高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)大全空間向量與立體幾何

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié)空間向量及立體幾何

一、考點概要：

1、空間向量及其運算

(1)空間向量的基本學(xué)問：

①定義：空間向量的定義和平面對量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向

量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。

②空間向量基本定理：

i定理：假如三個向量.最?不共面,那么對于空間任一向量亙，存在

唯一的有序?qū)崝?shù)組x、v、z,使：=盤+)a+母。且把%、叫做空間的一個基底,丕至亙都

叫基向量。

五正交基底：假如空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個

基底叫正交基底。

iii單位正交基底：當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單

位正交基底，通常用卜J''表示。

iv空間四點共面：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點，則對空間中隨意一點

P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、丫、z,使.=歷+z五。

③共線向量(平行向量)：

i定義：假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些

向量叫做共線向量或平行向量，記作跡。

ii規(guī)定：零向量及隨意向量共線；

道共線向量定理：對空間隨意兩個向量-"平行的充要條件是:存在

實數(shù)入，使3=花。

④共面對量：

i定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面對量；空間的隨意兩

個向量都是共面對量。

五向量及平面平行：假如直線0A平行于平面或工在a內(nèi)，則說向量巨平行于

平面a,記作/二。平行于同一平面的向量，也是共面對量。

出共面對量定理：假如兩個向量與、且不共線，則向量巨及向量々、￡共面的充要條件是：存在實數(shù)對

X、y,使方=必+同。

iv空間的三個向量共面的條件：當且、4、五都是非零向量時，共面對量定理

事實上也是巨、J、￡所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還須要證明其中一條直線上

有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。

v共面對量定理的推論：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序

實數(shù)對x、y,使得礪=曲+》磁,或?qū)τ诳臻g隨意肯定點0,有癡=丁+礪+V庇。

⑤空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量巨、亙,在空間任取一點0,作一=:.=占

（兩個向量的起點肯定要相同），則叫做向量之及上的夾角，記作上包三，且心"%.

規(guī)定3=<a,至>e[O.TT]：

6=0。0°<0<90°0=90°900<&<180°8=180°

⑥兩個向量的數(shù)量積:

i定義：已知空間兩個非零向量與、￡,則同忖cos叫做向量入士的數(shù)量

積，記作巫，即：一斗田a&萬〉。

ii規(guī)定：零向量及任一向量的數(shù)量積為0。

適留意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量亙、互的點積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個實

數(shù)，它等于兩向量的模及其夾角的余弦值。

iv數(shù)量積的幾何意義：邁叫做向量亙在亙方向上的投影（其中0為向量五和亙的

夾角）。

即：數(shù)量積也等于向量色的模及向量2在巴方向上的投影的乘積。

V基本性質(zhì):

Vi運算律：

校換律：a^b-b^a；

*分配律:[a+b\c-ac+bc；

啜乘結(jié)合律：|44|石=。?1惑|二工|以石|(其中4為實數(shù))

(2)空間向量的線性運算：

①定義：及平面對量運算一樣，空間向量的加法、減法及數(shù)乘向量運算如下：

②加法：OB=OA-^-AB=a+b③減法：而=勿-礪=2-4

④數(shù)乘向量：礪=總(建幻⑤運算律:i加法交換律：衽會注日加法結(jié)合律：

(a+?+c=a+(X+c)適數(shù)乘安排律：40+各)=總+宓

二、復(fù)習(xí)點睛：

1、立體幾何初步是側(cè)重于定性探討，而空間向量則側(cè)重于定量探討。空間向量的引入，為解

決三維空間中圖形的位置關(guān)系及度量問題供應(yīng)了一個非常有效的工具。

2、依據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐

標系，形成了用空間坐標探討空間圖形的坐標法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二

進行向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想及等價轉(zhuǎn)化思想的運用。

3、實數(shù)的運算及向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)分，向量的數(shù)量積滿意交換律和安排律，但不滿

