2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市高一下學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市高一下學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.cos215A.64 B.12 C.2.已知：z1?i=1+i，其中i為虛數(shù)單位，則z=A.1 B.2 C.3 3.如圖是底面半徑為1的圓錐，將其放倒在水平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)O滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在水平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則滾動(dòng)過(guò)程中該圓錐上的點(diǎn)到水平面的距離最大值為(

)

A.22 B.2 C.44.已知向量a=(1,2)，b=(?2,?4)，|c|=5，若(a+A.30° B.60° C.120° D.150°5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面向量OA=3,4，將OA繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π3得到向量OB，則向量OB在向量OA上的投影向量是A.32+23,2?3326.如圖，一個(gè)三棱錐容器的三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，經(jīng)測(cè)量知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，這個(gè)容器最多可盛原來(lái)水的(

)A.2933

B.2327

C.19277.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義1?cosθ為角θ的正矢，記作versinθ；定義1?sinθ為角θA.函數(shù)fx=versinx?coversx+1的對(duì)稱(chēng)中心為kπ?π4,1,k∈Z

B.若gx=versinx?coversx?1，則gx的最大值為2+1

C.若?x8.如圖，在直角梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，現(xiàn)將?ABD沿BD折起到?PBD的位置，使二面角P?BD?C的大小為45°，則此時(shí)三棱錐P?BCDA.8π3 B.14π3C.4π D.6π二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)內(nèi)容表述正確的是(

)A.若復(fù)數(shù)z滿足z+z=0，則z一定為純虛數(shù)

B.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z均滿足：z2=z2

C.設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2?4x+13=0的兩根為x1，x2，則x1+x210.已知函數(shù)fx=asinx+bcosxA.a=b B.函數(shù)fπ4?x是偶函數(shù)

C.函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=5π4對(duì)稱(chēng) 11.如圖，在正三棱錐A?BCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為側(cè)棱AC，AD上的異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若BE⊥AC，則不可能存在這樣的點(diǎn)F，使得EF⊥AC

B.若AE=13AC，AF=23AD，則VE?ABF=29V三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量OA=1,2，OB=2,?1，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是13.如圖，在?ABC中，∠ABC=60°，AC=6，BC=2，∠ABC的角平分線交AC于D，交過(guò)點(diǎn)A且與BC平行的直線于點(diǎn)E，則DE=

．14.設(shè)Px,y為函數(shù)fx=sinπ2x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)(1)已知復(fù)數(shù)z滿足z=1+3i?z，求1+3i(2)設(shè)x∈R，復(fù)數(shù)z=log2x+1+i?lo16.(本小題12分)已知α為銳角，β為鈍角，且sinα=10(1)求sin2β(2)求β?2α的值．17.(本小題12分)在?ABC中，∠ABD=α，∠DBC=β．(1)求證：sinα+β(2)若AB=AC，∠C=72°，求cos18.(本小題12分)如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AB=12BC=1，點(diǎn)E(1)求證：AE⊥PC；(2)若M，N分別是PD，AC上的點(diǎn)，且PMDM=ANCN=2，Q為19.(本小題12分)已知在?ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.圓M與?ABC的邊AC及BA，BC的延長(zhǎng)線相切(即圓M為?ABC的一個(gè)旁切圓)，圓M與邊AC相切于點(diǎn)T.記?ABC的面積為S，圓M的半徑為r．(1)求證：r=2S(2)若B=π3，①求r的最大值；②當(dāng)r=33時(shí)，求AM?答案解析1.C

【解析】運(yùn)用二倍角余弦公式得到cos故選：C．2.A

【解析】z=1+i1?i=i故選：A．3.C

【解析】如圖所示根據(jù)圓錐的性質(zhì)，可知2πOA=3?πAB，由圓錐底面半徑為r=1，則AB=2r=2，OA=OB=3所以O(shè)C=易知圓錐上到水平面的距離最大的點(diǎn)為B，設(shè)距離為d，所以12則d=AB?OC故選：C．4.C

