高中數(shù)學(xué)：基本初等函數(shù)導(dǎo)學(xué)案(含答案)

第二章基本初等函數(shù)（I）

2.1指數(shù)函數(shù)

一、根式

1.〃次方根的概念

一般地，如果,那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,neN,.

2."次方根的性質(zhì)

（1）當(dāng)"是時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這

時(shí)，。的〃次方根用符號標(biāo)'表示.

（2）當(dāng)〃是時(shí)，正數(shù)。的〃次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正

數(shù)。的正的〃次方根用符號標(biāo)表示，負(fù)的〃次方根用符號-布表示.正的〃次方根與負(fù)的〃

次方根可以合并寫成土加3>0）.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

（3）0的任何次方根都為0,記作而=0.

3.根式的概念

式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

4.根式的性質(zhì)

根據(jù)〃次方根的意義，可以得到:

(1)即)”=a(〃>l,且〃eN*)；

（2）當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，折=a；

a,a>0

（3）當(dāng)"為偶數(shù)時(shí),yfa"=同=<

-a,a<0

二、實(shí)數(shù)指數(shù)塞

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

（1）我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是加=而（。>0,加,〃€m,且〃>1）.

于是，在條件a>0,機(jī),〃eN,,且〃>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式.

（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義相仿，我們規(guī)定

1*

an=—(a>O,/77,/7eN\

an且〃>D

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

2.有理數(shù)指數(shù)塞

規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)幕推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指

數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)哥也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算

性質(zhì)：

(1)aras=(a>0,r,seQ)；

r

(2)(a)'=(?>0,r,AGQ)；

(3)(ab\=(?>O,b>O,rGQ).

3.無理數(shù)指數(shù)幕

對于無理數(shù)指數(shù)毒，我們可以從有理數(shù)指數(shù)幕來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因

此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)

累是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

一般地，無理數(shù)指數(shù)毒a“(a〉0,a是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

同樣適用于無理數(shù)指數(shù)事.

4.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與整數(shù)指數(shù)塞的區(qū)別與聯(lián)系

m

分?jǐn)?shù)指數(shù)累加(。>0,北〃eN*,且〃>1)和整數(shù)指數(shù)幕/都是有理數(shù)指數(shù)幕，都可以利用有理

數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，這是他們相同的部分.整數(shù)指數(shù)幕表示的是相同因式的連

乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)基/不可以理解為絲個(gè)a相乘.

n

三、指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是R.

2.指數(shù)函數(shù)y=a'(a〉0,且awl)的結(jié)構(gòu)特征

(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；

(2)指數(shù)：僅有自變量才；

2

(3)系數(shù)：a'的系數(shù)是一

四、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.一般地，指數(shù)函數(shù)>=。'3>0,且。聲1)的圖象和性質(zhì)如下表所示:

Q<a<\a>l

圖象u.

y=a^\l

o|X

定義域R

值域(0,+oo)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

對稱性函數(shù)片""與尸a'的圖象關(guān)于y軸對稱

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1)，即x=0時(shí)，y=l

單調(diào)性在R上是____________函數(shù)在R上是____________函數(shù)

函數(shù)值的當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x〉0時(shí)，y>1；

變化情況

當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l.

2.指數(shù)函數(shù)y=a\a〉0,且。工1)中的底數(shù)對其圖象的影響

指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中

在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由

大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向.

3

例題講解

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的轉(zhuǎn)化

在解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基互化的問題時(shí)，應(yīng)熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的轉(zhuǎn)化公式.當(dāng)要化簡

的根式為多重根式時(shí)，要搞清楚哪個(gè)是被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕依次寫出.

【例1】下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化正確的是(C)

A.-4二(一九)'(x>0)B.正=y3(y<0)

C.x2y3='?(x>0,y>0)D.x3=0)

2.指數(shù)塞的運(yùn)算

進(jìn)行指數(shù)暴的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)事，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同

時(shí)兼顧運(yùn)算的順序.對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示

【例2】化簡:

I91?_3-2—2—2—2

4X+yXy

⑴加疔+跖;叱；(2)0.001^-(1)°+16+(V2-W;(3)22-2~2.

x3+y3x3-y3

【解】⑴因?yàn)樗幸饬x，所以a>0,所以原式期尷.///.涓="+必="。=1.