意結(jié)合律，因此在進行數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不行以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平

方差公式仍舊適用,數(shù)量積的運算在很多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，

下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用：⑷叩,I小呵。

2、空間向量的坐標表示：

(1)空間直角坐標系：

①空間直角坐標系O-xyz,在空間選定一點。和一個單位正交基底匕工，以點

0為原點，分別以】3、工的方向為正方向建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，點0

叫做原點，向量三￡叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面,

yOz平面,zOx平面。

②右手直角坐標系：右手握住Z軸，當右手的四指從正向X軸以90。角度轉(zhuǎn)向正

向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；

y

③構(gòu)成元素：點（原點）、線（X、y^z軸）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；

④空間直角坐標系的畫法:作空間直角坐標系O-xyz時,一般使Nx0y=135。（或

45°）,Zy0z=90°,z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z

軸）的一半；

（2）空間向量的坐標表示：

①已知空間直角坐標系和向量2,且設(shè)五上為坐標向量（如圖），

由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組回叫做向量在此直角坐標系中的坐標，記作

②在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任一點A,對應(yīng)一個向量紅，若

的=3+，+z"則有序數(shù)組（x,y,z）叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記為A（x,y,z）,其

中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標，寫點的坐標時，三個坐標間的

依次不能變。

③空間任一點的坐標的確定：過P分別作三個及坐標平面平行的平面（或垂面）,

分別交坐標軸于A、B、C三點，|x|=|0A|,|y|=|0B|,|z|=|0C|,當紅及工的方向相

同時，x>0,當CM及7的方向相反時,x<0,同理可確y、z（如圖）。

④規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標系原點，于是，空間隨意一個向量及它的終點坐標一一對應(yīng)。

⑤一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去

起點的坐標。

設(shè)金（電乃,馬）,8（—Z?）,

則：出=。一—。月=（々，為，Z2）一（與，必，21）=（小一為，必一乃，Z2-Z1）

（3）空間向量的直角坐標運算：

（

設(shè)以=4卜的，％'%=風(fēng)與，b3K則:

①

4+力=（/,叼，％）+[4,瓦,％?=ta2+與，％+與）；

a—b=\"1，&2,口3]一]4,b??=[?]一自，以z—占?,以3-^3I>

③4d二兄1/,以2,以31=i2，，兄42，兄以3I（4WR）；

④《力=1%,以2，%1114，%,%,=7自+。我2+4必；

⑤a#否Q&=—=—=2或aH2=%=祖,a=毋?，a=眄；

瓦瓦%23

⑥a2.^<=>以自+嫁>2+?物=0；

⑦空間兩點間距離：6舄=4馬一再）2+（乃一必，+92-4）2；

的一公匕-必Z「Z]]

⑧空間線段弛0竺義強也生也的中點M（x,y,z）的坐標:〔2'2’2人

⑨球面方程：X"2+Z」2

二、復(fù)習(xí)點睛：

4、過定點0,作三條相互垂直的數(shù)軸，它們都以0為原點且一般具有相同的長度單位。這三

條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標軸。通常把x軸和y軸配置在水平

面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標軸就組成了一個空間

直角坐標系，點。叫做坐標原點。

5、空間直角坐標系中的特別點：

(1)點(原點)的坐標:(0,0,0);

(2)線(坐標軸)上的點的坐標：x軸上的坐標為(x,0,0),y軸上的坐標為(0,y,0),z

軸上的坐標為S,0,z)；

(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內(nèi)的點的坐標：平面上的坐標為(x,y,0)、平

面上的坐標為(0,y,z)、平面上的坐標為(x,0,z)

6、要使向量亙及z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量向及哪一個坐標軸垂直，只要向量工的

相應(yīng)坐標為0即可。

7、空間直角坐標系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy

平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平

行于平面xOy平面；

8、只要將和1=4，+//+/)代入,即可證明空間向量的運算法則及平面對量

一樣；

9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成.隨意不共

面的三個向量儲瓦舊都可以構(gòu)成空間的一個基底,此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。

立體幾何中的向量方法

1.空間向量的坐標表示及運算

(1)數(shù)量積的坐標運算

設(shè)a=(ae&)>b—(b\,bz,bi),

則①a士萬=(ai±A,a2+bi,a3+bd;

②4a=(4a”4a2,4a3)；

(§)3,Z>—a26+Q3th.

