上海市黃浦區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分．）1.若集合，，則________.〖答案〗〖解析〗由題：集合，，則.故〖答案〗為：.2.不等式的解是_____．〖答案〗〖解析〗由可得，解得，所以不等式的解是.故〖答案〗為：.3.若，則____．〖答案〗〖解析〗若，則.故〖答案〗：.4.已知，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，又，所以.故〖答案〗為：.5.已知，，若用、表示，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，所以.故〖答案〗：.6.若，則______．〖答案〗〖解析〗，又，所以原式.故〖答案〗：7.函數(shù)圖像的對稱中心的坐標為______．〖答案〗〖解析〗，它的圖像是由函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的，因為函數(shù)的圖像對稱中心的坐標為，所以函數(shù)圖像的對稱中心的坐標為．故〖答案〗為：．8.在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，若其終邊過點，則函數(shù)，的值域為______．〖答案〗〖解析〗因為角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，其終邊過點，所以，因為是第一象限的角，所以，所以，因為，所以，所以，所以函數(shù)，的值域為.故〖答案〗為：.9.已知和，其中，若對任意的成立，則所有的的值為______．〖答案〗-2、-1、1〖解析〗因為在上單調(diào)遞增，且冪函數(shù)恒過點，當時在上單調(diào)遞減，當時在上單調(diào)遞增，且越大在上增長趨勢越快，所以要使對任意的成立，則，故符合題意的有-2、-1、1.故〖答案〗為：-2、-1、1.10.若復數(shù)滿足，，且（為虛數(shù)單位），則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗設=，，，即，化簡得，，∴，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取得最小值，此時，符合，，∴的最小值為.故〖答案〗為：.11.在中，若，，且，則______．〖答案〗或〖解析〗由正弦定理可得：，故，所以，由余弦定理可得：，所以，可得，則，又因為，所以可以看成是一元二次方程的兩根，所以，解得：或，故或.故〖答案〗為：或.12.已知，若對任意的正整數(shù)成立，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，可得，，又，當時，均滿足題意；當時，均滿足題意；當時，均滿足題意；當時，此時需，即；當時，此時需，即；由的最小正周期，所以之后會重復前面的取值，綜上可得，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分14分，第13-14題每題3分，第15-16題每題4分．）13.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意1i是關(guān)于實系數(shù)方程，∴，即，∴，解得.故選：D．14.在平面直角坐標系中，角和的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗D〖解析〗是與關(guān)于軸對稱的一個角，與的終邊相同，即（），，（）.故選：D．15.已知向量、，“”是“在方向上的數(shù)量投影與在方向上的數(shù)量投影相等”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗A〖解析〗設與的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為，在方向上的數(shù)量投影，若，則成立，充分性成立；若，不能推出成立，例如，，時，成立，而不成立，所以必要性不成立，故“”是“在方向上的數(shù)量投影與在方向上的數(shù)量投影相等”的充分非必要條件.故選：A.16.已知，若存在實數(shù)，使得方程有無窮多個非負實數(shù)解，則的表達式可以為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，對于A：令，則在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則當時有四個實數(shù)根，當或時有兩個實數(shù)根，當時有三個實數(shù)根，當時無實數(shù)根，故A錯誤；對于B：令，所以當時的解集為，故B正確；對于C：令，則在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則當時有四個實數(shù)根，當或時有兩個實數(shù)根，當時有三個實數(shù)根，當時無實數(shù)根，故C錯誤；對于D：令，顯然當時函數(shù)在上單調(diào)遞增，故方程不可能有無窮多個非負實數(shù)解，故D錯誤.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分44分．）17.已知復數(shù)，（，為虛數(shù)單位）．（1）若為實數(shù)，求；（2）設、在復平面上所對應的點為、，為原點，若，求．解：（1）因為，所以，所以，因為為實數(shù)，所以，解得，所以.（2）因為，在復平面上所對應的點為、，所以、，則、，因為，所以，解得，所以.18.某小區(qū)圍墻一角要建造一個水池和兩條小路．如圖，四邊形中，，，以為圓心、為半徑的四分之一圓及與圈成的區(qū)域為水池，線段和為兩條小路，且所在直線與圓弧相切．已知米，設（），那么當為多少時，才能使兩條小路長之和最??？最小長度是多少？解：設與圓弧的切點為，連接，由題設，得，于是，從而，由，得，從而，當且僅當，即，最小，最小長度為米.19.設，．（1）當時，求滿足的的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．解：（1）即，亦即，因為，所以上述不等式即為，解得，故滿足的x的取值范圍是.（2）設是區(qū)間上任意給定的兩個實數(shù)，且，0，由，可得，即，又，，從而0，故，因此，函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)增函數(shù)．20.如圖，已知為平行四邊形．（1）若，，，求及的值；（2）記平行四邊形的面積為，設，，求證：.解：（1）在平行四邊形中，所以，即，解得，所以.（2）因為，將兩邊平方可得，又，所以，整理得，又，，，所以，所以.21.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當時，．（1）若函數(shù)的最小正周期為，求證：，為奇函數(shù)；（2）設，若，函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍．解：（1）當時，，所以，又因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，故，對于任意給定的，，因為，所以，對于任意給定的，，因為，所以，當時，，綜上所述，函數(shù)，為奇函數(shù).（2），即，當，，于是，當，，于是，據(jù)此可得，當（為正整數(shù)）時，，當（為正