滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第08講銳角的三角比(考點講與練)(原卷版+解析)

第08講銳角的三角比（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=a（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊=b（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=a（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°=12；cos30°=3sin45°=22；cos45°sin60°=32；cos60°=1（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．【考點剖析】一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）1．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結(jié)論一定成立的是（）A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA2．(2023秋?永定區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB等于．3．(2023春?浦東新區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項，正確的是（）A．tanB=34 B．cotB=43 C．sinB=4．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝5．(2023秋?寶山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sin二．特殊角的三角函數(shù)值（共7小題）6．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的值等于337．(2023秋?楊浦區(qū)期末）計算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠9．(2023秋?徐匯區(qū)期末）計算：sin60°+3tan30°?cos60°1?2cot45°+cot30°10．(2023秋?普陀區(qū)期末）計算：4sin11．(2023秋?黃浦區(qū)期末）計算：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin12．(2023秋?靜安區(qū)期末）計算：tan45°sin60°?cot30°?(sin30°【過關(guān)檢測】一．選擇題（共2小題）1．(2023秋?閔行區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函數(shù)值為35A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA2．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結(jié)論一定成立的是（）A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA二．填空題（共6小題）3．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的值等于334．(2023秋?寶山區(qū)期末）計算：sin230°+cos245°＝．5．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）計算：3cot60°+2sin45°＝．6．(2023秋?青浦區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．7．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠9.（青浦2020一模16）如圖，在菱形ABCD中，O、E分別是AC、AD的中點，聯(lián)結(jié)OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．10．（虹口2020一模18）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，點E、F分別在邊AB、BC上，聯(lián)結(jié)EF，將△BEF沿著EF翻折，使BF的對應(yīng)線段B’F經(jīng)過頂點A，交對角線BD于點P，當(dāng)⊥AB時，AP的長為．11.（閔行2020期末13）已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在BC的延長線上的點E處，那么=______.12．（虹口2020一模17）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，點D為邊AB上一動點，正方形DEFG的頂點E、F都在邊BC上，聯(lián)結(jié)BG，tan∠DGB的值為．三．解答題（共13小題）13．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）計算：（1）sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°；（2）2sin30°2sin60°?tan45°14．(2023?閔行區(qū)校級一模）計算：3tan30°?1cos60°15．(2023秋?金山區(qū)期末）計算：sin45°?tan45°co16．(2023秋?長寧區(qū)期末）計算：cot30°?2sin60°?tan45°17．(2023?寶山區(qū)模擬）計算：|2sin45°﹣tan45°|+cos30°?tan60°?cos45°18．(2023?灌云縣模擬）計算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°19．(2023秋?寶山區(qū)期中）求2sin60°?tan45°3cot60°+2cos60°?cot45°20．（2008秋?虹口區(qū)期末）求值：221.（靜安2020一模19）先化簡，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．22.(2023育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．23.（浦東四署2019期中21）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點D是AB邊上一點，過點D作DE//BC，交邊AC于E．過點C作CF//AB，交DE的延長線于點F．（1）如果，求線段EF的長；（2）求∠CFE正弦值．24.（嘉定2020一模25）已知：點P在△ABC內(nèi)，且滿足∠APB=∠APC（如圖10），∠APB+∠BAC=180°，求證：△PAB∽△PCA：如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；當(dāng)∠BAC=45°，△ABC為等腰三角形時，求tan∠PBC的值.25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，點D為射線BC上一點，聯(lián)結(jié)AD，過點B作BE⊥AD分別交射線AD、AC于點E、F，聯(lián)結(jié)DF．過點A作AG∥BD，交直線BE于點G．（1）當(dāng)點D在BC的延長線上時（如圖13），如果CD=2，求tan∠FBC；（2）當(dāng)點D在BC的延長線上時（如圖13），設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不寫函數(shù)的定義域）；（3）如果AG=8，求DE的長．第08講銳角的三角比（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=a（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊=b（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=a（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°=12；cos30°=3sin45°=22；cos45°sin60°=32；cos60°=1（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．【考點剖析】一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）1．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結(jié)論一定成立的是（）A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA分析：根據(jù)余弦的定義解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，則cosA=AC∴b＝ccosA，故選：D．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋?永定區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB等于34分析：根據(jù)余弦的定義計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB=AC故答案為：34【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦是解題的關(guān)鍵．3．(2023春?浦東新區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項，正確的是（）A．tanB=34 B．cotB=43 C．sinB=分析：根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：BC=AtanB=ACcotB=1sinB=ACcosB=BC故選：C．【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握cotB=14．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，∴AB=BC故答案為：16．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋?寶山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是分析：根據(jù)題意設(shè)AC＝3k，則BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC可設(shè)AC＝3k，則BC＝4k，由勾股定理可得，AB=AC2∴sinA=BC故答案為：45【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．二．特殊角的三角函數(shù)值（共7小題）6．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的正切值等于33分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：30°的正切值等于33故答案為：正切．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）計算：cos245°﹣tan30°sin60°＝0．分析：原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°=1故答案為：0．【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠分析：根據(jù)∠B的正弦值即可判斷．