《線性代數(shù)（第4版）》 習題及答案匯 張學奇 第1-5章

第一章習題選解1.設矩陣滿足，其中，，求解設，則，．利用矩陣相等的定義，得.2.求解將行列式的第二、三、四列全加到第一列，并提公因子，再化為三角行列式得3.求解把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，再化為三角行列式得====160.4.求解按第一列展開，得=+=5.求解方程解因為所以方程的解為.6.設，計算．解，而7.求逆矩陣解令，因為，所以矩陣可逆.又從而8.解矩陣方程解9.已知n階矩陣，滿足，求證：可逆，并求.證因為，即，所以，從而，為可逆矩陣，而且.10.設為3階矩陣，為的伴隨矩陣，且，求行列式的值.解因為，，，所以====.11.設,，求.解由可得故12.設，且，求.解由方程，合并含有未知矩陣的項，得．又，其行列式，故可逆，用左乘上式兩邊，即得=13.設，求及解令,.則.,由.得.所以14.求的逆矩陣解令，，則是一個分塊對角矩陣，因為＝，＝，所以＝注：，15求逆矩陣.解；故逆矩陣為.16.已知矩陣的秩為3，求的值．解對作初等變換若，則，所以.第二章線性方程組習題2.12.當k取何值時，齊次線性方程組僅有零解.解齊次線性方程組的系數(shù)行列式為=由克拉默法則知，當且時有，此時方程組僅有零解.3.問取何值時，齊次線性方程組有非零解？解方程組的系數(shù)行列式為，若齊次線性方程組有非零解，則，即，所以或不難驗證，當或該齊次線性方程組確有非零解.4.用消元法解下列線性方程組（2）；（3）（4）解（2）設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換所以與原方程組等價的方程組為于是原方程組的解為.（3）設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=因為，即，所以方程組無解.（4）設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=.得原方程組的同解方程組即則方程組的解為（c為任意常數(shù)）.5.當k為何值時，齊次線性方程組有非零解？并求出此非零解.解齊次線性方程組的系數(shù)行列式為當時，即時，齊次線性方程組有非零解.當時，齊次線性方程組為設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=得原方程組的同解方程組，即則方程組的解為（c為任意常數(shù)）.6.當為何值時，線性方程組無解？有唯一解？有無窮多個解？當有解時，求出方程組的解.解設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=當時，方程組無解.當且時，方程組有唯一解.此時原方程組的同解方程組為，則方程組的解為當時，方程組有無窮多個解.此時原方程組的同解方程組為即則方程組的解為（為任意常數(shù)）.習題2.31.判定下列各組中的向量是否可以表示為其余向量的線性組合？若可以，試求出其一個線性表示式.（1）；（2）；（3）；解（1）設，則是方程組的解設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=得到方程組的解為，所以.（2）設，則是方程組的解.設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=.因為，所以方程組無解，故不能表示為的線性組合.（3）設，則是方程組的解.設方程組的增廣矩陣為，對進行初等行變換=.得到原方程的同解方程組為.所以不唯一，令，則，故.2.若可由線性表示，且，，，，求．解對向量組進行初等行變換=所以，當時，可由線性表示.5.判定下列各向量組的線性相關性.（2）（3）解（2）對向量組構成的矩陣實施初等行變換因為，所以向量組線性相關.（3）對向量組構成的矩陣實施初等行變換因為，所以向量組線性無關.6.設向量組，試確定a為何值時，向量組線性相關.解考慮以為系數(shù)列向量構成的齊次方程組方程組的系數(shù)矩陣的行列式為當時，即時，方程組有非零解，此時向量組線性相關.7.設，且向量組線性無關，證明向量組也線性無關.證設存在數(shù)，使得即因向量組線性無關，故因為故方程組只有零解，所以線性無關.習題2.42.求下列向量組的秩：（1）解（1）作矩陣，并對實施初等行變換因為，所以向量組的秩為3.3.求下列各向量組的一個極大無關組，并將其余向量表示為該極大無關組的線性組合.（1）；（2）；解（1）作矩陣，并對實施初等行變換因為，所以向量組的秩為2.且為的一個極大無關組.由的第三列可得.（2）作矩陣，并對實施初等行變換因為，所以向量組的秩為2.且為的一個極大無關組.由的第三、四列可得，.4.設向量組的秩為求解作矩陣，并對實施初等行變換因為，所以且.習題2.51.