《線(xiàn)性代數(shù)（第4版）》 習(xí)題及答案匯 張學(xué)奇 第1-5章

第一章習(xí)題選解1.設(shè)矩陣滿(mǎn)足，其中，，求解設(shè)，則，．利用矩陣相等的定義，得.2.求解將行列式的第二、三、四列全加到第一列，并提公因子，再化為三角行列式得3.求解把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，再化為三角行列式得====160.4.求解按第一列展開(kāi)，得=+=5.求解方程解因?yàn)樗苑匠痰慕鉃?6.設(shè)，計(jì)算．解，而7.求逆矩陣解令，因?yàn)?，所以矩陣可?又從而8.解矩陣方程解9.已知n階矩陣，滿(mǎn)足，求證：可逆，并求.證因?yàn)?，即，所以，從而，為可逆矩陣，而?10.設(shè)為3階矩陣，為的伴隨矩陣，且，求行列式的值.解因?yàn)?，，，所?===.11.設(shè),，求.解由可得故12.設(shè)，且，求.解由方程，合并含有未知矩陣的項(xiàng)，得．又，其行列式，故可逆，用左乘上式兩邊，即得=13.設(shè)，求及解令,.則.,由.得.所以14.求的逆矩陣解令，，則是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣，因?yàn)椋?，＝，所以＝注：?5求逆矩陣.解；故逆矩陣為.16.已知矩陣的秩為3，求的值．解對(duì)作初等變換若，則，所以.第二章線(xiàn)性方程組習(xí)題2.12.當(dāng)k取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組僅有零解.解齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為=由克拉默法則知，當(dāng)且時(shí)有，此時(shí)方程組僅有零解.3.問(wèn)取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解？解方程組的系數(shù)行列式為，若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則，即，所以或不難驗(yàn)證，當(dāng)或該齊次線(xiàn)性方程組確有非零解.4.用消元法解下列線(xiàn)性方程組（2）；（3）（4）解（2）設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換所以與原方程組等價(jià)的方程組為于是原方程組的解為.（3）設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=因?yàn)?，即，所以方程組無(wú)解.（4）設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=.得原方程組的同解方程組即則方程組的解為（c為任意常數(shù)）.5.當(dāng)k為何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解？并求出此非零解.解齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為當(dāng)時(shí)，即時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解.當(dāng)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組為設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=得原方程組的同解方程組，即則方程組的解為（c為任意常數(shù)）.6.當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多個(gè)解？當(dāng)有解時(shí)，求出方程組的解.解設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解.當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解.此時(shí)原方程組的同解方程組為，則方程組的解為當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解.此時(shí)原方程組的同解方程組為即則方程組的解為（為任意常數(shù)）.習(xí)題2.31.判定下列各組中的向量是否可以表示為其余向量的線(xiàn)性組合？若可以，試求出其一個(gè)線(xiàn)性表示式.（1）；（2）；（3）；解（1）設(shè)，則是方程組的解設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=得到方程組的解為，所以.（2）設(shè)，則是方程組的解.設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=.因?yàn)?，所以方程組無(wú)解，故不能表示為的線(xiàn)性組合.（3）設(shè)，則是方程組的解.設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=.得到原方程的同解方程組為.所以不唯一，令，則，故.2.若可由線(xiàn)性表示，且，，，，求．解對(duì)向量組進(jìn)行初等行變換=所以，當(dāng)時(shí)，可由線(xiàn)性表示.5.判定下列各向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.（2）（3）解（2）對(duì)向量組構(gòu)成的矩陣實(shí)施初等行變換因?yàn)?，所以向量組線(xiàn)性相關(guān).（3）對(duì)向量組構(gòu)成的矩陣實(shí)施初等行變換因?yàn)?，所以向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).6.設(shè)向量組，試確定a為何值時(shí)，向量組線(xiàn)性相關(guān).解考慮以為系數(shù)列向量構(gòu)成的齊次方程組方程組的系數(shù)矩陣的行列式為當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程組有非零解，此時(shí)向量組線(xiàn)性相關(guān).7.設(shè)，且向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān).證設(shè)存在數(shù)，使得即因向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故因?yàn)楣史匠探M只有零解，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān).習(xí)題2.42.求下列向量組的秩：（1）解（1）作矩陣，并對(duì)實(shí)施初等行變換因?yàn)?，所以向量組的秩為3.3.求下列各向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量表示為該極大無(wú)關(guān)組的線(xiàn)性組合.（1）；（2）；解（1）作矩陣，并對(duì)實(shí)施初等行變換因?yàn)椋韵蛄拷M的秩為2.且為的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.由的第三列可得.（2）作矩陣，并對(duì)實(shí)施初等行變換因?yàn)?，所以向量組的秩為2.且為的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.由的第三、四列可得，.4.設(shè)向量組的秩為求解作矩陣，并對(duì)實(shí)施初等行變換因?yàn)?，所以?習(xí)題2.51.