(2)共線及垂直的坐標表示

設(shè)a=(a”4)，b—(.bnbi,bi),

貝!ja〃2a=4A,a2=a3=2^(2GR),

aJ_g>a?Z>=0oai8i+a26+a3&=0(a,6均為非零向量).

(3)模、夾角和距離公式

設(shè)a=(3i,32,a。，b=(Z>i,bi,2%)，

則Ia|=山?a=7a：+1+a；,

,,、a?babi+aibi

C°S6b=7^7=G+a升霜2.+醫(yī)+醫(yī)

設(shè)4(a”bnci)>B(a2,th,C2),

-

則dAB=I葡=7—3231―S-―bi-b\―M-―Q-Ci—\

2.立體幾何中的向量方法

(1)直線的方向向量及平面的法向量的確定

①直線的方向向量：】是空間始終線，48是直線1上隨意兩點，則稱卷為直線1的方向向量，及宓

平行的隨意非零向量也是直線1的方向向量.

②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,8是平面。內(nèi)兩不共線向量，A為平面。的法向量，則

n,a=Q,

求法向量的方程組為人

n?b=n0.

(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系

①設(shè)直線Z和乙的方向向量分別為匕和外，則Z〃】2(或人及乙重合)=玲〃心

②設(shè)直線1的方向向量為%及平面a共面的兩個不共線向量力和V2,則1〃?；騦uao存在兩

個實數(shù)x,y,使v=xvi-icyv2.

③設(shè)直線1的方向向量為v,平面a的法向量為u,則1〃a或7caoid_a

④設(shè)平面a和尸的法向量分別為u”也,則a"B0ujlu?

(3)用向量證明空間中的垂直關(guān)系

①設(shè)直線Z和L的方向向量分別為匕和V2,則4_1_120匕1小匕,嘎=0.

②設(shè)直線1的方向向量為V,平面a的法向量為u,則7±a=v〃u.

③設(shè)平面。和￡的法向量分別為由和貝!JaJLB0u」uQUi?u2=Q.

(4)點面距的求法

如圖，設(shè)"為平面a的一條斜線段，A為平面a的法向量，則8到平面a的距離占維區(qū)

\n\

=助學(xué)做博----

一種思想

向量是既有大小又有方向的量，而用坐標表示向量是對共線向量定理、共面對量定理和空間向量基本

定理的進一步深化和規(guī)范，是對向量大小和方向的量化：

(1)以原點為起點的向量，其終點坐標即向量坐標；

(2)向量坐標等于向量的終點坐標減去其起點坐標.

得到向量坐標后，可通過向量的坐標運算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計算空間成角和距離等問題.

三種方法

主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問題：

'直線及直線平行

(1)平行，直線及平面平行

、平面及平面平行

'直線及直線垂直

(2)垂直《直線及平面垂直

、平面及平面垂直

(3)點到平面的距離

求點到平面距離是向量數(shù)量積運算(求投影)的詳細應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線及平面距離

和平面及平面距離的基礎(chǔ).

雙基自測

1.兩不重合直線A和4的方向向量分別為外=(1,0,-1),丹=(-2,0,2),則A及L的位置關(guān)系

是().

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

解析VV2=-2VI,:、V//V2.

答案A

2.已知平面a內(nèi)有一個點"(L-1,2),平面a的一個法向量是A=(6,—3,6),則下列點尸中在

平面a內(nèi)的是().