(2)原式=(10-3戶_1+(2產(chǎn)

=10-1+8+23-32=89.

_2_2_2_2

-222233333333

()X+y-x~-y~=(x)+(y)(x)-(y)

1J1-2222—2222

333333

x+yx-yx33x-y

_2_2_2_2_2_2_2_2_2_2

=[(x§)2-x3?y3+(y^)2]-[(x))2+x§?y?+(y^)2]=-2x.

3.知值求值問題

帶有附加條件的求值問題，一般不求出單個(gè)式子或未知數(shù)的值，而是利用整體思想，將所

求式子轉(zhuǎn)化為已知的式子.

1_1

【例3】已知/+〃"=3,求下列各式的值:

(1)(2)a2+a~2.

【解析】(1)將。1+。飛=3兩邊平方，得a+〃T+2=9,即。+〃T=7.

(2)將〃+0-1=7兩邊平方,得4，+4--+2=49>「.才+4~=47?

4

4.指數(shù)函數(shù)的概念

(1)判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，只需判斷其解析式是否滿足：①優(yōu)的系數(shù)是1；②底數(shù)

。滿足a>0,且071；③指數(shù)是X；④定義域是R.

(2)已知函數(shù)類型時(shí)，通常設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求解.

【例4】已知指數(shù)函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(-2,1~),試求/(-1)和/(2)的值.

16

【解析】設(shè)/(X)=a\a>0,且aW1),???函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(-2,口，，-=J_，解得。=±4,

1616

又a>0,則a=4,/(x)=4r,則/(-1)=4T=L，/(2)=42=16.

4

5.指數(shù)函數(shù)的圖象

(1)由于指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,且awl)的圖象過定點(diǎn)(0,1),因此形如

丁=屋罐+。+伙攵工0,。〉0,且的函數(shù)圖象過定點(diǎn)的問題，可令指數(shù)為0,即令x+c=0,

即x=-c,得3；=&+6,從而圖象過定點(diǎn)(-c,R+8).

(2)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系總結(jié)如下：

在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；

在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.

(3)判斷底數(shù)大小的方法：過點(diǎn)(1,0)作與y軸平行的直線，則該直線與指數(shù)函數(shù)圖象交

點(diǎn)的縱坐標(biāo)即該指數(shù)函數(shù)的底數(shù).

【例5】如圖中的曲線兄C，%&是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)。的值可取為應(yīng)，

431

則相應(yīng)于曲線G,C,G,G,a依次為(D)

3105

A.，0，

5

]_34

C.，O,D.0

55To3

5

6.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域和值域問題

（1）求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，首先觀察函數(shù)是丁=優(yōu)型還是>=型，前者

的定義域是R，后者的定義域與f（x）的定義域一致，而求y=77而型函數(shù)的定義域時(shí)，往

往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式（組）.

（2）對于值域問題，一方面要考慮函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面還必須兼顧指數(shù)函數(shù)的

值域是（0,+8）.

【例6】（1）函數(shù)y=g）問的定義域是,值域是.

（2）函數(shù)丁=2的的定義域是,值域是.

【解析】（1）顯然函數(shù)y=（1）w的定義域是R.

由于|x+l典而所以J有最大值1,即值域?yàn)椋?,1].

X-1

（2）因?yàn)閤+lwO,所以xhT,則函數(shù)y=2-的定義域是（YO「1）U（-L”）.

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域是（0,+x）,

x-12—

又——=1-----=1,所以"2,則函數(shù)y=2z的值域?yàn)椋?,2）U（2,+oo）.

x+1x+1

7.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

（1）比較大小：對指數(shù)式比較大小時(shí)，要看底數(shù)與指數(shù)是否相同，若底數(shù)相同、指數(shù)不

同，可直接利用單調(diào)性比較；若底數(shù)不同、指數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的圖象解決；若底

數(shù)不同、指數(shù)也不同，可以采用中間量法，中間量常取L

（2）解含指數(shù)式的不等式：先將不等式的兩邊化成同底的指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性去掉底數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式求解.