求下列齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用此基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解.（1）；（2）；解（1）設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=得到方程組的一般解(其中為自由未知量).令分別取和，得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，，所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.（2）設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對(duì)進(jìn)行初等行變換=得到方程組的一般解(其中為自由未知量).令分別取和，得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，，所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.2.判斷下列線(xiàn)性方程組是否有解，若有解，求其解（在有無(wú)窮多個(gè)解的情況下，用基礎(chǔ)解系表示全部解）.（2）；（3）；解（2）設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)實(shí)施初等行變換=.則方程組的一般解（其中為自由未知量），一個(gè)特解.又導(dǎo)出組的一般解為，由此得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.所以方程組的全部解為（c為任意常數(shù)）.（3）設(shè)方程組的增廣矩陣為，對(duì)實(shí)施初等行變換=.則方程組的一般解為（其中,為自由未知量）.可得到一個(gè)特解.又導(dǎo)出組的一般解為.令分別取，和，得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，，.所以方程組的全部解為（為任意常數(shù)）.總習(xí)題二一.單項(xiàng)選擇題1.如果線(xiàn)性方程組（的常數(shù)）有唯一解，則必須滿(mǎn)足（）.A.；B.或；C.或；D.且答案：D解由克拉默法則知，若方程組有唯一解，必須使得，即且；故答案D正確.2.若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則必須滿(mǎn)足（）.A.；B.；C.且；D.或答案：D解由克拉默法則知，若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，必須使得所以，或，故答案D正確.6.設(shè)向量組,線(xiàn)性相關(guān)，則應(yīng)滿(mǎn)足條件().A.；B.；C.；D.答案：C解設(shè)，因?yàn)橄蛄拷M線(xiàn)性相關(guān)，所以，由于所以當(dāng)時(shí)，，向量組線(xiàn)性相關(guān).故答案C正確.7.向量組,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（）.A.或；B.且；C.或；D.且.答案：D解設(shè)，因?yàn)橄蛄拷M線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以，由于所以，當(dāng)且時(shí)，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).故答案D正確.8.設(shè)是階方陣，，則在的個(gè)行向量中().A.必有個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；B.任意個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；C.任意個(gè)行向量都構(gòu)成極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組；D.任意一個(gè)行向量都可以由其它個(gè)行向量線(xiàn)性表示.答案：A解對(duì)于答案A.由矩陣秩的定義可知，的個(gè)行向量組成的向量組的秩也為，再由向量組秩的定義知，這個(gè)行向量中必然存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量.故答案A正確.12.設(shè)為階矩陣，且，則（）.A.的列秩等于零；B.的秩為零；C.中任一列向量可由其他列向量線(xiàn)性表示；D.中必有一列向量可由其他列向量線(xiàn)性表示.答案：D解因?yàn)榈男校校┫蛄拷M的秩小于.所以的列向量組必然線(xiàn)性相關(guān)，再由線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件可知，其中必有一列向量可由其他列向量線(xiàn)性表示.故答案D正確.13.設(shè)為階矩陣，下列結(jié)論中不正確的是（）.A.可逆的充分必要條件是；B.可逆的充分必要條件是的列秩為；C.可逆的充分必要條件是的每一行向量都是非零向量；D.可逆的充分必要條件是當(dāng)時(shí)，，其中答案：C解矩陣可逆的充要條件為矩陣可逆的列（行）秩為只有零解.所以答案A、B、D正確，答案C不正確，故選擇C.14.設(shè)元齊次線(xiàn)性方程組，且，則有非零解的充分必要條件是（）.A.；B.；C.；D.答案：C解矩陣，則的向量形式為而有非零解線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故答案C正確.15.設(shè)為矩陣，線(xiàn)性方程組對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組為，則下列結(jié)論中正確的是（）.A.若僅有零解，則有唯一解；B.若有非零解，則有無(wú)窮多解；C.若有無(wú)窮多解，則有非零解；D.若有無(wú)窮多解，則僅有零解.答案：C解由有無(wú)窮多解，可知，由齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件可知，此時(shí)有非零解.故答案C正確.16.對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組，設(shè)，則（）A.時(shí)，方程組有解B.時(shí)，方程組有唯一解C.時(shí)，方程組有唯一解D.時(shí)，方程組有無(wú)窮多解答案：A解方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣都是行矩陣，由可知，所以方程組有解.故答案A正確.17.設(shè)矩陣，僅有零解的充分必要條件是（）.A.的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；B.的列向量組線(xiàn)性相關(guān)；C.的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；D.的行向量組線(xiàn)性相關(guān).答案：A解方程組僅有零解充要條件為僅有零解的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).故答案A正確.第三章向量空間2.試證:由所生成的向量空間就是.證設(shè)，因?yàn)橛谑?，故線(xiàn)性無(wú)關(guān).由于均為三維且秩為3.所以為此三維空間的一組基，故由所生成的向量空間就是.4.已知的一組基為，求向量在此基下的坐標(biāo).解設(shè)，則是方程組的解.解得，所以向量在此基下的坐標(biāo)為.6.已知的兩個(gè)基為求由基到基的過(guò)渡矩陣解取矩陣，，對(duì)作初等行變換故過(guò)渡矩陣.6.利用施密特正交化方法，將下列各向量組化為正交的單位向量組．