【解析】解：設(shè)a與c的夾角為θ，

∵a=(1,2),b=(?2,?4)，則b=?2a，

(a+b)?c=?a?c=5.D

【解析】因?yàn)镺A=OB=5，OA所以O(shè)B在OA上的投影數(shù)量為：OA?所以O(shè)B在OA上的投影向量為：OA?故選：D6.B

【解析】解：∵SD：DA=SE：EB=2：1，

∴SD：SA=SE：SB=2：3，則S△SDE：S△SAB=4：9，

∵CF：FS=2：1，∴SF：SC=1：3．

設(shè)點(diǎn)F，C到平面SAB的距離分別為?1，?2，

∴?1：?2=1：3，

則VF?SDE：7.D

【解析】對(duì)A：fx由x?π4=kπ，k∈Z?x=kπ+π4，k∈Z，所以函數(shù)f對(duì)B：gx設(shè)sinx+cosx=t，則t∈所以y=t2當(dāng)t=?2時(shí)，ymax

對(duì)C：?x因?yàn)?α=1且0<α<π所以sinα=所以圓心角為α，半徑為3的扇形的面積為：12×π對(duì)D：由versin所以covers3x?1coversx?1=sin故選：D8.D

【解析】如圖：取BD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連接PE，EF，由題意可知：PE⊥BD，EF⊥BD，所以∠PEF為二面角P?BD?C的平面角，∠PEF=45由題意可得?BDC為等腰直角三角形，所以F為?BDC的外心，過(guò)F作直線l⊥平面BDC，則三棱錐P?BCD外接球的球心O必在直線l上.因?yàn)閘⊥平面BDC，BD?平面BDC，所以BD⊥l，所以l在平面PEF中.又E為?PBD的

外心，連接OE，則OE⊥平面PBD．所以∠OEF=45由于AD=AB=1，∠BAD=90°，則?BDC為等腰直角三角形，故CD=BD=在Rt?OEF中，∠OEF=45°，EF=12CD=所以三棱錐P?BCD外接球的

半徑：R=OC=所以三棱錐P?BCD外接球的表面積為：S=4πR故選：D9.CD

【解析】A選項(xiàng)：當(dāng)z=0時(shí)，z=0，此時(shí)z+z=0，當(dāng)zB選項(xiàng)：設(shè)z=a+bi，則z2=a2+2abi+C選項(xiàng)：x2?4x+13=0，則x1=2+6i，x2D選項(xiàng)：設(shè)z1=a1+即a1a2?b1b2=0a1b2+a2b1=0故選：CD．10.ABC

【解析】解：∵f(x)=asinx+bcos∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=π∴f(0)=f(π2)，即b=a∴f(x)=a(sin∴f(π4?x)=又f(5π4)=2∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π4對(duì)稱(chēng)，x∈?π4由于a的正負(fù)不確定，則函數(shù)fx在區(qū)間?π4故選：ABC．11.AC