232

【例7】設(shè)a=（|j,O=Cj,c=1|J,則a”,c的大小關(guān)系是（A）

A.a>c>bB.a>b>cC,c>a>bD.b>c>a

6

32

【解析】對于函數(shù)V=(1)\在其定義域上是減函數(shù)，?.[>[,二；<：|j,即b<C.

32

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(,)x和函數(shù)v=(-)x的圖象，可知即a>c.從

而b<c<a.故A正確.

8.忽略”的范圍導(dǎo)致式子后(aeR)化簡出錯(cuò)

【例8】化簡：y(i+G)3+y(i一百卜.

【解】1(1+6)3+/1-9=I+G+GT=2百.

9.利用換元法時(shí)，遺漏指數(shù)函數(shù)的值域?qū)е鲁鲥e(cuò)

【例9】求函數(shù)y=，)'+(g)'+l的值域.

【解】令，=(')”，Ze(0,+oo),則y=/+/+1=?+!)2+』.

224

因?yàn)楹瘮?shù)y=(f+；)2+,在/e(0,+00)上單調(diào)遞增，

所以y>1,即函數(shù)y=(；)'+(fx+1的值域?yàn)?l,+oo).

基礎(chǔ)過關(guān)

1.函數(shù)尸3'(-2Wx〈l)的值域是(B)

A.[3,9]B.[-,9]C.3]D.

3393

2.函數(shù)片2小的大致圖象是(A)

3.函數(shù)〃x)=(g)修的單調(diào)遞增區(qū)間為(B)

A.(1,+8)B.(0,+8)c.(-8,0)D.(-1,1)

4.若a>0,且m，〃為整數(shù)，則下列各式中正確的是(D)

7

in

1

A.a"'+a"=a，B.a'"-a"=a""C.a,n"=am+nD.

5.如果a>l,b<-l,那么函數(shù)/'(x)=a*+6的圖象在(B)

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一'、二、四象限

6.函數(shù)的圖象是(B)

(D)

A.2<a<3B.-<a<-C.a>lD.0<a<l

32

8.函數(shù)f(x)=(a-1)'在(-8,+8)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)

A.a>lB.a<2C.Ka<2D.aWl

9.若10小=25,則10'的值為(B)

D.」-

AB.-C.,1

-455625

10.函數(shù)f(x)=a(a>0,且aWl)對于任意的實(shí)數(shù)X、y都有(B)

A.f(燈)=f(x),/(y)B.f(x+y)-f(T),/1(/)

C.f(xy)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+/(y)

11.化簡：(/9)6=xy

2

12.計(jì)算(-8)3X

13.函數(shù)產(chǎn)2"-1的值域?yàn)橐?,4-oo)

能力提升

14.已知F(x)=3'+3，若f(a)=4,貝ijf(2a)=(B)

A.4B.14C.16D.18

15.已知函數(shù)f(x)=a'+a，且f(l)=3,則/'(0)+3(1)+f(2)的值是(C)

A.14B.13C.12D.11

8

16.已知才0.4°'3,trO.30-4,CFO.3-0%則(A)

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.水ZKc

17.已知函數(shù)/(力二亍擊是奇函數(shù)，則/(/的值等于(C)

A.--B.3C.」或3D.，或3

333

3m-n

18.若10%=2,10"二=4,貝HO2=0

19.已知實(shí)數(shù)x滿足5-10%8*,則尸___________.

4

20.函數(shù)尸H*+2(a〉0且的圖象一定過定點(diǎn)―(2,3)

21.若a>0且aWl,則函數(shù)尸且1-1的圖象經(jīng)過定點(diǎn)—(1,0)一

22.計(jì)算下列各式的值:

1(-()0+16075+0.01^；(2)(2；戶—(—9.6)°—(，戶+(*-2.

(1)0.0645-

,」-15148

【解析】(1)原式二(04)3—1+164H—=—1+8H—=—；

102105

(2)品9

23.已知函數(shù)/'(x)=a—(x20).其中a>0且aWl.

(1)若/'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,g)求a的值；(2)求函數(shù)片/'(x)(*20)的值域.

