專題 10分式的運(yùn)算（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)10種題型）（解析版）

專題10分式的運(yùn)算（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)10種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.分式的乘除知識(shí)點(diǎn)2.分式的乘方知識(shí)點(diǎn)3.同分母分式的加減法知識(shí)點(diǎn)4.異分母分式的加減法【方法二】實(shí)例探索法題型1.分式的乘法題型2.分式的除法題型3.分式的乘方題型4.分式的乘除混合運(yùn)算題型5.同分母分式的加減法題型6.通分題型7.異分母分式的加減法題型8.分式的混合運(yùn)算題型9.分式的化簡求值題型10.分式運(yùn)算的應(yīng)用【方法三】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.分式的乘除1、分式的乘法法則 兩個(gè)分式相乘，將分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，用式子表示．2、分式的除法法則 分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘． 用公式表示為．【例1】計(jì)算.(1)eq\f(ab2,2c2)·eq\f(4cd,－3a2b2)；(2)eq\f(x2＋3x,x2－9)·eq\f(3－x,x＋2).解析：找出公因式，然后進(jìn)行約分，約分時(shí)能分解因式的先分解因式．解：(1)eq\f(ab2,2c2)·eq\f(4cd,－3a2b2)＝－eq\f(ab2·4cd,2c2·3a2b2)＝－eq\f(4ab2cd,6a2b2c2)＝－eq\f(2d,3ac)；(2)eq\f(x2＋3x,x2－9)·eq\f(3－x,x＋2)＝eq\f(x（x＋3）,（x＋3）（x－3）)·eq\f(3－x,x＋2)＝eq\f(x,x－3)·eq\f(－（x－3）,x＋2)＝－eq\f(x,x＋2).方法總結(jié)：分子和分母都是單項(xiàng)式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”進(jìn)行運(yùn)算，其運(yùn)算步驟為：(1)符號(hào)運(yùn)算；(2)按分式的乘法法則運(yùn)算；(3)各分式中的分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，先因式分解，再約分．【例2】計(jì)算：(1)－3xy÷eq\f(2y2,3x)；(2)(xy－x2)÷eq\f(x－y,xy).解析：先將除法變?yōu)槌朔?，再利用分式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，做乘法運(yùn)算時(shí)要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再約分．解：(1)－3xy÷eq\f(2y2,3x)＝－3xy·eq\f(3x,2y2)＝－eq\f(9x2,2y)；(2)(xy－x2)÷eq\f(x－y,xy)＝(xy－x2)·eq\f(xy,x－y)＝－x(x－y)·eq\f(xy,x－y)＝－x2y.方法總結(jié)：確定商的符號(hào)，再把除式的分子、分母的位置顛倒與被除式相乘．【例3】計(jì)算：eq\f(a－1,a＋2)·eq\f(a2－4,a2－2a＋1)÷eq\f(1,a2－1).解析：先將除法變?yōu)槌朔ǎ俑鶕?jù)分式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．解：原式＝eq\f(a－1,a＋2)·eq\f(（a＋2）（a－2）,（a－1）2)·eq\f(（a＋1）（a－1）,1)＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.方法總結(jié)：分式乘除混合運(yùn)算要注意以下幾點(diǎn)：(1)利用分式除法法則把除法變成乘法；(2)進(jìn)行約分，計(jì)算出結(jié)果．特別提醒：分式運(yùn)算的最后結(jié)果是最簡分式或整式．知識(shí)點(diǎn)2.分式的乘方分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即．【例4】下列運(yùn)算結(jié)果不正確的是()A．(eq\f(8a2bx2,6ab2x))2＝(eq\f(4ax,3b))2＝eq\f(16a2x2,9b2)B．[－(eq\f(x3,2y))2]3＝－(eq\f(x3,2y))6＝－eq\f(x18,64y6)C．[eq\f(y－x,（x－y）2)]3＝(eq\f(1,y－x))3＝eq\f(1,（y－x）3)D．(－eq\f(xn,y2n))n＝eq\f(x2n,y3n)解析：A、B、C計(jì)算都正確；D中(－eq\f(xn,y2n))n＝(－1)neq\f(xn2,y2n2)，原題計(jì)算錯(cuò)誤．故選D.方法總結(jié)：分式的乘方就是分子、分母分別乘方，最后化為最簡分式．【例5】計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘方法則的運(yùn)用．【例6】計(jì)算：(1)(－eq\f(x2,y))2·(－eq\f(y2,x))3·(－eq\f(1,x))4；(2)eq\f(（2－x）（4－x）,x2－16)÷(eq\f(x－2,4－3x))2·eq\f(x2＋2x－8,（x－3）（3x－4）).解析：(1)先算乘方，然后約分化簡，注意符號(hào)；(2)先算乘方，再將除法轉(zhuǎn)換為乘法，把分子、分母分解因式，再進(jìn)行約分化簡．解：(1)原式＝eq\f(x4,y2)·(－eq\f(y6,x3))·eq\f(1,x4)＝－eq\f(y4,x3)；(2)原式＝eq\f(（x－2）（x－4）,（x＋4）（x－4）)·eq\f(（3x－4）2,（x－2）2)·eq\f(（x－2）（x＋4）,（x－3）（3x－4）)＝eq\f(3x－4,x－3).方法總結(jié)：進(jìn)行分式的乘除、乘方混合運(yùn)算時(shí)，要嚴(yán)格按照運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算．先算乘方，再算乘除．注意結(jié)果一定要化成一個(gè)整式或最簡分式的形式．知識(shí)點(diǎn)3.同分母分式的加減法同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．