2022-2023學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)

試題

一、單選題

1.設(shè)加，〃為空間兩條不同的直線，a,夕為空間兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：

①若機(jī)||/，則②若n||a,則叫|”；

③若njua,“ua且相||），〃||夕，則a〃/?；④若〃z_La,〃||夕且a〃￡,則m_L〃.

其中所有正確命題的序號(hào)是

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【詳解】①若mi/,過(guò)〃，做平面y,7n/=/,

則〃/力,.?./_La,/u#,二aJ■尸,故①正確；

②若〃”/a,nila,則機(jī)，”可能平行，相交或異面，故②錯(cuò)誤；

③若機(jī)ua,〃ua且〃尸，〃〃力，則a,4相交或平行，故③錯(cuò)誤;

④若，“La,〃〃夕且a〃戶，則小，尸，過(guò)”做平面/,/0￡=/,

則〃所以〃?_!_〃，故④正確.

2,若一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45。且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平

面圖形的面積是（）

A.B.C.2+V2D.1+&

22

【答案】C

【分析】先計(jì)算出等腰梯形的面積為5-再利用S=2&H計(jì)算得到答案.

【詳解】等腰梯形的面積，=^（1+Ixcos45°x2+I）xlxsin45°=^+^

則原平面圖形的面積S=2夜工=2+收.

故選：C.

3.如圖，上海海關(guān)大樓的鐘樓可以看作一個(gè)正四棱柱，且鐘樓的四個(gè)側(cè)面均有時(shí)鐘懸掛，在0點(diǎn)到

12點(diǎn)時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)中（包括0點(diǎn)，但不包括12點(diǎn)），相鄰兩面時(shí)鐘的時(shí)針兩兩相互垂直的情況

的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱柱相鄰側(cè)面的線線關(guān)系即可判斷.

【詳解】：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，

...在0點(diǎn)到12點(diǎn)時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)中（包括0點(diǎn)，但不包括12點(diǎn)），相鄰兩面時(shí)鐘的時(shí)針兩兩相互

垂直的情況的次數(shù)為2,

故選：B.

4.1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如圖所示，根據(jù)規(guī)律，則“正

方形篩子”中位于第100行的第100個(gè)數(shù)是（）

47101316-

712172227…

1017243138???

1322314049-

1627384960???

A.20180B.20200C.20220D.20240

【答案】B

【分析】先求出第100行的第一個(gè)數(shù)，再根據(jù)第100行的數(shù)是公差為3+2x(100—1)=201的等差數(shù)

列，從而得到第100行的第100個(gè)數(shù)是301+201x(100—1)=20200.

【詳解】第一列的數(shù)字為4,7,10,13,161....成等差數(shù)列，公差d=3,其通項(xiàng)公式%=4+

3(〃-1)=3〃+1,故第100行的第一個(gè)數(shù)為。吶=301,

再看行，第一行的數(shù)是公差為3的等差數(shù)列，第二行的數(shù)是公差為5的等差數(shù)列，第三行的數(shù)是公

差為7的等差數(shù)列，…，第〃行的數(shù)是公差為3+2x(〃-1)的等差數(shù)列，

則第100行的數(shù)是公差為3+2x(100—1)=201的等差數(shù)列，

所以第100行的第100個(gè)數(shù)是301+201x(100—1)=20200.

故選：B.

二、填空題

5.若一個(gè)球的體積為32亨萬(wàn)，則該球的表面積為.

【答案】16萬(wàn)

44

【詳解】由題意，根據(jù)球的體積公式丫則3%R'=手Pn，解得R=2,又根據(jù)球的表面積公

式5=4乃4，所以該球的表面積為5=2?=16).

6.正方體ABCO-ABCQi中，異面直線AC與。G所成的角的大小為.

【答案】60°

【分析】如圖所示，連接A。，AG，則NAOG即為異面直線8c與。a所成角.利用△AOG為

正三角形，即可得出.