【解析】〈D出數(shù)圖象過點(diǎn)[2,；],

所以，則a=:；

27

(2)/(x)e(A>O),

由x>Q得x—1>—1f

當(dāng)0vo<l時(shí)，/&r】,所以/(X)的值域?yàn)?0,<r]]j

當(dāng)o>l時(shí)，心1次1,所以/(x)的值域?yàn)?1，y>>.

24.已知函數(shù)f(x)=(▲)”,a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,2).

2

9

(1)求a的值；(2)若g(x)=4一'-2,且g(x)=f(x),求滿足條件的x的值.

【解析】(1)由已知得(L)"=2,解得才1.(2)由(1)知f(x)=('),,又g(x)

22

=f(x),則4'-2=(L)即([)*-(!)"-2=0,即[(L)/了-(1)■,-2=0,令(！)

242222

*=3則t2-t-2=0,即(t-2)(Z+1)=0,又t>0,故t=2,即([)'=2,解得A=-1滿足

2

條件的X的值為-1.

真題再現(xiàn)

25.【2018年新課標(biāo)I卷文】設(shè)函數(shù)=則滿足/(x+l)</(2x)的x的取值

Lx>0

范圍是(D)

A.(f,-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(—,0)

26.(2017?高考新課標(biāo)I卷理)已知集合4={x|水新,B={x\3x<l},則(A)

A.An8={x|x<0}B.AU8=R

C.AU8={X|X>1}D.AC|8=0

27.(2017?高考北京卷)已知函數(shù)/(x)=3'-(；)x,則/(x)=(A)

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

28.(2017?高考新課標(biāo)III卷)設(shè)函數(shù)=f+則滿足/(幻+/*_1)>1的x的取值范

2A,x>0,2

(二+oo)

圍是_4，+0°.(偏難，原考題放在高考考題的16題，初學(xué)可否刪掉？)

2.2對數(shù)函數(shù)

一、對數(shù)

1.對數(shù)的概念

(1)對數(shù):一般地，如果優(yōu)=N(a>0,且"1),那么數(shù)x叫做以a為底A'的對數(shù),記作,

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，及叫做真數(shù).

(2)常用對數(shù)：通常我們將以為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把IO&QN記為lgN.

10

(3)自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的

對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把log。N記為In兒

2.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)a>0,且時(shí)，a"=Nob=log,,N.即

a>0aWl

ab=NbTo&N

N>0十

3.對數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)log,,N(a>0,且aMl)具有以下性質(zhì):

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0；

(2)1的對數(shù)等于0,即log.1=0；

(3)底數(shù)的對數(shù)等于1,即log?=l.

二、對數(shù)的運(yùn)算

1.基本性質(zhì)

若a>0,且"l,N>0,則

(1)a哨'=；

(2)log“〃=.

2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且aHl,M>0,N>0,那么:

(1)\oga(M-N)=

(3)logM=(?eR).

三、換底公式及公式的推廣

1.對數(shù)的換底公式

11

IngN

logfcN=——(b>0,SJ)*l;c>0,Kc\-,N>0).

log加

【注】速記口訣：

換底公式真神奇，換成新底可任意，

原底加底變分母，真數(shù)加底變分子.

2.公式的推廣

(1)log〃6=」一(其中a>0且awl；力0且bHl)；

log,,a

(2)log,/"=log“》(其中a〉0且awl；b>0)；

(3)\og?bm=-\ogb(其中a>0且a關(guān)1；?0)；

ana

(4)logjb=-\ogab(其中a>0月.owl；b>0)；

a

(5)log?b-log/7c-logc.d=log;,d(其中a,b,c均大于0且不等于LcZ>0).

四、對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)函數(shù)的概念

一般地，我們把函數(shù)y=log“x(a>0,且叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義

域是____.

2.對數(shù)函數(shù)y="(a〉0,且。工1)的結(jié)構(gòu)特征

(1)對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；

(2)對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實(shí)數(shù)(常數(shù))；

(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量工

五、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.一般地，對數(shù)函數(shù)y=log“光(。>0,且。工1)的圖象和性質(zhì)如下表所示：

Ovacla>\

12

對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù);

底數(shù)只能大于0,等于I了可不行;

底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增;

底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減;

無論函數(shù)增和減，圖象都過(1,0)點(diǎn).