【例7】計(jì)算：(1)eq\f(a2＋1,a＋b)－eq\f(b2＋1,a＋b)；(2)eq\f(2,x－1)＋eq\f(x－1,1－x).解析：按照同分母分式相加減的方法進(jìn)行運(yùn)算．解：(1)eq\f(a2＋1,a＋b)－eq\f(b2＋1,a＋b)＝eq\f(a2＋1－（b2＋1）,a＋b)＝eq\f(a2＋1－b2－1,a＋b)＝eq\f(a2－b2,a＋b)＝eq\f(（a＋b）（a－b）,a＋b)＝a－b；(2)eq\f(2,x－1)＋eq\f(x－1,1－x)＝eq\f(2,x－1)－eq\f(x－1,x－1)＝eq\f(2－（x－1）,x－1)＝eq\f(3－x,x－1).方法總結(jié)：(1)當(dāng)分子是多項(xiàng)式，把分子相減時(shí)，千萬不要忘記加括號(hào)；(2)分式加減運(yùn)算的結(jié)果，必須要化成最簡分式或整式；(3)當(dāng)兩個(gè)分式的分母互為相反數(shù)時(shí)可變形為同分母的分式．知識(shí)點(diǎn)4.異分母分式的加減法異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．【例8】計(jì)算：(1)eq\f(x2,x－1)－x－1；(2)eq\f(x＋2,x2－2x)－eq\f(x－1,x2－4x＋4).解析：(1)先將整式－x－1變形為分母為x－1的分式，再根據(jù)同分母分式加減法法則計(jì)算即可；(2)先通分，然后進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算，最后要注意將結(jié)果化為最簡分式．解：(1)eq\f(x2,x－1)－x－1＝eq\f(x2,x－1)－eq\f(x2－1,x－1)＝eq\f(1,x－1)；(2)eq\f(x＋2,x2－2x)－eq\f(x－1,x2－4x＋4)＝eq\f(（x＋2）（x－2）,x（x－2）2)－eq\f(x（x－1）,x（x－2）2)＝eq\f(x2－4－x2＋x,x（x－2）2)＝eq\f(x－4,x3－4x2＋4x).方法總結(jié)：在分式的加減運(yùn)算中，如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．【例9】先化簡，再求值：eq\f(3,x－3)－eq\f(18,x2－9)，其中x＝2016.解析：先通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，后約分化簡，最后代入求值．解：原式＝eq\f(3,x－3)－eq\f(18,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(3（x＋3）－18,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(3（x－3）,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(3,x＋3)，當(dāng)x＝2016時(shí)，原式＝eq\f(3,2019).方法總結(jié)：在解題的過程中要注意通分和化簡．【例10】已知下面一列等式：1×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)；eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)；eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)；eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5)；…(1)請(qǐng)你從左邊這些等式的結(jié)構(gòu)特征寫出它的一般性等式；(2)驗(yàn)證一下你寫出的等式是否成立；(3)利用等式計(jì)算：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋eq\f(1,（x＋2）（x＋3）)＋eq\f(1,（x＋3）（x＋4）).解析：(1)觀察已知的四個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)等式的左邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)之積，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，后面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比前面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母大1，并且第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與等式的序號(hào)相等，等式的右邊是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，據(jù)此可寫出一般性等式；(2)根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可驗(yàn)證；(3)根據(jù)(1)中的結(jié)論求解．解：(1)eq\f(1,n)·eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)∵eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n＋1,n（n＋1）)－eq\f(n,n（n＋1）)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)·eq\f(1,n＋1)，∴eq\f(1,n)·eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(3)原式＝(eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1))＋(eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,x＋2))＋(eq\f(1,x＋2)－eq\f(1,x＋3))＋(eq\f(1,x＋3)－eq\f(1,x＋4))＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋4)＝eq\f(4,x2＋4x).方法總結(jié)：本題是尋找規(guī)律的題型，考查了學(xué)生分析問題、歸納問題及解決問題的能力．總結(jié)規(guī)律要從整體和部分兩個(gè)方面入手，防止片面總結(jié)出錯(cuò)誤結(jié)論．【方法二】實(shí)例探索法題型1.分式的乘法1.計(jì)算（1）； （2）；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）； （2）；2.