A.尸(2,3,3)B.尸(一2,0,1)

C.尸(一4,4,0)D.A3,-3,4)

解析,：n=(6,-3,6)是平面。的法向量，

；.n工蛇在選項A中，萌三(1,4,1),???〃?荔-0.答案A

3.(2011?唐山月考)已知點4B,CW平面a,點甩a,則力?宓=0,且力?亦=0是力?反=0

的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

力?宓=0_——

解析由，，得心?{AB—AC)=0,

.力.我=0

即亦?花=0,亦即亦?應(yīng)三0,反之，若病?灰=0,

則亦?(衣一福=0=亦?好力?就未必等于0.

答案A

4.(人教A版教材習(xí)題改編)已知a=(—2,-3,1),6=(2,0,4),。=(一4,-6,2),則下列結(jié)論正

確的是().

A.a〃c,b〃用.a/7b,aJLc

C.a〃c,a±l^,以上都不對

解析Vc=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,:.a〃c,

又a?8=-2X2+(—3)X0+lX4=0,：.a±b.

答案C

5.(2012?舟山調(diào)研)已知宓=(2,2,1),設(shè)=(4,5,3),則平面上的單位法向量是.

解析設(shè)平面被7的法向量A=(x,y,z).

［辦?〃=(),⑵r+2y+z=0,

則［衣?片0,即14x+5y+3z=0.

'_1

令z=l,得“，5'：.n=一1,11,.,.平面包?的單位法向量為土方=土國—11

.7=-b

…22)

答案土用T3j

考向一利用空間向量證明平行問題

【例1】“如圖所示，在正方體被力■4呂G〃中，M、〃分別是GC、5c的中點.求證：例V〃平面4切.

［審題視點］干脆用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明.

證明法一如圖所示，以〃為原點，」以、DC、曲所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐

標系，設(shè)正方體的棱長為1,

則?0,1,年,1,1),Z?(0,0,0),

4(1,0,1),夙1,1,0),

于是麻=&0,胃，

設(shè)平面4切的法向量是A=(x,y,z).

-2J"—"0,

則z??扇=0,且z??況=0,得｛

取x=l,得y=-1,z=-l..,.??=(1,—1,—1).

又的?&0,?(1,—1,—1)=0,

.?.血Lm又脈平面4切，

.?.仞加平面ABD.

法二施=山—々=46—：*=：(9L助)=：況1,

乙乙乙乙

:麗瓜,又丁融及ZH不共線，：.MN//DAX,

又?.?何平面4期4代平面4被工松〃平面4薇

【訓(xùn)練1】如圖所示，平面9_L平面板9,ABCD為正方形,2X9是直角三角形，且用=止=2,

E、F、G分別是線段用、PD、勿的中點.求證：PB〃平面EFG.

證明?.?平面44〃_L平面四切且池力為正方形，

；.AB、APyM兩兩垂直，以2為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則2(0,0,0)、

8(2,0,0)、C(2,2,0)、"(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、尸(0,1,1)、G(l,2,0).

.,.眸(2,0,-2),您=(0,-1,0),而=(1,1,-1),

設(shè)眸后+匕帝

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+力(1,1,-1),

1=2,

...?t—s=0,解得s=b=2.

、一t=12,

.?.眸2磅+2由

又???威及應(yīng)不共線，，急威及磨面.

*；P及平面EFG,.?.陽〃平面班;.

考向二利用空間向量證明垂直問題

【例2】》如圖所示，在棱長為1的正方體以醫(yī)48G中，E,夕分別是棱佃質(zhì)上的動點，且如'

=BF=x,其中0W盡1,以0為原點建立空間直角坐標系dxjz

(1)求證4尸_LG及

(2)若A,E,F,G四點共面,求證：彳勿=3宿+布

［審題視點］本題已建好空間直角坐標系，故可用向量法求解，要留意找準點的坐標.