求下列齊次線性方程組的一個基礎解系，并用此基礎解系表示方程組的全部解.（1）；（2）；解（1）設方程組的系數(shù)矩陣為，對進行初等行變換=得到方程組的一般解(其中為自由未知量).令分別取和，得到方程組的一個基礎解系，，所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.（2）設方程組的系數(shù)矩陣為，對進行初等行變換=得到方程組的一般解(其中為自由未知量).令分別取和，得到方程組的一個基礎解系，，所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.2.判斷下列線性方程組是否有解，若有解，求其解（在有無窮多個解的情況下，用基礎解系表示全部解）.（2）；（3）；解（2）設方程組的增廣矩陣為，對實施初等行變換=.則方程組的一般解（其中為自由未知量），一個特解.又導出組的一般解為，由此得到導出組的一個基礎解系.所以方程組的全部解為（c為任意常數(shù)）.（3）設方程組的增廣矩陣為，對實施初等行變換=.則方程組的一般解為（其中,為自由未知量）.可得到一個特解.又導出組的一般解為.令分別取，和，得到方程組的一個基礎解系，，.所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.總習題二一.單項選擇題1.如果線性方程組（的常數(shù)）有唯一解，則必須滿足（）.A.；B.或；C.或；D.且答案：D解由克拉默法則知，若方程組有唯一解，必須使得，即且；故答案D正確.2.若齊次線性方程組有非零解，則必須滿足（）.A.；B.；C.且；D.或答案：D解由克拉默法則知，若齊次線性方程組有非零解，必須使得所以，或，故答案D正確.6.設向量組,線性相關，則應滿足條件().A.；B.；C.；D.答案：C解設，因為向量組線性相關，所以，由于所以當時，，向量組線性相關.故答案C正確.7.向量組,線性無關，則（）.A.或；B.且；C.或；D.且.答案：D解設，因為向量組線性無關，所以，由于所以，當且時，向量組線性無關.故答案D正確.8.設是階方陣，，則在的個行向量中().A.必有個行向量線性無關；B.任意個行向量線性無關；C.任意個行向量都構成極大線性無關向量組；D.任意一個行向量都可以由其它個行向量線性表示.答案：A解對于答案A.由矩陣秩的定義可知，的個行向量組成的向量組的秩也為，再由向量組秩的定義知，這個行向量中必然存在個線性無關的行向量.故答案A正確.12.設為階矩陣，且，則（）.A.的列秩等于零；B.的秩為零；C.中任一列向量可由其他列向量線性表示；D.中必有一列向量可由其他列向量線性表示.答案：D解因為的行（列）向量組的秩小于.所以的列向量組必然線性相關，再由線性相關的充分必要條件可知，其中必有一列向量可由其他列向量線性表示.故答案D正確.13.設為階矩陣，下列結論中不正確的是（）.A.可逆的充分必要條件是；B.可逆的充分必要條件是的列秩為；C.可逆的充分必要條件是的每一行向量都是非零向量；D.可逆的充分必要條件是當時，，其中答案：C解矩陣可逆的充要條件為矩陣可逆的列（行）秩為只有零解.所以答案A、B、D正確，答案C不正確，故選擇C.14.設元齊次線性方程組，且，則有非零解的充分必要條件是（）.A.；B.；C.；D.答案：C解矩陣，則的向量形式為而有非零解線性無關，故答案C正確.15.設為矩陣，線性方程組對應的導出組為，則下列結論中正確的是（）.A.若僅有零解，則有唯一解；B.若有非零解，則有無窮多解；C.若有無窮多解，則有非零解；D.若有無窮多解，則僅有零解.答案：C解由有無窮多解，可知，由齊次線性方程組有非零解的充要條件可知，此時有非零解.故答案C正確.16.對非齊次線性方程組，設，則（）A.時，方程組有解B.時，方程組有唯一解C.時，方程組有唯一解D.時，方程組有無窮多解答案：A解方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣都是行矩陣，由可知，所以方程組有解.故答案A正確.17.設矩陣，僅有零解的充分必要條件是（）.A.的列向量組線性無關；B.的列向量組線性相關；C.的行向量組線性無關；D.的行向量組線性相關.答案：A解方程組僅有零解充要條件為僅有零解的列向量組線性無關.故答案A正確.第三章向量空間2.試證:由所生成的向量空間就是.證設，因為于是，故線性無關.由于均為三維且秩為3.所以為此三維空間的一組基，故由所生成的向量空間就是.4.已知的一組基為，求向量在此基下的坐標.解設，則是方程組的解.解得，所以向量在此基下的坐標為.6.已知的兩個基為求由基到基的過渡矩陣解取矩陣，，對作初等行變換故過渡矩陣.6.利用施密特正交化方法，將下列各向量組化為正交的單位向量組．（1）；（2）；解（1）令=，=，=，==（，再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組．．