計(jì)算（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】考察分式的乘法法則，注意先約分，后計(jì)算．3.計(jì)算：．【答案】．【解析】考察分式的乘法法則，注意先約分，后計(jì)算．4.計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘法法則的運(yùn)用，注意先約分，后計(jì)算．5.計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘法法則的運(yùn)用，注意先約分，后計(jì)算．6.計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘法法則的運(yùn)用，注意先約分，后計(jì)算．題型2.分式的除法7．（2020秋?嘉定區(qū)期末）計(jì)算：＝．【分析】首先除法邊乘法，同時(shí)進(jìn)行分解因式，再約分即可．【解答】解：原式＝×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的乘除法，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式的乘除法計(jì)算．8．（2020秋?黃浦區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】先把各個(gè)分式的分子、分母因式分解，根據(jù)分式的除法法則、約分法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法則、約分法則是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：÷．【分析】直接利用分式的分子與分母分解因式，進(jìn)而化簡得出答案．【解答】解：原式＝÷＝?＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．題型3.分式的乘方10.下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（ ）．A、 B、C、 D、【答案】C【解析】正確答案為．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘法法則的運(yùn)用．11.計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查分式的乘方法則的運(yùn)用．題型4.分式的乘除混合運(yùn)算12．（2021秋?徐匯區(qū)月考）計(jì)算：．【分析】先根據(jù)乘方法則計(jì)算，再把除法化為乘法，再約分得到答案．【解答】解：原式＝﹣??＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．13.計(jì)算：．【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題是分式乘除的混合運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)一定要注意運(yùn)算順序．14.計(jì)算：．【答案】．【解析】 ．【總結(jié)】本題是分式乘除的混合運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)一要注意運(yùn)算順序，二要注意先約分后化簡．題型5.同分母分式的加減法15．（2021秋?普陀區(qū)期末）計(jì)算：＝．【分析】根據(jù)分式加減法的法則計(jì)算，即可得出結(jié)果．【解答】解：＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減法，掌握分式的加減法的法則是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：＝．【分析】直接利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的加減法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17．（2021秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：＝．【分析】首先把兩分式分母化成相同，然后進(jìn)行加減運(yùn)算．【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案為x+y．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減運(yùn)算．解決本題首先應(yīng)通分，最后要注意將結(jié)果化為最簡分式．題型6.通分18．（2022·上海·七年級(jí)期末），的最簡公分母為___．【答案】a（a+b）（a-b）【分析】確定最簡公分母的方法是：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】，的分母分別是：a（a-b），a（a+b），∴它的最簡公分母是：a（a+b）（a-b）．故答案為a（a+b）（a-b）．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡公分母，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個(gè)分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．19.將分式化成分母為x（x﹣2）的分式：．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，直接計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，在分子分母上同時(shí)乘以（x﹣2），，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的通分，解決此題的關(guān)鍵是能熟記分式的基本性質(zhì)，要注意分子分母必須同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或式子）．題型7.異分母分式的加減法20．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）化簡：【答案】-【分析】先通分化為同分母分式再進(jìn)行相加減,最后化為最簡分式即可．【詳解】解：原式=====．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算,掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．