【詳解】解：如圖所示，直線AD//BC，所以直線A力與。G所成的角必3￡即為異面直線8。與

0c所成角.

AQG為正三角形，

:.^DC,=60°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、異面直線所成的角，考查推理能力與計(jì)算能

力.

7.向量,=(0,0,1)與行=(1,0,-1)夾角的大小為.

【答案】v

4

【分析】利用向量夾角公式求解即可.

【詳解】向量M=(O,O,I),5=(1,

ah0+0-1_V2

設(shè)日與B的夾角為0，貝Ijcos6=

|a|-|^rVo+o+i-Vi+o+T一2'

Q0<eK7t,0—.

遼小田工3元

故答案為：—.

4

8.正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其體積為

【答案】y

【分析】由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)求出底面中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，結(jié)合棱長(zhǎng)，求出正四棱錐的高,

然后利用體積公式進(jìn)行求解.

p

如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=4,PA=3,設(shè)正四棱錐的高為PO,連接AO,則在直角三角形尸。4

中，PONPA2-AO,=心-（2夜）2=1，所以匕“8=gSiPO=；xl6xl若,故答案為？.

【點(diǎn)睛】本題考查正棱錐的性質(zhì)及棱錐的體積公式，解題的關(guān)鍵是熟悉正棱錐的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)

題

10

9.在等差數(shù)列｛4｝中，其前八項(xiàng)和為S“，已知公差1=2,邑。=400,則Z%T=

1=1

【答案】190

10

【分析】由已知條件可求得4，得出進(jìn)而由=%+%+…+49得出答案.

/=|

70x1970x19

【詳解】S2o=2O4+-^^d=2Oq+-^^x2=4OO,解得q=l,

，=1+2(〃-1)=2H-1,

3.(1+37)x10…

工a_=4+%■*---。兇=1+54----F37=--------=190.

i=l2i}2

故答案為：190.

10.記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S",若4=1,4M=25“（〃為正整數(shù)），則數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為

l,n=l

【答案】4=

2-3n-2,n>2

【分析】當(dāng)〃22時(shí)，%=2S“T，所以兩式相減得”,用-a“=2（S“一S“_J,所以化簡(jiǎn)有4=3,又因

為幺=2,可得數(shù)列｛q｝是以生=2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

a\

【詳解】因?yàn)閝=l,??+i=2S?,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，生=2S|=2。1=2,

當(dāng)“22時(shí)，勺=2S,i，所以兩式相減得：a?+1-??=2（S?-S?.l）,

則/廠風(fēng)=24，所以也=3,又因?yàn)?=2,

ana\

所以數(shù)列｛%｝是以%=2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.

所以當(dāng)〃22時(shí)，a?=2-3"-*I2.

二1

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為：??=

2-3'-2,n>2

l,n=l

故答案為：a=

n2-3"~2,n>2'

11.若P⑺表示等式4+汨+…+—=2

----------1-----------1?■…H-------（〃為正偶數(shù)）,則P（4）表

〃+2〃+42〃

示的等式為

11

【答案】l--+---=2x一+一

23468

【分析】代入”=4,得到P（4）.

2x*1

【詳解】將〃=4代入等式，得到+

故答案為：；11

1-H=2x-+-

68

12.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為4三7r，半徑為18的扇形，則圓錐母線與底面所成角為

.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

2

【答案】arccos-

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/，底面圓的半徑為『，圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的

母線長(zhǎng)，分別求出廠，1,由線面角的定義求解即可.

【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為/,底面圓的半徑為

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是圓心角為與，半徑為18的扇形,

所以/=18,且18,與=2”,解得廠=12

122

設(shè)圓錐的母線與底面所成角為e,則cose=：r=K=2

I1o3

所以圓錐的母線與底面所成角為arccos：.

2

故答案為：arccos-.

13.在長(zhǎng)方體ABCO-A4GR中，若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線AG與過(guò)點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別為

a,p,y,則sin%+sin2夕+5皿夕=

【答案】1

【分析】由已知得sinauHlsin夕=§4岡11/=再，由此即可求出答案.