（1）；（2）；解（1）令=，=，=，==（，再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組．．（2）令=，===（．再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組．．2.如果為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，為階正交矩陣，則為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣．證因?yàn)橛譃殡A實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，為階正交矩陣，所以及，即于是所以為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣．第四章矩陣的特征值和特征向量2.求下列矩陣的特征值和特征向量（1）；（2）；解（1）矩陣的特征多項(xiàng)式為令，得矩陣的特征值為當(dāng)時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組，即，由得基礎(chǔ)解系，故屬于特征值的全部特征向量為（為任意常數(shù)）當(dāng)時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組，即，由得基礎(chǔ)解系，故屬于特征值的全部特征向量為（為任意常數(shù)）（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為=令，得矩陣的特征值為對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是的屬于的全部特征向量為（為不等于零的常數(shù)）對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，，于是的屬于的全部特征向量為（為不全等于零的常數(shù)）.1.證明下列命題：（1）設(shè)都是階方陣，且，證明與相似．（2）如果矩陣與相似，且與都可逆，則與相似.證（1）因?yàn)?，則可逆.由于所以與相似.（2）因?yàn)榫仃嚺c相似，所以存在一個(gè)可逆矩陣，使得所以，即，所以與相似.2.判別矩陣是否對(duì)角化？若可對(duì)角化，試求可逆矩陣，使為對(duì)角陣．解矩陣的特征多項(xiàng)式為=由，得矩陣的特征值為對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，.由于有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化．令則3.設(shè)矩陣可相似對(duì)角化求解矩陣的特征多項(xiàng)式為,由，得矩陣的特征值為因?yàn)榭上嗨茖?duì)角化，所以對(duì)于,齊次線(xiàn)性方程組有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,因此.由知當(dāng)時(shí),即為所求.1.試求一個(gè)正交相似變換矩陣，將下列實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣：（1）；（2）；解（1）矩陣的特征多項(xiàng)式為由，得矩陣的特征值為對(duì)于，解方程組，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；對(duì)于，解方程組，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；對(duì)于，解線(xiàn)性方程組，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.分別將單位化得，令，則.（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為由，得矩陣的特征值為對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，對(duì)于，解齊次線(xiàn)性方程組，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系將向量組正交單位化得將向量單位化得，令則.一.單項(xiàng)選擇題1.三階矩陣的特征值為，則下列矩陣中非奇異矩陣是（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因?yàn)槿魹槿A矩陣的特征值，則，也即當(dāng)為矩陣的特征值時(shí)，矩陣為奇異矩陣.由于不是矩陣的特征值，所以，即矩陣非奇異.故答案A正確.4.與矩陣相似的矩陣是（）．A.；B.；C.；D..答案：C解由于答案A，B，C，D均為上三角矩陣，其特征值均為，它們是否與矩陣相似，取決于對(duì)應(yīng)特征值四個(gè)矩陣與單位矩陣的差的秩是否為1，即.由于只有答案C對(duì)應(yīng)的，即對(duì)應(yīng)有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，所以答案C正確.6.設(shè)為階矩陣，且與相似，則（）．A.；B.與有相同的特征值和特征向量；C.與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣；D.對(duì)于任意常數(shù)，與相似.答案：D解因?yàn)橛膳c相似不能推得，所以答案A錯(cuò)誤；相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B錯(cuò)誤；由與相似不能推出與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，所以答案C錯(cuò)誤；由與相似，則存在可逆矩陣，使，所以所以，對(duì)于任意常數(shù)，與相似.故答案D正確.8.設(shè)矩陣與相似，其中，已知矩陣有特征值，則（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因?yàn)橄嗨凭仃嚲哂邢嗤奶卣髦?，所以矩陣的特征值?由，得，故答案A正確.10.設(shè)為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則（）．A.的個(gè)特征向量?jī)蓛烧唬籅.的個(gè)特征向量組成單位正交向量組；C.的重特征值，有；D.的重特征值，有.答案：C解由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的性質(zhì)可知，對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的重特征值，有.故答案C正確.第五章二次型1.二次型=的矩陣表達(dá)式=.4.若二次型的秩為2，則應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？解二次型的矩陣表達(dá)式為因?yàn)?所以且，即且.1.求一個(gè)正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型的矩陣為，其特征多項(xiàng)式為令，得矩陣的特征值為當(dāng)時(shí),解方程組，由.得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系.將單位化，得,,于是正交變換為.且標(biāo)準(zhǔn)形為．2.用配方法化下列二次形成標(biāo)準(zhǔn)形并寫(xiě)出所用變換的矩陣：（1）（2）；解（1）先將含有的項(xiàng)配方.=++－++=+++再對(duì)后三項(xiàng)中含有的項(xiàng)配方，則有令即所作變換為寫(xiě)成矩陣形式為，變換矩陣為在此變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為（2