證明(1)由已知條件

4(1,0,1)，氏1一區(qū)1,0),61(0,1,1)，夕(1,%0),

布=(-x,L-1),竟=(LX-1,-1),

則箱?竟=-x+(x—l)+l=O,

：XFLC^E,即4￡LGW

(2)"(一為1,-1),A^=(-l,1,0),

KE=(0,x,—1),

’-x=一4，

設(shè)入蔗+〃檢＜1=4+nx,

、-1=一〃，

解得4=J，〃=L

Li

/.A^F=\^C\+A^E.

方法總結(jié)》證明直線及直線垂直，只須要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線及平面垂直，平面及平

面垂直可轉(zhuǎn)化為直線及直線垂直證明.

【訓(xùn)練2】如圖所示，在四棱錐?施力中，用_1底面血力，ABVAD,ACVCD,乙超6-60°,PA=

AB=BC,￡是尸。的中點.證明:

(2)血_平面胸

證明AB、AD、"(兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)PA=AB=BC=1,則2(0,0,1).

(1)VZAffC^60°,

△腕為正三角形.

1亞I)

,0,

???4半￡4，2)

設(shè)〃(0,匕0),由4CJ_C9,得衣?宓=0,

即尸乎，則/o,乎，o］，

J\6J

???研-/嚕，°!.又能=1坐9

:.施.^=-+解x率=0,

2464

.?.血力，即/及磔

1_、

(2)法一VAO,0,1),...昨[0,吉，-1.

又宓?直=乎、今日+]*(-1)=0,

TtJ乙

...加行BPPDVAE.7B=(1,0,0),...力?90,

：.PDVAB,又四0四=4.,.勵JL平面力被

法二~^=(1,0,0),速=平,斗

設(shè)平面4必的一個法向量為A=(x,y,z),

'：Tb//n,.?.血_平面板即也平面儂：

考向三利用向量求空間距離

【例3】??在三棱錐西61中，是邊長為4的正三角形，平面必C_L平面版7,SA=SC=2y［3,M、

〃分別為被即的中點，如圖所示，求點6到平面的的距離.

［審題視點］考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯.

解取4。的中點。，連接。S、OB.

'：SA=SC,AB=BC,

：.ACLSO,ACLBO.

?平面弘C_L平面ABC,平面SACD平面ABC=AC,

，S0_L平面97,:.SO;BO.

如圖所示，建立空間直角坐標系ax%,

則5（0,2小,0）,6,（-2,0,0）,5（0,0,2^2）,

Mb小,o）,M0,小,也）.

.?.9（3,小,0）,昨（一1,0,的，

好（一1,小,0）.

設(shè)z?=（x,y,z）為平面OW的一個法向量,

\VM,n—3x+-\/3y=Q,

則J取z=l,

[詼?n=-x+-\[2z=0,

則尸蛆，y=—\/6,：.n—（A/2,一加，1）.

二點夕到平面的的距離

,|A?礪|4A/2

〃=”r=3-

方法總結(jié)》點到平面的距離，利用向量法求解比較簡潔，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實上,

作曲L平面CMN千H.茁曲=兩中麗皮曲?n=n?面f,

得|曲?n\=\n*喇=|物|?\n\,

濟ml就IQ網(wǎng)|A?網(wǎng)

所以|掰=—向一，即d=―向一.

【訓(xùn)練3]（2010?江西）如圖，△板及都是邊長為2的正三角形，平面加2L平面BCD,ABV

平面比AB=2小.

（1）求點A到平面儂的距離；（2）求平面力以及平面以》所成二面角的正弦值.

解取切中點0,連OB,OM,則血龍，OMLCD.

又平面加2L平面比2則初_L平面比0

取。為原點，直線依BO、掰為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖.

OB=OM=?則各點坐標分別為。（1,0,0）,"（0,0,回B（0,一小,0）,4（0,一，§,2小）.

