2022年哈三中數(shù)學(xué)高三上期末預(yù)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，182．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．3．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟(jì)，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人4．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．636．已知點(diǎn)P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，設(shè)，直線AD與橢圓τ的另一個交點(diǎn)為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④9．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．11．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．12．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且=,那么橢圓的方程是．14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．15．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.16．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點(diǎn)在直線上，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，且的最小值為，求的值.18．（12分）已知函數(shù)（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對稱軸；③且在區(qū)間上單調(diào).（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，求函數(shù)的值域.19．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）.21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)，且當(dāng)時，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點(diǎn)；②若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．2、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.3、D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時,,在遞減；當(dāng)時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.5、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

設(shè)，則，，，設(shè)，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，，，則，設(shè)，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以當(dāng)時，，在有且僅有5個零點(diǎn)，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.8、D【解析】

計算得到，，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像知①③錯誤，得到答案.【詳解】，，，當(dāng)沿軸正方向平移個單位時，重合，故②正確；，，故，函數(shù)關(guān)于對稱，故④正確；根據(jù)圖像知：①③不正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.9、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為：∵短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在軸上∴又，∴，∴橢圓的方程為，故答案為．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識．14、【解析】

函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.15、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16、【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程；（2）將的坐標(biāo)設(shè)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標(biāo)方程為（2）的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上，∴的最小值為到直線的距離的最小值∵，∴當(dāng)，時取得最小值即，∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：；（2）求解曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.18、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數(shù)值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)性，值域，表達(dá)式，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19、（1）（2）9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，分別求出，，，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為（元）.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時，，所以切線方程為，即.（2），.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，所以方程在上有兩不等實(shí)根，即.令，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得且.又由，所以，且當(dāng)和時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，是極值點(diǎn)，此時令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹愠闪?，所?若，取，則，所以.令，則，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即存在使得，不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識，是一道難題.21、