2.對數(shù)函數(shù)y=log”x(a>0,且aw1)中的底數(shù)對其圖象的影響

在直線尸1的右側(cè)，當(dāng)a>l時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)時(shí)，底數(shù)越小，圖

象越靠近x軸，即“底大圖低”.

六、反函數(shù)

根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式丁=優(yōu)(?！?,且。/1)(其中》是自變量，且xeR,y是

x的函數(shù)，ye(0,+8))化成對數(shù)式，即無=log〃y,于是對于任意一個(gè)ye(0,+oo),通過式

子x=log〃y都有唯---個(gè)xeR與之對應(yīng)，這樣將y看成自變量，x是y的函數(shù)，這時(shí)我

們就說x=log”y(ye(0,+oo))是函數(shù)y=a*(xGR)的反函數(shù).

13

由于習(xí)慣上將X看成自變量，而將y看成因變量，因此，我們將x=log“y中的x,y互換,

寫成y=log“x（尤e（0,+oo））,即對數(shù)函數(shù)y=log"X（xe（0,+8））是指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)（尤eR）的反

函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

例題講解

1.對數(shù)的概念

解決使對數(shù)式有意義的參數(shù)問題，只要注意滿足底數(shù)和真數(shù)的條件，然后解不等式（組）

即可.對數(shù)的概念是對數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，在互化過程中應(yīng)注意對數(shù)式和指數(shù)式之

間的對應(yīng)關(guān)系.

【例1】在對數(shù)式log（,T（3-x）中，實(shí)數(shù)x的取值范圍應(yīng)該是（D）

A.Kx<3B.x>l且x#2c.x>3D.1<水3且x#2

'3-x>0

【解析】要使對數(shù)式log：i）（3-x）有意義，需，x-l>0,解得l<x<3且/2.

x-1

2.對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算和化簡的基礎(chǔ)，所以要熟記對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)恒等

式，化簡的原則是：

（1）盡量將真數(shù)化為“底數(shù)”一致的形式；

（2）將同底的多個(gè)對數(shù)的和（差）合成積（商）的對數(shù)；

（3）將積（商）的對數(shù)分成若干個(gè)對數(shù)的和（差）.運(yùn)算時(shí)要靈活運(yùn)用對數(shù)的相關(guān)公式

求解，如log"=l（a>0,且"1）,log“b.log&a=l等.

【例2】計(jì)算：(1)log互+&(6-拒)-2*9；(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2.

【解析】⑴因?yàn)閘ogo/（道一正心儂普了

\/3+->/2

2匕丸9==2匕殳抬=后,

所以log方由比_6_炸9=_”出.

(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

3,換底公式的應(yīng)用

14

換底公式即將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底

公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e

為底的自然對數(shù).

【例3】已知=^,log74=Z?,試用表示log4948.

【解析】vW=」,，。=螞.???1(唱74="...〃=處.

⑺3lg71g7

mJ40lg48lg4lg3,a2b+a

則1(峪4948=-^—=耳+-^=6+—=--------.

49lg49lg721g722

【點(diǎn)睛】在解題的方向還不清楚的情況下，一般統(tǒng)一為常用對數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非

1的正數(shù)為底).

4.對數(shù)方程的求解

解對數(shù)方程時(shí)，(1)等號兩邊為底數(shù)相同的對數(shù)式，則真數(shù)相等；(2)化簡后得到關(guān)于

簡單對數(shù)式的一元二次方程，再由對數(shù)式與指數(shù)式的互化求解.

【例4】方程log2(91-5)=log?(3,T-2)+2的解為.

x1

【解析】..Tog式產(chǎn)-5)=log2(3--2)+2,

I1I,

.1.log2(9--5)=log2[(3--2)x4],

.-.9I-1-5=4(3I-1-2),即(31)2-12><31+27=0,即(3*-3)(3"-9)=0,解得3*=3或3r=9,

則x=l或x=2.

當(dāng)x=l時(shí)，9z-1-5<0,3網(wǎng)一2<0,故舍去.