AC,AC〕AG

【詳解】連接A耳,AR,AC,

?.?在長(zhǎng)方體ABCD-ABCA中，B?_1面4880

..?4G與面ABBM所成的角為NCjAA=a,.七訪&=[號(hào)

AC]

同理AG與面A。。A所成的角為NGAR=〃，.?.sin夕=

cc

AC1與面A5CQ所成的角為NGAC=/，???sin7二十T

Av.

CQ：6c2C\B；+C\D；+CQ4C：

+AC,2+AC'~AC^一君一'

故答案為：1.

14.已知旦凡G,“分別是空間四邊形ABC。各邊Afi,BC,a),￡W的中點(diǎn)，若

BD=m,AC=n(m>0,n>0),則EG2+HF2=.

【答案】3(二+1)

【分析】根據(jù)中位線定理判斷四邊形EFG”是平行四邊形，再由

EG+HF2=(EF+EH?+(EF-EH)2計(jì)算可得解.

由三角形中位線的性質(zhì)可得EF//AC,EF=^-AC,HG//AC,HG=：AC,

22

則EF〃HG,EF=HG,所以四邊形EFGH是平行四邊形,

則的=麗+甌麗=麗-麗,

In1m

又EF=—AC=—,EH=—BD=—,

2222

2222

所以EG+HF=^+EH^+{EF-EH^=2(EF+EH^=y(w2+n2),即

EG2+HF2=^nr+rr\

故答案為：

15.如圖所示，在"RC中，ZACB=90°,ZBAC=3(f,8C=1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心。在邊

AC上，半圓與3C,AB相切于點(diǎn)C,M,與AC交于點(diǎn)N),則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所

得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【答案］

27

【解析】幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余

部分，求出圓錐的體積減去球的體積，可得幾何體的體積.

【詳解】幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體,

是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，

且球是圓錐的內(nèi)切球，

所以圓錐的底面半徑是1,高為球的半徑為，

可以得到tan30。=變=r=@,

BC3

所以圓錐的體積為?石=且不，

33

球的體積為,%,(——)3=43n,

3327

所以陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為且乃-生叵萬(wàn)=三叵

32727

故答案為：死.

27

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意分析幾何體的特征,

涉及到的知識(shí)點(diǎn)有錐體的體積公式和球的體積公式，屬于簡(jiǎn)單題目.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-ABCQ中，P為底面A8CD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足

TT

"尸與直線CG所成角的大小為則線段。尸掃過(guò)的面積為______.

6

【答案】1

【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知P的軌跡是以。為圓心，也為半徑的四分之一圓，即可求DP掃過(guò)的面

3

積.

,JT

【詳解】由題設(shè)，DDJ1CC、,要使。P與直線CC,所成角的大小為只需。?尸與直線。。?所成角

6

繞。。以J夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：戶的軌跡是以。為圓心，為半徑的四分

63

之一圓，

OP在ABC。上掃過(guò)的面積為卜凈2X萬(wàn)哈

故答案為：.

三、解答題

17.如圖，已知正方體ABC0-A8CP的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)片是棱4蜴的中點(diǎn).

⑴求異面直線與EG所成角的大??；

（2）求直線EC,與平面ABB,所成的角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【答案】（l）arccos—

10

（2）arctan2

【分析】（1）取8月的中點(diǎn)尸，連接則NFEG（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與EG所成角，

利用余弦定理進(jìn)行求解即可.

（2）因?yàn)镃￡J■平面ABg,所以是直線EG與平面AB4所成的角，在中求解即

可.

【詳解】（1）取的中點(diǎn)尸，連接EF,尸C一如圖，

則NFEG（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與EC,所成角,

因?yàn)檎襟wA88-A4GA的棱長(zhǎng)為2,

所以EF=亞,EQ=6,。/=逐，

EF2+EC：-CF2+5-5710

由余弦定理得cosNEEg=

10

2EFECt242-y/5~

所以異面直線AB與EG所成角的大小為arccos*.