（2022·上海·七年級(jí)期末）計(jì)算：【答案】【分析】找出最簡公分母，先通分，再相加減，最后化簡即可．【詳解】解：=====．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，解題關(guān)鍵是找出最簡公分母和通分，將異分母化成同分母．22．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）閱讀下列材料，解決問題：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過對(duì)簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說明．將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：＝．這樣，分式就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為．（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝．【答案】（1）；（2）2或4或-10或16【分析】（1）按照定義拆分即可，＝．（2）先將拆分為一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式，＝，若要值為整數(shù)，只需為整數(shù)即可，故x=2或4或-10或16．【詳解】（1）＝．（2）＝若要值為整數(shù)，只需為整數(shù)即可當(dāng)x=2時(shí)當(dāng)x=4時(shí)當(dāng)x=-10時(shí)當(dāng)x=16時(shí)故x=2或4或-10或16．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡構(gòu)造新形式以及求使分式值為整數(shù)的未知數(shù)，理解逆用分?jǐn)?shù)加減法的化簡方法是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上海·七年級(jí)期末）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并證明你的結(jié)論；（3）求值：．【答案】（1），，1；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)給出的規(guī)定計(jì)算即可；（2）根據(jù)給出的規(guī)定證明；（3）運(yùn)用加法的交換律結(jié)合律，再根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）=，=，,+=1，（2），理由為：，則．（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．題型8.分式的混合運(yùn)算24．（2022?大連二模）化簡：．【分析】將能進(jìn)行因式分解的分母進(jìn)行因式分解，然后先算除法，再算減法．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．25．（2021秋?徐匯區(qū)月考）計(jì)算：．【分析】先根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行化簡，再通分，最后根據(jù)同分母的分式相減法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?﹣＝﹣＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．26．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）化簡：（）?（）．【分析】先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的乘法．【解答】解：原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，理解分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則，掌握通分和約分的技巧是解題關(guān)鍵．27．（2020秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：（1+）÷．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．28．（2020秋?靜安區(qū)期末）÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）【分析】直接利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝÷（?）+（a﹣b）?＝?﹣b＝2﹣b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．題型9.分式的化簡求值29.化簡求值：(1)eq\f(3x＋3y,2x2y)·eq\f(4xy2,x2－y2)，其中x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,3)；(2)eq\f(x2－x,x＋1)÷eq\f(x,x＋1)，其中x＝eq\r(3)＋1.解析：(1)利用分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算化簡．(2)將除法轉(zhuǎn)化為乘法后約分化簡，然后代入求值．解：(1)原式＝eq\f(3（x＋y）,2xy·x)·eq\f(2xy·2y,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(6y,x（x－y）)，當(dāng)x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,3)時(shí)，原式＝24；(2)原式＝eq\f(x2－x,x＋1)·eq\f(x＋1,x)＝eq\f(x（x－1）,x＋1)·eq\f(x＋1,x)＝x－1，當(dāng)x＝eq\r(3)＋1時(shí)，原式＝eq\r(3).方法總結(jié)：根據(jù)分式乘除法法則將代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算化簡，再代入求值．30.化簡求值：(eq\f(2xy2,x＋y))3÷(eq\f(xy3,x2－y2))2·[eq\f(1,2（x－y）)]2，其中x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3).