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB那么sinB=AC∴∠B＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．(2023秋?徐匯區(qū)期末）計算：sin60°+3tan30°?cos60°1?2cot45°+cot30°分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：sin60°+3tan30°?cos60°=3=3=3=3+【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．(2023秋?普陀區(qū)期末）計算：4sin分析：原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【解答】解：原式==4×=3?1?1=1=3【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．11．(2023秋?黃浦區(qū)期末）計算：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin=332×3=13+=5【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．(2023秋?靜安區(qū)期末）計算：tan45°sin60°?cot30°?(sin30°分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：tan45°sin60°?cot30°?(sin30°=132×3?=2=7【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共2小題）1．(2023秋?閔行區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函數(shù)值為35A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的定義判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB=A∴cosA=AC故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋?松江區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列結(jié)論一定成立的是（）A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA分析：根據(jù)余弦的定義解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，則cosA=AC∴b＝ccosA，故選：D．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）3．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）30°的正切值等于33分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：30°的正切值等于33故答案為：正切．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．4．(2023秋?寶山區(qū)期末）計算：sin230°+cos245°＝34分析：由特殊銳角三角函數(shù)值，代入計算即可．【解答】解：原式＝（12）2+（22=1=3故答案為：34【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確解答的前提．5．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）計算：3cot60°+2sin45°＝3+2分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：3cot60°+2sin45°＝3×33=3故答案為：3+【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋?青浦區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝6．分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，∴AB=BC故答案為：16．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．8．(2023秋?黃浦區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠分析：根據(jù)∠B的正弦值即可判斷．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB那么sinB=AC∴∠B＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9.（青浦2020一模16）如圖，在菱形ABCD中，O、E分別是AC、AD的中點，聯(lián)結(jié)OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．答案:；解析：解：如圖，連接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中點，∴O也是對角線的交點，且AC與BD垂直平分，∵O、E分別是AC、AD的中點，∴，∴，在中，，,∴，∴cot∠AOE=.10．（虹口2020一模18）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，點E、F分別在邊AB、BC上，聯(lián)結(jié)EF，將△BEF沿著EF翻折，使BF的對應(yīng)線段B’F經(jīng)過頂點A，交對角線BD于點P，當(dāng)⊥AB時，AP的長為．答案:；解析：解：如圖所示，若⊥AB，則，所以，設(shè)AF=4k，BF=5k,所以AB=3k=9，所以k=3，故AF=12，BF=15，又AD//BC，所以，所以，解得.11.（閔行2020期末13）已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在BC的延長線上的點E處，那么=______.答案:解析：解：由題意，得BD=BE=，，故答案為.12．（虹口2020一模17）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，點D為邊AB上一動點，正方形DEFG的頂點E、F都在邊BC上，聯(lián)結(jié)BG，tan∠DGB的值為．答案:；解析：解：設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則由DE//AC，得，所以BE=2x，所以BF=3x，所以在Rt△GFB中，tan∠DGB=.三．解答題（共13小題）13．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）計算：（1）sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°；（2）2sin30°2sin60°?tan45°分析：（1）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案．（2）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【解答】解：（1）原式==3=5（2）原式==1=3=3【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實數(shù)的混合運(yùn)算；熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．14．(2023?閔行區(qū)校級一模）計算：3tan30°?1cos60°分析：代入特殊角的三角函數(shù)值即可．【解答】解：原式＝3×=3?2+2＝23?【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于只記內(nèi)容，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，代入求值即可．15．(2023秋?金山區(qū)期末）計算：sin45°?tan45°co分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：sin45°?tan45°co=22?1＝22?4＝22?【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16．(2023秋?長寧區(qū)期末）計算：cot30°?2sin60°?tan45°分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解答】解：cot30°?=3=3?（＝1．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．(2023?寶山區(qū)模擬）計算：|2sin45°﹣tan45°|+cos30°?tan60°?cos45°分析：直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．【解答】解：原式＝|2×22=2?1=2【點評】此題主要考查了特殊家的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．18．(2023?灌云縣模擬）計算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°分析：（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而分別代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而分別代入求出答案．【解答】解：（1）原式=2×=1+3=?（2）原式=(32)=3=7【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．19．(2023秋?寶山區(qū)期中）求2sin60°?tan45°3cot60°+2cos60°?cot45°分析：把各特殊角度的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式==3＝2?3【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．20．（2008秋?虹口區(qū)期末）求值：2分析：分別把cos30°=32，sin30°=12，cot45°＝1，cos45°＝sin45°【解答】解：原式=2×(=32?=13?22＝3+22?2＝3【點評】此題比較簡單，只要熟知特殊角度的三角函數(shù)值即可．21.（靜安2020一模19）先化簡，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．答案:；解析：解：原式＝＝．當(dāng)x=sin45°=，y=cos60°=時，原式＝．22.(2023育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．答案:；解析：解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD?AD=4∴CD=2，∴．23.（浦東四署2019期中21）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點D是AB邊上一點，過點D作DE//BC，交邊AC于E．過點C作CF//AB，交DE的延長線于點F．（1）如果，求線段EF的長；（2）求∠CFE正弦值．答案:（1）4；（2）；解析：解：（1）∵DE//BC，∴．又∵BC=6，∴DE=2．∵DF//BC，CF//AB，∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴DF=BC=6．∴EF