（2）因?yàn)镚A，平面AM,,所以NGEB1是直線EG與平面A54所成的角,

在RtZXCgE中，BCI=2,EB1=1,tanNGEB1=萼=2,

匕

所以直線EC與平面4期所成的角為arctan2.

18.如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2,高為2,且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為x的圓柱.

4

⑴當(dāng)X=］時(shí)，求圓柱的體積;

（2）當(dāng)》為何值時(shí)，此圓柱的側(cè)面積最大，并求出此最大值.

【答案】（1）等

（2）當(dāng)x=l時(shí)，圓柱的側(cè)面積取最大值2兀

【分析】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為「，根據(jù)相似比求出「與*的關(guān)系，求出廠代入圓柱的體積公式即

可；

（2）由⑴知r=2-x,代入圓柱的側(cè)面積公式得5=2兀（2萬(wàn)-/）,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）設(shè)圓柱的半徑為L(zhǎng)則7=一，?.，=2—X,0<X<2,

22

442

當(dāng)工=一時(shí)，r=2—=—,

333

所以圓柱的體積丫=兀/工=兀、［2］；3=匝.

⑶327

（2）由（1）知r=2-x,0<x<2,

貝!］圓柱的側(cè)面積5=2兀加=2兀（2—x）x=2兀（一/+2X）=2TT［-（X-1）2+1］,

所以當(dāng)x=l時(shí)，圓柱的側(cè)面積S取最大值27t.

19.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，至2021年底全國(guó)已開通5G基站140萬(wàn)個(gè)，部分省市的政府工作報(bào)告將“推進(jìn)

5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2022年的重點(diǎn)工作，2022年一月份全國(guó)開通5G基站4萬(wàn)個(gè).

(1)如果從2022年2月份起，每個(gè)月比上一個(gè)月多開通2000個(gè)，那么，到2022年底全國(guó)共開通5G

基站多少萬(wàn)個(gè)；(結(jié)果精確到0.1萬(wàn)個(gè))

(2)如果2022年計(jì)劃開通5G基站60萬(wàn)個(gè),并且自2023年起每年新開通的基站數(shù)量比上一年增加%%,

若到2024年底全國(guó)開通的5G基站總數(shù)至少達(dá)到500萬(wàn)個(gè)，求x的最小值.(結(jié)果精確到0.01)

【答案】(1)201.2

(2)79.13

【分析】(1)2022年每月開通基站的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差為0.2萬(wàn)，首項(xiàng)為4萬(wàn)，求出2022

年開通的基站數(shù)Sn，加上140得答案；

(2)由題意得140+60+60(1+x%)+60(l+x%)2?00,求解x即可.

【詳解】(1)2022年每月開通的基站數(shù)量構(gòu)成-個(gè)等差數(shù)列，公差為0.2萬(wàn)，首項(xiàng)為4萬(wàn)

貝IJ2022年開通的基站數(shù)為S|2=12x4+^1^x0.2=61.2萬(wàn)個(gè)

故到2022年底全國(guó)共開通5G基站140+61.2=201.2萬(wàn)個(gè)；

(2)由題意得140+60+60(1+X%)+60(1+X%)22500

即(1+X%)2+(1+X%)—5N0,解得1+^%之平二1

2

.?.2侖囪二2二0.7913,即走79.13

2

所以x的最小值為79.13.

20.如圖1,在等腰直角三角形A8C中，/A=90。,BC=6,￡>,E分別是AC,A3上的點(diǎn)，

CQ=8E=0,。為8c的中點(diǎn).將VAOE沿Z5E折起，得到如圖2所示的四棱錐4一8COE,其中

AO=6.

圖1圖2

⑴求證：4。，平面88后；

(2)求二面角A-CD-8的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

⑶求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

小岳

(Z)arccos-----

5

(3)—

5