解析：按分式混合運(yùn)算的順序化簡，再代入數(shù)值計(jì)算即可．解：原式＝eq\f(8x3y6,（x＋y）3)·eq\f(（x＋y）2（x－y）2,x2y6)·eq\f(1,4（x－y）2)＝eq\f(2x,x＋y).將x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)代入，得原式＝－6.方法總結(jié)：先算乘方再算乘除，將原式化為最簡形式，是解決此類問題的常用方法．31．（2021秋?普陀區(qū)期末）先化簡，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．【分析】原式小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝＝，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．32．（2021秋?寶山區(qū)期末）先化簡，再求值（+1），其中x為滿足x2+x﹣3＝0．【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，整體代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：原式＝（+）?＝?（x+2）＝x2+x+2，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝2+3＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．33．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）先化簡，再求值：÷（1+），其中x是不等式組的整數(shù)解．【分析】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后再解一元一次不等式組，把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：÷（1+）＝÷＝?＝，，解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣1，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，∴該不等式組的整數(shù)解為：﹣1，0，1，2，∵x≠0，x2﹣1≠0，∴x≠0，x≠±1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡求值，一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．34．（2021秋?普陀區(qū)期末）先化簡，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．【分析】原式小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝＝，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．35．（2021秋?寶山區(qū)期末）先化簡，再求值（+1），其中x為滿足x2+x﹣3＝0．【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，整體代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：原式＝（+）?＝?（x+2）＝x2+x+2，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝2+3＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．36．（2021秋?烏拉特前旗期末）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣1．【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，再把除法變成乘法，求出結(jié)果，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝[﹣]÷＝?＝，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原式＝＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類問題時(shí)要注意把分式化為最簡形式，再代入求值．題型10.分式運(yùn)算的應(yīng)用37.老王家種植兩塊正方形土地，邊長分別為a米和b米(a≠b)，老李家種植一塊長方形土地，長為2a米，寬為b米．他們種的都是花生，并且總產(chǎn)量相同，試問老王家種植的花生單位面積產(chǎn)量是老李家種植的單位面積產(chǎn)量的多少倍？解析：不妨設(shè)花生的總產(chǎn)量是1，老王家種植的總面積為(a2＋b2)平方米，老李家種植的總面積為2ab平方米，分別求出單位面積產(chǎn)量，再相除即可．解：設(shè)花生的總產(chǎn)量是1，eq\f(1,a2＋b2)÷eq\f(1,2ab)＝eq\f(2ab,a2＋b2)(倍)．答：老王家種植的花生單位面積產(chǎn)量是老李家種植的單位面積產(chǎn)量的eq\f(2ab,a2＋b2)倍．方法總結(jié)：此題考查分式乘除運(yùn)算的運(yùn)用，注意理清題意，正確列式計(jì)算即可．【方法三】成果評(píng)定法一、單選題1．（22·23上·嘉定·期末）計(jì)算分式結(jié)果是（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算法則，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（19·20上·金山·期中）一人自A地步行到B地，速度為a，自B地步行返回到A地，速度為b，這人自A地到B地再返回A地的平均速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)A地到B地路程為“1”，先分別計(jì)算出A到B及B到A的時(shí)間，然后利用平均速度=總路程除以總時(shí)間，進(jìn)行列式化簡即可.【詳解】設(shè)A地到B地路程為“1”，∴從A到B的時(shí)間為：，從B到A的時(shí)間為：，∴平均速度為：.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式及分式化簡，掌握平均速度的求法是解題的關(guān)鍵.3．（19·20·青浦·期中）已知，則A的取值是A．-3 B．3 C．-6 D．