《線性代數(shù)（第4版）》 習(xí)題及答案 第五章習(xí)題解答_第1頁
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PAGEPAGE119第五章二次型1.二次型=的矩陣表達(dá)式=.4.若二次型的秩為2，則應(yīng)滿足什么條件？解二次型的矩陣表達(dá)式為因為,所以且，即且.1.求一個正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型的矩陣為，其特征多項式為令，得矩陣的特征值為當(dāng)時,解方程組，由.得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時，解方程，由得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時，解方程，由得基礎(chǔ)解系.將單位化，得,,于是正交變換為.且標(biāo)準(zhǔn)形為．2.用配方法化下列二次形成標(biāo)準(zhǔn)形并寫出所用變換的矩陣：（1）（2）；解（1）先將含有的項配方.=++－++=+++再對后三項中含有的項配方，則有令即所作變換為寫成矩陣形式為，變換矩陣為在此變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為（2）對二次型配方，得令即寫成矩陣形式為，變換矩陣為在此變換下二次型化為規(guī)范形.1.判別下列二次型是否為正定二次型：（1）=；（2）；解（1）二次型的矩陣為.由于，，即的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的.（2）二次型的矩陣為,由于，，，故為負(fù)定．2.當(dāng)t為何值時，下列二次型為正定二次型：（1）=；（2）=.解（1）二次型的矩陣為.此二次型正定的充要條件為,=>0,>0，由此解得.（2）二次型的矩陣為.此二次型正定的充要條件為,>0,；由此解得.一.單項選擇題1.二次型的矩陣是（）.A.；B.；C.；D.答案：C解因為，所以二次型矩陣為，故答案C正確.3.設(shè)均為階矩陣，且與合同，則（）.A.與相似；B.；C.與有相同的特征值；D.答案：D解因為與合同，所以存在階可逆矩陣，使得，故故答案D正確.4.設(shè)矩陣，則與合同的矩陣是（）.A.；B.；C.；D.答案：A解兩矩陣合同時，其正慣性指數(shù)相同，且負(fù)慣性指數(shù)也相同，只有答案A滿足題意.故答案A正確.6.對于二次型，其中為階實對稱矩陣，下述各結(jié)論中正確的是（）.A.化為標(biāo)準(zhǔn)形的可逆線性變換是唯一的；B.化為規(guī)范形的可逆線性變換是唯一的；C.的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的；D.的規(guī)范形是唯一的.

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