從而x=2.

【名師點(diǎn)睛】本題所給方程的底數(shù)相同，若底數(shù)不同，則還需化為同底數(shù)再求解.另外,

解對數(shù)方程必須把所求得的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，以確保所有的真數(shù)都大于零，這是必

不可少的步驟.

5.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域

定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時(shí)，要注

意對數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)

保證底數(shù)大于0且不等于1.同時(shí)還要注意偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)，分母不能為零等.

15

求值域時(shí)，一方面要抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓

住中間變量的取值范圍.

【例51已知函數(shù)f(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；(2)求函數(shù)/(x)的最大值.

【解析】(1)由題意得廣">°,解得-6<x<2,故函數(shù)/(x)的定義域是(-6,2).

x+6>0

=—

(2)f(x)=log3(2—x)4-log3(x4-6)log3(—4-x+12)?xG(-6,2).

令，=一爐一4%+12=—(%+2)2+16,則re(0,I6].又y=log3,在re(0,16]上為增函數(shù)，，

/(x)的最大值是/(-2)=log316=41og,2.

【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的最值，一定要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.由對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合

函數(shù)的最值問題，可利用換元法求解，但要注意中間變量的取值范圍

6.對數(shù)函數(shù)的圖象

對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且axl)的圖象過定點(diǎn)(1,0),所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的

圖象過定點(diǎn)的問題，只需令真數(shù)為1,解出相應(yīng)的x,y,即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

當(dāng)?shù)讛?shù)。>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)/(x)=log"X是(0,+oo)上的增函數(shù)，當(dāng)1>1時(shí)，底數(shù)。的值越小，

函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)0<。<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)/(x)=log“尤是(0,+oo)

上的減函數(shù)，當(dāng)0<x<l時(shí)，底數(shù)a的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快.也

可作直線片1與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向

右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.

【例6】設(shè)。>0,且函數(shù)y=2+log.(x+2)的圖象恒過定點(diǎn)尸，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)是(A)

A.(-1,2)B.(2,-1)C.(3,-2)D.(3,2)

【解析】當(dāng)x+2=l,即x=-l時(shí)，y=2+logKx+2)=2恒成立，故函數(shù)y=2+log0(x+2)的圖象恒

過定點(diǎn)尸(-L2),故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題求定點(diǎn)坐標(biāo)的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)產(chǎn)log“x(a>0,且awl)的圖象過定點(diǎn)(1,0),

不必分a>1和0<a<1兩種情況討論.

16

7.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)比較對數(shù)式的大?。喝舯容^同底數(shù)的兩個(gè)對數(shù)式的大小，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性；若比較底數(shù)不同、真數(shù)相同的兩個(gè)對數(shù)式的大小，可以先用換底公式化為同底后，

再進(jìn)行比較，也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較；若比較

底數(shù)與真數(shù)都不同的兩個(gè)對數(shù)式的大小，常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.

(2)解簡單的對數(shù)不等式：形如log”x〉log*的不等式，常借助產(chǎn)log〃x的單調(diào)性求解，

如果。的取值不確定，需分。>1與0<。<1兩種情況進(jìn)行討論；形如log.的不等式，

應(yīng)將人化為以“為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助的單調(diào)性求解.

_111

【例7】已知a=23,Z?=k)g2-,c=log|-，則(C)

3T3

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>hD.c>h>a

-1.11

【解析】0<a=2-<2W=l,d=log-<iog-,l=0,c=logi—=log、3>log2=1.\c>a>b,

23J325

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題中既有指數(shù)式，又有對數(shù)式，無法直接比較大小，可借助中間量1,0

來進(jìn)行比較.

8.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

(1)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)尸Hg(x)］是由尸f(x)與度g(x)復(fù)合而成，若f(x)與g(x)的單調(diào)性

相同，則其復(fù)合函數(shù)Hg(x)］為增函數(shù)；若/'(X)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函

數(shù)(X)］為減函數(shù).

對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)片log"(X)來說，函數(shù)度log/(X)可看成是片log”與u=f(X)

兩個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性''同增異減”的規(guī)律即可判斷.另外，在求

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域.