6【答案】C【分析】已知等式右邊兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則變形，利用多項(xiàng)式相等的條件即可求出a的值.【詳解】，，得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，∴A+11=5，-2A-11=1，∴A=-6.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法,分式加減法的關(guān)鍵是通分,通分的關(guān)鍵是找最簡公分母4．（19·20上·浦東新·階段練習(xí)）化簡的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．－1【答案】C【分析】將原式括號(hào)中的兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后即可得到最簡結(jié)果．【詳解】故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，同時(shí)注意最后結(jié)果必須為最簡分式．5．（20·21上·嘉定·期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．m B．－m C．m＋1 D．m－1【答案】A【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】原式＝＝=＝m，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（22·23上·徐匯·期末）甲、乙兩水管向水池中注水，單獨(dú)開甲管要小時(shí)注滿水池，單獨(dú)開乙管要小時(shí)注滿水池，若兩管同時(shí)打開要（）小時(shí)注滿水池．A． B． C． D．【答案】D【分析】注滿空池的時(shí)間工作總量甲乙效率之和，設(shè)工作總量為1，求出甲、乙的工作效率，然后求共同工作的時(shí)間．【詳解】解：設(shè)工作量為1，乙的工作效率分別為、，根據(jù)題意得小時(shí)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式，讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系，當(dāng)題中沒有一些必須的量時(shí)，為了簡便，可設(shè)其為1．二、填空題7．（21·22上·金山·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法法則求解即可．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的乘法法則．8．（22·23上·松江·階段練習(xí)）我們定義一種新運(yùn)算：記，如果設(shè)為代數(shù)式，則（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)可得，據(jù)此把變形求解即可．【詳解】∵，∴可變形為：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及分式的乘除混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．9．（21·22上·普陀·期末）計(jì)算：＝．【答案】【分析】根據(jù)分式加減法的法則計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（22·23上·上?！て谥校┮阎瑒t．【答案】119【分析】根據(jù)已知可得，然后再利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，，即，，，，∴，∴，∴故答案為：119．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．11．（22·23上·閔行·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先將原式轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減，再進(jìn)行計(jì)算，最后約分即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，熟知分式加減的法則，知道和互為相反數(shù)，將原式轉(zhuǎn)化為同分母的分式相加減是解題關(guān)鍵．12．（22·23上·寶山·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)異分母分式加法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式加法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（22·23上·嘉定·期末）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式的變形得到，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，異分母分式加法，正確得到是解題的關(guān)鍵．14．（20·21上·嘉定·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式的除法法則即可得．【詳解】原式，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15．（20·21上·浦東新·期中）公路全長千米，騎車小時(shí)可到達(dá)，要提前40分鐘到達(dá)，每小時(shí)應(yīng)多走千米．【答案】【分析】根據(jù)題意先求出原來每小時(shí)走的路程，再求出提前40分鐘到達(dá)，每小時(shí)應(yīng)走的路程，最后求出每小時(shí)應(yīng)多走的路程．【詳解】解：公路全長千米，騎車小時(shí)可到達(dá)，則每小時(shí)走千米，要提前40分鐘到達(dá)，所用時(shí)間為小時(shí)，則每小時(shí)應(yīng)走千米，每小時(shí)應(yīng)多走：（千米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．16．（22·23上·黃浦·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】把分子分母分解因式，再約分即可得到答案．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘法運(yùn)算，掌握“分式的乘法的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．17．（