（2）令=，===（．再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組．．2.如果為階實對稱矩陣，為階正交矩陣，則為階實對稱矩陣．證因為又為階實對稱矩陣，為階正交矩陣，所以及，即于是所以為階實對稱矩陣．第四章矩陣的特征值和特征向量2.求下列矩陣的特征值和特征向量（1）；（2）；解（1）矩陣的特征多項式為令，得矩陣的特征值為當時，解齊次線性方程組，即，由得基礎解系，故屬于特征值的全部特征向量為（為任意常數(shù)）當時，解齊次線性方程組，即，由得基礎解系，故屬于特征值的全部特征向量為（為任意常數(shù)）（2）矩陣的特征多項式為=令，得矩陣的特征值為對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系，于是的屬于的全部特征向量為（為不等于零的常數(shù)）對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系，，于是的屬于的全部特征向量為（為不全等于零的常數(shù)）.1.證明下列命題：（1）設都是階方陣，且，證明與相似．（2）如果矩陣與相似，且與都可逆，則與相似.證（1）因為，則可逆.由于所以與相似.（2）因為矩陣與相似，所以存在一個可逆矩陣，使得所以，即，所以與相似.2.判別矩陣是否對角化？若可對角化，試求可逆矩陣，使為對角陣．解矩陣的特征多項式為=由，得矩陣的特征值為對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系.對于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個基礎解系，.由于有三個線性無關的特征向量，故可對角化．令則3.設矩陣可相似對角化求解矩陣的特征多項式為,由，得矩陣的特征值為因為可相似對角化，所以對于,齊次線性方程組有兩個線性無關的解,因此.由知當時,即為所求.1.試求一個正交相似變換矩陣，將下列實對稱矩陣化為對角矩陣：（1）；（2）；解（1）矩陣的特征多項式為由，得矩陣的特征值為對于，解方程組，得方程組的一個基礎解系；對于，解方程組，得方程組的一個基礎解系；對于，解線性方程組，得方程組的一個基礎解系.分別將單位化得，令，則.（2）矩陣的特征多項式為由，得矩陣的特征值為對于，解齊次線性方程組，得方程組的一個基礎解系，對于，解齊次線性方程組，得方程組的一個基礎解系將向量組正交單位化得將向量單位化得，令則.一.單項選擇題1.三階矩陣的特征值為，則下列矩陣中非奇異矩陣是（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因為若為三階矩陣的特征值，則，也即當為矩陣的特征值時，矩陣為奇異矩陣.由于不是矩陣的特征值，所以，即矩陣非奇異.故答案A正確.4.與矩陣相似的矩陣是（）．A.；B.；C.；D..答案：C解由于答案A，B，C，D均為上三角矩陣，其特征值均為，它們是否與矩陣相似，取決于對應特征值四個矩陣與單位矩陣的差的秩是否為1，即.由于只有答案C對應的，即對應有兩個線性無關的向量，所以答案C正確.6.設為階矩陣，且與相似，則（）．A.；B.與有相同的特征值和特征向量；C.與都相似于一個對角矩陣；D.對于任意常數(shù)，與相似.答案：D解因為由與相似不能推得，所以答案A錯誤；相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B錯誤；由與相似不能推出與都相似于一個對角矩陣，所以答案C錯誤；由與相似，則存在可逆矩陣，使，所以所以，對于任意常數(shù)，與相似.故答案D正確.8.設矩陣與相似，其中，已知矩陣有特征值，則（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因為相似矩陣具有相同的特征值，所以矩陣的特征值為.由，得，故答案A正確.10.設為階實對稱矩陣，則（）．A.的個特征向量兩兩正交；B.的個特征向量組成單位正交向量組；C.的重特征值，有；D.的重特征值，有.答案：C解由實對稱矩陣特征值的性質可知，對于實對稱矩陣的重特征值，有.故答案C正確.第五章二次型1.二次型=的矩陣表達式=.4.若二次型的秩為2，則應滿足什么條件？解二次型的矩陣表達式為因為,所以且，即且.1.求一個正交變換將二次型化為標準形.解二次型的矩陣為，其特征多項式為令，得矩陣的特征值為當時,解方程組，由.得基礎解系.當時，解方程，由得基礎解系.當時，解方程，由得基礎解系.將單位化，得,,于是正交變換為.且標準形為．2.用配方法化下列二次形成標準形并寫出所用變換的矩陣：（1）（2）；解（1）先將含有的項配方.=++－++=+++再對后三項中含有的項配方，則有令即所作變換為寫成矩陣形式為，變換矩陣為在此變換下二次型化為標準形為（2