(2)對于形如產(chǎn)log"(x)(a>0,且aWl)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

①分解成片log/，u=f(X)兩個(gè)函數(shù)；

②求f(X)的定義域；

③求U的取值范圍；

④利用尸10g,u的單調(diào)性求解.

17

【例8】討論函數(shù)/(x)=log“(3x2-2x-l)的單調(diào)性.

【解析】由3*-2xT>0,得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x〉l或矛<-'}.①當(dāng)a〉l時(shí)，若x>1,Y￡/=3f

3

-2^-1為增函數(shù)，.?.F(x)=log“(3*Vx-l)為增函數(shù).若求-1，?.?史3VVx-l為減函數(shù),

3

:.f3=loga(3系也x-1)為減函數(shù).②當(dāng)0<a<l時(shí)，若*>1,則f(x)=logfl(37-2%-1)

為減函數(shù)，若求」，則/'(*)=loga(3/^z-l)為增函數(shù).

3

【名師點(diǎn)睛】求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別

求片F(xiàn)(u),(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

9.K易錯(cuò)——忽略真數(shù)大于0

【例9】已知lgx+lgy=21g(2x-3y),求logs—的值.

2y

【錯(cuò)解】因?yàn)镮gx+lgy=21g(2x-3y),所以砂=(2%-3?,即4/一13孫+9y?=0,即

QY

(x-y)(4x-9y)=0,解得x=y或x=—y.所以log3—=log31=0或

4-Di

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中，Igx+lgy=21g(2x-3y)與孫=(2x-3y)2對的取值范圍要求是不同

的，即求解過程不等價(jià)，因此，得出解后要代入原方程驗(yàn)證.

Q

【正解】同錯(cuò)解，得至Ux=y或兀=^^.由lgx+lgy=21g(2x—3y)知，x>(),y>0,2x-3y>0,

當(dāng)％=丁時(shí)，2x-3y<0,止匕時(shí)lg(2x—3y)無意義，所以x=y,即log?±=kg1=0應(yīng)舍去；

”i

2

當(dāng)X=gy時(shí)，log3-=log3=log,(-^)=2.

45y5422

【名師點(diǎn)睛】求解有關(guān)對數(shù)恒等式或不等式的過程中，經(jīng)常需要將對數(shù)符號“脫掉”，此時(shí)

很容易忽略原式中對數(shù)的真數(shù)大于0這一隱性限制條件，從而導(dǎo)致求出的最終結(jié)果中產(chǎn)生增

根或范圍擴(kuò)大，因此要求我們對于此類題，一定要將求出的結(jié)果代入原式中進(jìn)行檢驗(yàn).

10.K易錯(cuò)——忽略對底數(shù)的討論

【例10】不等式log/4-x)>-log〕x的解集是.

18

llE^l-/-log1x=logax,

a

，原不等式等價(jià)于log<4-力>logaX，

x>0

當(dāng)a>l時(shí)，-4-x>0,解得(K;r<2.

4-x>x

x>0

當(dāng)0<a<l時(shí)，U-x>0,解得2<x<4.

4—x<x

不等式log14-力〉-loglx的解集為(0,2)U(Z4).

a

【名師點(diǎn)睛】解對數(shù)不等式時(shí)，要防止定義域擴(kuò)大，途徑有兩種：一是不同解變形，最后一

定要檢驗(yàn)；二是解的過程中加上限制條件，如正解，使定義域保持不變，即進(jìn)行同解變形，

最后通過解不等式組得到原不等式的解，這樣得出的解就不用檢驗(yàn)了.

