2023九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十四章 圓24.2 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系第3課時 切線長定理教案（新版）新人教版

2023九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章圓24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第3課時切線長定理教案（新版）新人教版科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2023九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章圓24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第3課時切線長定理教案（新版）新人教版教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自于2023年九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章《圓》的24.2節(jié)“點和圓、直線和圓的位置關(guān)系”，具體是24.2.2節(jié)“直線和圓的位置關(guān)系”的第3課時。主要學(xué)習(xí)切線長定理，該定理指出：從圓外一點引出兩條切線，分別與圓相切，這兩條切線的切點到該點的距離相等。

教學(xué)目標：

1.理解切線長定理的內(nèi)容及其應(yīng)用。

2.能夠運用切線長定理解決實際問題。

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力。

教學(xué)重點：

1.切線長定理的掌握。

2.能夠運用切線長定理解決實際問題。

教學(xué)難點：

1.理解并證明切線長定理。

2.靈活運用切線長定理解決復(fù)雜問題。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括：

1.邏輯推理：通過探索切線長定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠從具體實例中抽象出切線長定理的一般性結(jié)論。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運用切線長定理解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，提高其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

3.直觀想象：通過圖形演示和實際操作，幫助學(xué)生直觀地理解切線長定理，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

4.數(shù)學(xué)運算：在探索切線長定理的過程中，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)運算方法，提高其數(shù)學(xué)運算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：在解決實際問題時，引導(dǎo)學(xué)生收集和處理相關(guān)信息，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了以下相關(guān)知識：圓的基本概念，點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，以及切線的定義。此外，學(xué)生還應(yīng)該具備一定程度的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：九年級的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣各異，但總體上對于解決實際問題較為感興趣。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生已經(jīng)具備一定程度的獨立思考和解決問題的能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好直觀演示和動手操作，而另一部分學(xué)生則更喜歡通過邏輯推理和數(shù)學(xué)運算來解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)和理解切線長定理的過程中，學(xué)生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：如何從具體實例中抽象出切線長定理的一般性結(jié)論，如何運用切線長定理解決實際問題，以及如何在解決實際問題的過程中建立數(shù)學(xué)模型。此外，對于部分學(xué)生來說，理解和證明切線長定理的過程可能較為困難，需要教師給予耐心指導(dǎo)和啟發(fā)。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：

為了達到本節(jié)課的教學(xué)目標，我選擇采用講授法、案例研究法、項目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法和小組合作學(xué)習(xí)法等多種教學(xué)方法。

講授法：在講解切線長定理的過程中，教師可以通過條理清晰的講解，幫助學(xué)生理解定理的內(nèi)涵和應(yīng)用。

案例研究法：教師可以選取一些典型的實際問題，讓學(xué)生通過分析、討論和解決問題，培養(yǎng)其應(yīng)用切線長定理解決實際問題的能力。

項目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法：教師可以設(shè)計一些與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的項目，讓學(xué)生通過調(diào)查、研究、分析和解決問題，提高其運用切線長定理解決實際問題的能力。

小組合作學(xué)習(xí)法：在探索切線長定理的過程中，教師可以組織學(xué)生進行小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

2.教學(xué)活動設(shè)計：

(1)導(dǎo)入新課：通過一個簡單的實際問題，引發(fā)學(xué)生對切線長定理的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(2)講解切線長定理：采用講授法，結(jié)合圖形演示，清晰地講解切線長定理的定義、證明過程和應(yīng)用。

(3)案例分析：提供幾個典型的實際問題，讓學(xué)生運用切線長定理進行分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

(4)小組討論：組織學(xué)生進行小組討論，分享各自的問題解決過程，互相學(xué)習(xí)和交流。

(5)總結(jié)與反思：讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，反思自己在學(xué)習(xí)過程中的收獲和不足，為今后的學(xué)習(xí)做好準備。

3.教學(xué)媒體和資源的使用：

(1)PPT：教師可以制作內(nèi)容豐富、結(jié)構(gòu)清晰的PPT，展示切線長定理的定義、證明過程和應(yīng)用實例，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識。

(2)視頻：可以為學(xué)生提供一些與切線長定理相關(guān)的教學(xué)視頻，讓學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果。

(3)在線工具：教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用在線工具，進行實時的互動學(xué)習(xí)和問題解決，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。

(4)實踐材料：為學(xué)生提供一些實踐材料，如圓規(guī)、直尺等，讓學(xué)生在動手實踐中更好地理解和掌握切線長定理。教學(xué)流程本節(jié)課的教學(xué)流程分為三個部分：課前準備、課中學(xué)習(xí)和課后作業(yè)，總用時不超過45分鐘。