【解析】對(duì)選項(xiàng)A：如圖：取BD中點(diǎn)G，連接AG,CG,ED，因?yàn)?BCD是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，所以BD⊥CG，在?ABD中，AB=AD=2a，所以BD⊥AG，AG∩BG=G，且AG,BG?平面AGC，所以BD⊥平面AGCAC?平面AGC，所以AC⊥BD．又AC⊥BE，BE∩BD=B，BE,BD?平面BED，所以AC⊥平面BED．所以要有EF⊥AC，則必有EF?平面BED.故F點(diǎn)與D點(diǎn)重合．這與F為AD上的點(diǎn)且異于端點(diǎn)矛盾，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)閂E?ABF所以VE?ABFVB?EFDC對(duì)選項(xiàng)C：若CD//平面BEF，CD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF=EF，所以CD//EF，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：如圖：將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，當(dāng)B,E,F,B′共線時(shí)，△BEF的周長(zhǎng)最小．此時(shí)cos∠BAC=所以cos∠BAB′=4co所以BB′2=4a2故選：AC12.43,1或【解析】由點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，可得AP=13AB則OP=或OP=即點(diǎn)P的坐標(biāo)為43,1或故答案為：43,1或13.1+【解析】在?ABC中，由余弦定理可得：AC即6=4+AB2?2AB，又AB>0因?yàn)锳E//BC，BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠E=30°，所以在?ABE中，因?yàn)椤螧AE=120°，所以因?yàn)锳E//BC，所以?ADE～?CDB，所以BDDE故答案為：1+14.55或【解析】由已知有y=sinπ2由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故cosπ2x由于0≤π2x≤π所以y=sin這就得到y(tǒng)≥2．若x<411，則若411≤x≤1，則3x?y綜上，有3x?y當(dāng)P的坐標(biāo)是1,2時(shí)，即x=1，y=2時(shí)，有3x?y所以3x?yx2故答案為：515.解：(1)因?yàn)閦=1+3i?z，可設(shè)z=a+3i，則a2所以1+3i3+4i(2)由題意：log所以所求x的取值范圍為：?1,0．【解析】(1)先根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算計(jì)算結(jié)果．(2)根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列出不等式組，解不等式組可得答案．16.解：(1)sin(2)因?yàn)棣翞殇J角，sinα=1010，可得由cos2α=1?2sin2所以tan2α=則tan(β?2α)=又因?yàn)閠an2α=34>0，所以可得0<β?2α<π，所以β?2α=3π【解析】(1)利用二倍角公式，齊次式的方法即可求值；(2)分別求出tan2α，tan17.解：(1)證明：因?yàn)镾△ABC所以12兩邊同時(shí)除以12AB?BC?BD，得故命題得證．(2)若AB=AC，∠C=72°，則∠A=36當(dāng)α=β=12∠ABC=36°時(shí)，?ABC，?ABD和?BCD所以ACBD所以ACAD=AD所以(ADAC)2+不妨取AC=2m，AD=(5?1)m，則AB=2m在?ABD中，由余弦定理知，cos36【解析】(1)根據(jù)S△ABC(2)令α=β，根據(jù)AD=BD=BC，且?ABC∽?BCD，利用三角形相似的性質(zhì)，求得ADAC=18.解：(1)∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA，又底面ABCD為矩形，則AD⊥AB，又PA?AB=A且都在面PAB內(nèi)，∴AD⊥平面PAB，又AE?平面PAB，∴AE⊥AD，又AD//BC，則AE⊥BC，又PA=AB，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，則AE⊥PB，又BC?PB=B且都在面PBC內(nèi)，∴AE⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴AE⊥PC；(2)三棱錐P?ABQ的體積是為定值，且定值為29如圖，過(guò)M作MG//DA，且MG?PA=G，過(guò)N作NF//BC，且NF?AB=F，連接GF，又DA//CB，∴MG//CB，∵PMDM=ANCN∴GM=23AD=又MG//CB，則MG//FN，故四邊形GMNF為平行四邊形，∴MN//GF，又MN?平面PAB，GF?平面PAB，∴MN//平面PAB，又Q為MN上任意一點(diǎn)，∴Q到平面PAB的距離為定值，又?PAB的面積也為定值，∴三棱錐P?ABQ的體積是定值，由(1)知AD⊥平面PAB，由GM//AD，故GM⊥平面PAB，∴Q到平面PAB的距離為GM=2又?PAB的面積為12∴三棱錐P?ABQ的體積為：VP?ABQ故三棱錐P?ABQ的體積是為定值，且定值為29【解析】(1)根據(jù)向量垂直的判定定理證明AE⊥平面PBC即可；(2)過(guò)M作MG//DA，且MG∩PA=G，過(guò)N作NF//BC，且NF∩AB=F，連接GF，則易證MN//平面PAB，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解．19.解：(1)證明：連接MA，MB，MC，則S=S故r=2S(2)①因?yàn)镾=12ac由cosB=a2故ac=13由(1)知：r=2S由(?)式可得