基礎(chǔ)過關(guān)

1.log?§+k>g26等于(B)

A.1B.2C.5D.6

2.實(shí)數(shù)(-g)°+lg4+21g5的值為(C)

A.1B.2C.3D.4

3.已知函數(shù)f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),則/4(1)=(C)

A.1B.log26C.3D.log29

4.若log2〃+log/=2,則有(C)

2

A.a=2bB.b^2aC.a-AbD.4a

5.設(shè)〃log2X)=2v(x>0),則f(3)的值是(B)

A.128B.256C.512D.8

6.Iog51+log53等于(A)

3

A.0B.1C.-1D.log,—

3

1231

7.若<3=(一)3左(一)？，(?=log3,則ab,c大小關(guān)系是(A)

242

19

A.水伙。B.b<a<cC.b<c<aD.c〈伙a

3

8.若43°”,Z^O.4,c-logo.43,貝ij(D)

A.從水。B.c<.a<bC.a<c<bD.c〈欣a

9.若5"=2}=102且a6c#0,則￡+二=(A)

ab

A.2B.1C.3D.4

10.已知log/vlogib,則下列不等式一定成立的是(A)

22

A.(；)”<(￥B.L>：C.In(a-Z>)>0D.3,,-4<l

11.函數(shù)y=Jlg(x+2)的定義域?yàn)椤?-1,+8).

12.函數(shù)尸Igx的反函數(shù)是片1（/

13.函數(shù)/1(x)=5/1-Inx的定義域?yàn)?0,e]

14.設(shè)2*5'=加，且!+,=2,則加的值是__M.

xy

15.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解A=-1

能力提升

16.已知/'(x)=lg(10+%)+lg(10-%),則/'(x)是(D)

A.fQx）是奇函數(shù)，且在（0,10）是增函數(shù)

B.f（x）是偶函數(shù)，且在（0,10）是增函數(shù)

C.f（x）是奇函數(shù)，且在（0,10）是減函數(shù)

D.f（x）是偶函數(shù)，且在（0,10）是減函數(shù)

17.設(shè)正實(shí)數(shù)a,6滿足6"=2：則（C）

bbhb

A.0<-<lB.l<-<2C.2<-<3D.3<-<4

aaaa

18.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限"約為3.，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子

總數(shù)N為10*則下列各數(shù)中與絲最接近的是（D）

N

A.1033B.1053C.10"D.1093

19.若log?(log3a)=log3(log/)=log,t(log2c)=1,貝I]a,b,c的大小關(guān)系是(D)

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>d>a

20.若正實(shí)數(shù)必y滿足log?(戶3y)=logi/+log2(2y),則廣3y的最小值是(D)

20

A.12B.10C.8D.6

21.對任意的正實(shí)數(shù)x,y,下列等式不成立的是(B)

A.Igy-lgA=lg—B.1g(矛+y)=lgx+lg優(yōu).lgf=31gxD.1g-111r

xInlO

22.設(shè)函數(shù)尸/'(x)的圖象與尸log?(戶a)的圖象關(guān)于直線片-x對稱，且/'(-2)+/'(-

1)=2,則a=(D)

A.3B.1C.2D.4

23.已知函數(shù)f(x)=ln(-7-2^-3),則/'(x)的增區(qū)間為(B)

A.(-8,-i)B.(-3,-1)C.[-1,+8)D.[-1,1)

24.已知函數(shù)“x)=log1(x2_4x-5),則函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(C)

2

A.(-8,2)B.(2,+8)C.(5,+°°)D.(-8,-1)

25.已知R上的奇函數(shù)F(x)滿足當(dāng)時(shí)，f(x)=log2(1-%),則f(/XI))=(C)

A.-1B.-2C.1D.2

22

26.若實(shí)數(shù)a,6滿足a>6>l,爐log”(log力)，n=(log?/?),I=logoZ>,則加，n,/的大小

關(guān)系為(B)

A.ni>l>nB.7>77>ZZ?C.ri>l>mD.1>ni>n

27.函數(shù)f(x)=log“(3-ax)(a>0且aWl)在區(qū)間(a-2,a)上單調(diào)遞減，則a的取值

范圍為—{a|l〈aW6}.

28.已知函數(shù)/'(x)=a?2'+3-a(aGR)的反函數(shù)為尸尸(x),則函數(shù)尸尸(x)的圖象

經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).

29.若函數(shù)f(x)=log“(X,-ax+l)(a>0且aWl)沒有最小值，則a的取值范圍是—(0,

1)U[2,+8)

on4/27

10gs3S72

30.(1)2log32-log3y+log38-25；(2)log3^y-+lg25+lg4+7'°.

【解析】⑴原式=log：4—log3蓑+log：