1.課前準備（5分鐘）

在課前，教師需要準備相關(guān)的教學(xué)資源和材料，如PPT、視頻、在線工具和實踐材料等。此外，教師還需要設(shè)計一些實際問題，以便在課堂上進行案例分析和討論。

2.課中學(xué)習(xí)（35分鐘）

(1)導(dǎo)入新課（5分鐘）

教師通過一個簡單的實際問題，如“在圓紙上剪一個最大的正方形，求正方形的對角線長度”，引發(fā)學(xué)生對切線長定理的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(2)講解切線長定理（10分鐘）

采用講授法，結(jié)合圖形演示，清晰地講解切線長定理的定義、證明過程和應(yīng)用。在此過程中，教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握切線長定理的關(guān)鍵點。

(3)案例分析（10分鐘）

提供幾個典型的實際問題，讓學(xué)生運用切線長定理進行分析和解決。教師可以組織學(xué)生進行小組合作學(xué)習(xí)，分享各自的問題解決過程，互相學(xué)習(xí)和交流。

(4)小組討論（5分鐘）

組織學(xué)生進行小組討論，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，反思自己在學(xué)習(xí)過程中的收獲和不足。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用切線長定理解決一些實際問題，以提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

3.課后作業(yè)（5分鐘）

布置一些與切線長定理相關(guān)的練習(xí)題，讓學(xué)生在課后鞏固所學(xué)知識。此外，教師還可以鼓勵學(xué)生自主尋找生活中的實際問題，運用切線長定理進行解決，以提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

整體來看，本節(jié)課的教學(xué)流程注重引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象出切線長定理，并通過案例分析和小組討論等方式，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和團隊合作意識。在教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時給予指導(dǎo)和幫助，以確保教學(xué)效果的達成。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)故事：教師可以給學(xué)生講述一些與圓和切線有關(guān)的歷史故事，如圓的起源和發(fā)展，以及切線的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用等，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

（2）數(shù)學(xué)游戲：教師可以設(shè)計一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)游戲，如圓的周長和面積計算游戲，切線的性質(zhì)和判定游戲等，讓學(xué)生在游戲中鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)效果。

（3）數(shù)學(xué)競賽：教師可以引導(dǎo)學(xué)生參加一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)競賽，如數(shù)學(xué)奧林匹克競賽等，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和解決問題的能力。

（4）實際問題案例：教師可以收集一些與圓和切線有關(guān)的實際問題案例，如圓的周長和面積在工程和科學(xué)中的應(yīng)用，切線在幾何和繪畫中的應(yīng)用等，讓學(xué)生通過解決問題，提高其應(yīng)用能力。

2.拓展建議：

（1）學(xué)生可以自主查閱相關(guān)數(shù)學(xué)故事，了解圓和切線的起源和發(fā)展，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（2）學(xué)生可以嘗試玩一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)游戲，鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)效果。

（3）學(xué)生可以參加一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)競賽，提高自己的數(shù)學(xué)水平和解決問題的能力。

（4）學(xué)生可以嘗試解決一些與圓和切線有關(guān)的實際問題，提高其應(yīng)用能力。

（5）學(xué)生可以閱讀一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)書籍，深入了解相關(guān)知識，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（6）學(xué)生可以觀看一些與圓和切線有關(guān)的數(shù)學(xué)講座和視頻，聽取專家的講解和解讀，提高自己的數(shù)學(xué)理解能力。典型例題講解本節(jié)課的典型例題講解將圍繞切線長定理的應(yīng)用展開，通過具體的例題引導(dǎo)學(xué)生掌握切線長定理的運用方法，提高其解決問題的能力。以下是五個典型例題及解答過程：

例題1：

題目：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，且OP垂直于圓O的切線AT。求證：AT=2r。

解答：

根據(jù)題意，我們可以畫出如下的圖形：

```

O/\/\

PT

```

由于OP垂直于AT，所以∠OAP為直角。根據(jù)勾股定理，我們可以得到：

AT^2=OA^2+OP^2

又因為OA=r，OP=d，所以：

AT^2=r^2+d^2

而根據(jù)切線長定理，AT=2r，所以：

(2r)^2=r^2+d^2

4r^2=r^2+d^2

3r^2=d^2

r^2=d^2/3

r=d/√3

由于AT=2r，所以：

AT=2r=2(d/√3)=2d/√3

所以，我們證明了AT=2r。

例題2：

題目：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，且OP與圓O的切線AT相交于點Q。求證：AQ=2r。

解答：

根據(jù)題意，我們可以畫出如下的圖形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP與AT相交于點Q，所以∠OAP和∠TQP為對頂角，因此相等。又因為∠OAP為直角，所以∠TQP也為直角。根據(jù)切線長定理，我們可以得到：

