湖南省益陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知實(shí)數(shù)列成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?shí)數(shù)列成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)有：，解得，但注意到無(wú)論等比數(shù)列的公比是正是負(fù)總有，所以，從而故選：C．2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，公差，，所以，解得.故選：B.3.某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（）種A.24 B.48 C.98 D.114〖答案〗D〖解析〗5個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有和兩種，當(dāng)為時(shí)，有種，住同一房間有種，故有種，當(dāng)為時(shí)，有種，住同一房間有種，故有種，則不同的安排方法有種.故選：D．4.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且，是與的等差中項(xiàng)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意可得，所以解得或（舍去），故.故選：B.5.已知函數(shù)，，若存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，即，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，做出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，又當(dāng)時(shí)，，則，則，則，即且點(diǎn)為，此時(shí)，因?yàn)榇嬖?個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以a的取值范圍是.故選：D6.已知（a為常數(shù)）在上有最大值3，則此函數(shù)在上的最小值是（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最大值為，此時(shí)，且，，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為.故選：A.7.若，則的值是（）A.-2 B.-1 C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此．故選：A.8.已知函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，且，由于，所以當(dāng)時(shí)，

，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則,，所以，故,，即，即故選A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值〖答案〗BC〖解析〗由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減，在、處取得極大值，在取得極小值故A錯(cuò)誤，B正確，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.使得成立的最大自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，根據(jù)題意：，，，兩式相加，解得：，故A正確.對(duì)于C，由上可得所以由，可得到，，所以，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使得成立的最大自然數(shù)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：AD.11.若，則（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，令，，令，則，令，則，兩式相加化簡(jiǎn)得，又，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?個(gè)相同的因式相乘，要得到含的項(xiàng)，可以是5個(gè)因式中，一個(gè)取，其他4個(gè)因式取2，或兩個(gè)因式取，其他3個(gè)因式取2，所以，所以B正確；對(duì)于C，令，，令，則，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，展開式所有項(xiàng)系數(shù)和為，令，則，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)，可得，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，可得，解得，所以.故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和__________．〖答案〗〖解析〗由可得，所以是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故，所以，所以故〖答案〗為：14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是．有，則關(guān)于的不等式的解集為________．〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)滿足，令，則函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于，關(guān)于的不等式可化為，即，所以且，解得，不等式的解集為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由函數(shù)，可得，可得，因切點(diǎn)為，所以切線方程為，即.（2）由函數(shù)，其定義域，且，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.16.已知等差數(shù)列滿足：，，的前項(xiàng)和為．（1）求通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，，所以；．（2）由（1）知，所以，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和．17.在含有2件次品的5件產(chǎn)品中，任取2件，求（1）恰好取到1件正品的概率；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）記3件正品分別為A，B，C，2件次品分別為1，2，則從5件產(chǎn)品中任取2件的所有樣本點(diǎn)：AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12，共有10個(gè)，它們等可能，恰好取到1件正品的事件M所含樣本點(diǎn)是A1，A2，B1，B2，C1，C2，共6個(gè)，，所以恰好取到1件正品的概率是；（2）至少取到1件次品的事件N所含樣本點(diǎn)是A1，A2，B1，B2，C1，C2，12，共7個(gè)，，所以至少取到1件次品的概率是.18.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）證明：數(shù)列也為等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列是以數(shù)列的公差為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.解：（1）∵，∴，∴，又∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴數(shù)列是以為公差等差數(shù)列；（2）∵，∴，，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴①，∴②，∴②①得，，∵且為正整數(shù)，∴，，∴（當(dāng)時(shí)取等）.19.已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）若，，證明：.解：（1）由，，得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)，則