2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【原卷版】(時間:45分鐘分值:75分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是()A.(1,-1,1) B.1C.1,-3,32 2.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直線l的方向向量,若l⊥α,則x+y=()A.-4 B.4 C.-2 D.23.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是()A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)4.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定5.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則()A.BD1⊥平面B1EF B.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EF D.A1D∥平面B1EF6.(5分)(多選題)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說法正確的有()A.DB1=32B.向量AE與AC1C.平面AEF的一個法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【加練備選】(多選題)以下命題正確的是()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),則l⊥mB.直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),則α∥βD.平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=17.(5分)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則x+y+z=________.

8.(5分)如圖,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出平面MD1B的一個法向量為_______.

9.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N=λNC,且AB1⊥MN,則λ的值為10.(10分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點.求證:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.【證明】(1)因為E,H分別是線段AP,AB的中點,所以PB∥EH.因為PB?平面EFH,且EH?平面EFH,所以PB∥平面EFH.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因為PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因為AH∩AF=A,且AH,AF?平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升練】11.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,點P為線段A1C上的動點,則下列結(jié)論不正確的是()A.當(dāng)A1C=2A1P時,B1,B.當(dāng)AP⊥A1C時,APC.當(dāng)A1C=3A1P時,D1PD.當(dāng)A1C=5A1P時,A1C⊥12.(5分)在空間直角坐標(biāo)系中,點P(x,y,z)滿足:x2+y2+z2=16,平面α過點M(1,2,3),且平面α的一個法向量n=(1,1,1),則點P在平面α上所圍成的封閉圖形的面積等于___________.

13.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求證:AB⊥PD;(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值;(3)線段PA上是否存在點E,使得PC∥平面EBD?若存在,求出AEAP的值;若不存在,請說明理由2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【解析版】(時間:45分鐘分值:75分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是()A.(1,-1,1) B.1C.1,-3,32 【解析】選B.由題意可知符合條件的點P應(yīng)滿足PA·n=0,選項A,PA=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α內(nèi);同理可得:選項B,PA=(1,-4,12),PA·n=0,故在平面α選項C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α選項D,PA=(3,-4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α內(nèi)2.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直線l的方向向量,若l⊥α,則x+y=()A.-4 B.4 C.-2 D.2【解析】選C.因為n是直線l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4x12=1-3y,解得x=-1,3.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是()A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)【解析】選B.設(shè)AB=2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),則n·AE=2y+z4.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解析】選B.分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因為A1M=AN=2a3,A1B=AC=2a,所以M(a,23a,a3),N(23a,所以MN=(-a3,0,23又因為C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN·C1D因為C1D1是平面BB1C1C的一個法向量,且MN?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB15.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則()A.BD1⊥平面B1EF B.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EF D.A1D∥平面B1EF【解析】選C.以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B12,2,2,E2B2,2,0,A12,0D1(0,0,2).EF=-1,1,0,EB1DB=2,2,0,A1設(shè)平面B1EF的法向量為m=x,y,z,則m·因為BD1與m不平行,所以BD1與平面B1因為DB與m不平行,所以BD與平面B1EF不垂直,B錯誤;因為A1C1·m=0,且直線A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B因為DA1·m=2≠0,所以A1D與平面B1EF6.(5分)(多選題)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說法正確的有()A.DB1=32B.向量AE與AC1C.平面AEF的一個法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【解析】選BCD.根據(jù)空間直角坐標(biāo)系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E為BB1的中點,F為A1D1的中點,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|DB1|=22對于B,因為AE=(0,2,1),AC1=(-2,2,2),所以|AE|=5,|AC故cos<AE,AC1>=AE·AC對于C,設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),因為AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),所以n·AE=0n·AF=0,整理得y=-對于D,由于A1D=(-2,0,-2),BD1=(-2,-2,2),故A1D·BD1=0,故【加練備選】(多選題)以下命題正確的是()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),則l⊥mB.直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),則α∥βD.平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1【解析】選CD.直線l的方向向量a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,則l與m不垂直,所以A不正確;直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,則l∥α或l?α,所以B不正確;兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),則α∥β平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得n·AB=-1+u7.(5分)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則x+y+z=________.

【解析】因為AB⊥BC,所以AB·BC=3+5-2z=0,所以z=4,所以BC=(3,1,4),又因為BP⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以BP·解得x=407y=-157,因此答案:538.(5分)如圖,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出平面MD1B的一個法向量為_______.

【解析】根據(jù)題意,在坐標(biāo)系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于點M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),則D1B=(3,3,-3),設(shè)平面MD1B的一個法向量為n=(x,y,z),則有D1令y=1可得,x=2,z=3,則n=(2,1,3),故平面MD1B的一個法向量為(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N=λNC,且AB1⊥MN,則λ的值為【解析】如圖所示,取B1C1的中點P,連接MP,以MC,MA,MP的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,因為底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則A0,32,0,B1-12,0,設(shè)N12,0,t,因為C1N所以AB1=-12,-又因為AB1⊥MN,所以AB1·所以-14+41+λ=0,解得答案:1510.(10分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點.求證:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.【證明】(1)因為E,H分別是線段AP,AB的中點,所以PB∥EH.因為PB?平面EFH,且EH?平面EFH,所以PB∥平面EFH.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因為PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因為AH∩AF=A,且AH,AF?平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升練】11.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,點P為線段A1C上的動點,則下列結(jié)論不正確的是()A.當(dāng)A1C=2A1P時,B1,B.當(dāng)AP⊥A1C時,APC.當(dāng)A1C=3A1P時,D1PD.當(dāng)A1C=5A1P時,A1C⊥【解析】選B.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),當(dāng)A1C=2A1P時,A1P=-12,而DB1=(1,3,1),所以DP=所以B1,P,D三點共線,A正確,不符合題意;設(shè)A1P=λA1C,則AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(-當(dāng)AP⊥A1C時,有AP·A1所以λ=15,所以AP=(-15,35,45),D1P=D1A1所以AP·D1P=-15,所以AP與D1當(dāng)A1C=3A1P時,A1P=-13,又DB=(1,3,0),DC1=(0,3,1),所以D1P=所以D1P,DB,又D1P?平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正確,不符合題意;當(dāng)A1C=5A1P時,A1P=又AD1·A1C=(-1,0,1)·(-1,3,-1)=0,所以A1CAP·A1C=-1所以A1C⊥AP,因為AD1∩AP=A,AD1,AP?平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正確,不符合題意.12.(5分)在空間直角坐標(biāo)系中,點P(x,y,z)滿足:x2+y2+z2=16,平面α過點M(1,2,3),且平面α的一個法向量n=(1,1,1),則點P在平面α上所圍成的封閉圖形的面積等于___________.

【解析】因為點P(x,y,z)滿足x2+y2+z2=16,所以點P在以原點O為球心、4為半徑的球面上.球與平面α相交圍成的封閉圖形為圓,設(shè)圓心為A,則OA⊥α.因為平面α的一個法向量n=(1,1,1),所以可設(shè)A(t,t,t),又因為點M(1,2,3),所以AM=(1-t,2-t,3-t).因為平面α過點M(1,2,3),所以n⊥AM,所以n·AM=0,所以1-t+2-t+3-t=0,解得t=2,所以|OA|=23,所以圓A的半徑為42所以圓A的面積為4π.答案:4π13.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求證:AB⊥PD;(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值;(3)線段PA