（1）設(shè)z?=（x,y,z）是平面如。的法向量，則宓=（1,耳§,0）,雄=（0,小,小）,

由A_L應(yīng)得x+y[3y=0；由A_L詼得]§廣1~m2=0.

取〃=（羽，-1,1）,或=（0,0,2/），則4^[^=工=^^.

（2）^（-1,0,?。?以=（一1,一木,2^3）.

設(shè)平面的法向量為功=（x,y,z）,

由m_1_詼4_1_冷得]。，廠解得刀="2,y=z,取m=（m，1,1）.

|-*—何+2Vsz=0,

又平面BCD的法向量為n2=（0,0,1）.

所以cos<77；,加=/：：7：：/=泉設(shè)所求二面角為。，則sin，=￥.

規(guī)范解答15——立體幾何中的探究性問題

【問題探討】高考中立體幾何部分在對有關(guān)的點、線、面位置關(guān)系考查的同時，往往也會考查一些探

究性問題，主要是對一些點的位置、線段的長度，空間角的范圍和體積的范圍的探究，對條件和結(jié)論

不完備的開放性問題的探究，這類題目往往難度都比較大，設(shè)問的方式一般是“是否存在？存在給出

證明，不存在說明理由

【解決方案】解決存在及否類的探究性問題一般有兩個思路：一是干脆去找存在的點、線、面或是一

些其他的量；二是首先假設(shè)其存在，然后通過推理論證或是計算，假如得出了一個合理的結(jié)果，就說

明其存在；假如得出了一個沖突的結(jié)果，就說明其不存在.

【示例】》(本小題滿分14分)(20H?福建)如圖，四棱錐以靦中，弘，底面被力.四邊形被力中，

ABVAD,AB+AD=^,g雜,ZCDA=45°.

(1)求證：平面必&L平面

⑵設(shè)世=四

(i)若直線依及平面物所成的角為30°,求線段"的長；

(ii)在線段4?上是否存在一個點G,使得點G到點尸、B、C、〃的距離都相等？

［解答示范］(1)因為〃_!_平面被力，A氏平面ABCA,

所以PAVAB.

又AB1AD,PA^AD=A,所以"_L平面總

又ABcz平面PAB,所以平面44員L平面PAD.(4分)

(2)以4為坐標原點，建立空間直角坐標系(如圖).

在平面?zhèn)m7?內(nèi)，作龍〃四交助于點瓦

則CEVAD.

在Rt△頗'中，DE=CD*cos45°=1,CE=CD?sin45°=1.

設(shè)四=加三匕，則以￡,0,0),尸(0,0,t).由四十@?=4得，AD=4-t,

所以夙0,3—60),<7(1,3-1,0),Z?(0,4-1,0),。方=(-1,1,0),PT=(0,4-t,一力.(6分)

(i)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),

——1-x+y=0,

由zd_C方，ntP方,得1,八

,4—ty-tz=Q.

取x=t,得平面PCD的一個法向量n—(t,t,4—t).

又P卡=(t,0,—t),

故由直線期及平面物所成的角為30°得cos60°=-------—，即/二」，：~~7=^=

|z?|?\PT\聲+「+4T②?丹

1

2f

44

解得亡=三或t=4(舍去)，因為M=4—￡>0,所以"=三.(9分)

00

(ii)法一假設(shè)在線段加上存在一個點G,使得點G到尸，B,C,〃的距離都相等，

設(shè)G(0,處0)(其中0W辰4-t),

則GT=(1,3—2一@0),G^=(0,4-t-m,0),GP=(0,-a,t).

由|G?=|G方|得1+(3—t—/2=(4—R)2,即t=3—r；(1)

由|G方|=|GA|得(4—t—H)2="+/.(2)

由⑴、(2)消去t,化簡得"一3/4=0.(3)(12分)

由于方程(3)沒有實數(shù)根，所以在線段皿上不存在一個點G,使得點G到點AG〃的距離都相等.從

而，在線段皿上不存在一個點G