24＋25；④9，b，c，且92＝b＋c；…(1)請你根據(jù)上述規(guī)律，并結(jié)合相關(guān)知識求：b＝，c＝；(2)猜想第n組勾股數(shù)，并說明你的猜想正確.20.如圖①，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲.(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是；ABCD(2)求該長度最短的金屬絲的長；(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲的最短長度為m，則m2的值為.21.“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形.趙爽利用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，驗(yàn)證勾股定理，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范.(1)如圖①，是小琪制作的一個(gè)“趙爽弦圖”紙板.①設(shè)AH＝a，BH＝b，AB＝c，請你利用圖①驗(yàn)證a2＋b2＝c2；②若大正方形ABCD的邊長為13，小正方形EFGH的邊長為7，求直角三角形兩直角邊之和為多少.(2)如圖②，小昊把四個(gè)全等的直角三角板緊密地拼接在一起，已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長為48，OB＝6，求這個(gè)圖案的面積.

答案詳解詳析一、1.D2.D3.B4.A5.B6.A7.A8.C9.D【點(diǎn)撥】在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2－AD2，CD2＝AC2－AD2，所以在Rt△BDE和Rt△CDE中，BE2＝BD2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2，EC2＝CD2＋ED2＝AC2－AD2＋ED2，所以EC2－EB2＝（AC2－AD2＋ED2）－（AB2－AD2＋ED2）＝AC2－AB2＝32－22＝5.10.B二、11.6412.601313.14.北偏東50°（或東偏北40°）【點(diǎn)撥】因?yàn)锳P＝1×12＝12（nmile），PB＝1×16＝16（nmile），AB＝20nmile，所以AP2＋BP2＝400＝AB2，所以∠APB＝90°.因?yàn)椤螦PN＝40°，所以∠BPN＝50°.因?yàn)椤螮PN＝90°，所以∠BPE＝40°.所以乙輪船沿北偏東50°（或東偏北40°）方向航行.15.15【點(diǎn)撥】如圖是U型池的內(nèi)側(cè)面展開圖，則AD≈3×3＝9（m），CD＝16m，CE＝4m.所以DE＝CD－CE＝16－4＝12（m）.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2≈92＋122＝152，所以AE≈15m.故他滑行的最短路程約為15m.三、16.【解】由勾股定理，得62＋x2＝（x＋4）2，解得x＝2.5.故x的值為2.5.17.【解】因?yàn)锳B＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，所以AC2＝152－92＝144.因?yàn)?2＋144＝132，所以AD2＋AC2＝CD2，所以∠DAC＝90°，所以△ACD是直角三角形.18.【解】由題意，得BD＝BC＋CD＝50cm.如圖，過點(diǎn)B作BE⊥DH于點(diǎn)E，易得EH＝AB＝5cm，BE＝AH，所以DE＝DH－EH＝40cm，所以BE2＝BD2－DE2＝302.所以BE＝30cm，所以AH＝30cm.19.【解】（1）40；41（2）猜想第n組勾股數(shù)為2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1.因?yàn)椋?n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，（2n2＋2n＋1）2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，所以（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2.因?yàn)閚是正整數(shù)，所以2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1是一組勾股數(shù).20.【解】（1）A（2）由（1）可知該長度最短的金屬絲的長為2AC.因?yàn)閳A柱底面的周長為12，所以BC＝12×12＝6因?yàn)閳A柱的高AB＝8，所以AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10，所以該長度最短的金屬絲的長為2AC＝2×10＝20.（3）2368【點(diǎn)撥】若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則m2＝42×122＋8421.【解】（1）①設(shè)題圖①中大、小兩個(gè)正方形的面積分別為S1和S2，則S2＝（b－a）2＝a2＋b2－2ab，S1＝S2＋4×12ab＝a2＋b2又因?yàn)镾1＝c2，所以a2＋b2＝c2.②因?yàn)锳B＝13，EF＝7，所以大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，所以四個(gè)直角三角形的面積和為169－49＝120，設(shè)AE為x，DE為y，則4×12xy＝2xy＝120易知x2＋y2＝132＝169，所以（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