AQ=2r

所以，我們證明了AQ=2r。

例題3：

題目：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，且OP與圓O的切線AT相交于點Q。求證：PQ為圓O的直徑。

解答：

根據(jù)題意，我們可以畫出如下的圖形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP與AT相交于點Q，所以∠OAP和∠TQP為對頂角，因此相等。又因為∠OAP為直角，所以∠TQP也為直角。根據(jù)切線長定理，我們可以得到：

AQ=2r

又因為AQ=PQ，所以：

PQ=2r

所以，PQ為圓O的直徑。

例題4：

題目：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，且OP與圓O的切線AT相交于點Q。求證：三角形APQ為等腰三角形。

解答：

根據(jù)題意，我們可以畫出如下的圖形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP與AT相交于點Q，所以∠OAP和∠TQP為對頂角，因此相等。又因為∠OAP為直角，所以∠TQP也為直角。根據(jù)切線長定理，我們可以得到：

AQ=2r

又因為AQ=PQ，所以：

PQ=2r

由于OA=OP=d，所以：

AP=√(OA^2+OP^2)=√(d^2+d^2)=√2d^2=d√2

而PQ=2r=2d/√3

所以，AP=PQ

因此，三角形APQ為等腰三角形。

例題5：

題目：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，且OP與圓O的切線AT相交于點Q。求證：三角形APQ為直角三角形。

解答：

根據(jù)題意，我們可以畫出如下的圖形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP與AT相交于點Q，所以∠OAP和∠TQP為對頂角，因此相等。又因為∠OAP為直角，所以∠TQP也為直角。根據(jù)切線長定理，我們可以得到：

AQ=2r

又因為AQ=PQ，所以：

PQ=2r

由于OA=OP=d，所以：

AP=√(OA^2+OP^2)=√(d^2+d^2)=√2d^2=d√2

而PQ=2r=2d/√3

所以，AP^2+PQ^2=(d√2)^2+(2d/√3)^2

=2d^2+4d^2/3

=6d^2/3+4d^2/3

=10d^2/3

而AT^2=OA^2+OP^2=d^2+d^2=2d^2

所以，AP^2+PQ^2=AT^2

因此，三角形APQ為直角三角形。課堂八、教學(xué)評價

1.課堂評價（10分鐘）

（1）提問：在講解切線長定理的過程中，教師可以通過提問的方式，了解學(xué)生對知識的掌握程度。例如，教師可以問學(xué)生：“什么是切線長定理？”“如何證明切線長定理？”“切線長定理有哪些應(yīng)用？”等。通過學(xué)生的回答，教師可以了解學(xué)生對切線長定理的理解程度。

（2）觀察：教師可以通過觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。例如，教師可以觀察學(xué)生是否積極參與課堂討論，是否能夠正確回答問題，是否能夠認真聽講等。通過觀察，教師可以了解學(xué)生對切線長定理的掌握情況。

（3）測試：在課堂結(jié)束前，教師可以設(shè)計一些與切線長定理相關(guān)的測試題，讓學(xué)生在課堂上完成。通過測試，教師可以了解學(xué)生對切線長定理的掌握程度，并及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題。

2.作業(yè)評價（15分鐘）

（1）認真批改：教師需要認真批改學(xué)生的作業(yè)，檢查學(xué)生對切線長定理的掌握情況。對于學(xué)生的錯誤，教師需要及時指出并給予正確的解答。

（2）點評：在作業(yè)評語中，教師需要給予學(xué)生適當?shù)狞c評，鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力。例如，教師可以對學(xué)生的作業(yè)進行以下點評：“你對切線長定理的理解很到位，繼續(xù)努力！”、“你能夠靈活運用切線長定理解決實際問題，非常好！”等。

（3）反饋：教師需要及時將作業(yè)評價反饋給學(xué)生，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)效果。對于學(xué)生的優(yōu)點，教師需要給予表揚和鼓勵；對于學(xué)生的不足，教師需要給予指導(dǎo)和建議。板書設(shè)計1.條理清楚：

（1）重點知識點：切線長定理。

（2）關(guān)鍵詞：圓、點、直線、切線、切線長、切線長定理。

（3）句：從圓外一點引出兩條切線，分別與圓相切，這兩條切線的切點到該點的距離相等。

2.重點突出：

（1）重點知識點：切線長定理的應(yīng)用。

（2）關(guān)鍵詞：切線長、圓心、點、距離。

（3）句：利用切線長定理解決實際問題，如求解圓的直徑、求解切線的長度等。

3.簡潔明了：

（1）重點知識點：切線長定理的