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文檔簡介
3.2立體幾何中的向量法(3)第三章空間向量與立體幾何——空間向量與空間角.1本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.以學(xué)生探究為主,探討如何利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.講解二面角的平面角與兩個(gè)半平面的法向量之間的關(guān)系,突破難點(diǎn)。通過例1和例2鞏固掌握二面角的求法,證明線面平行,線面垂直的方法。例3是證明線面平行及求異面直線所成的角,本題可以作為一道備用題,如果時(shí)間不許可,可以直接點(diǎn)擊鏈接“課堂檢測”,進(jìn)入課堂檢測部分。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將立體幾何中的線線角、線面角、二面角轉(zhuǎn)化為空間向量所成的角,再用數(shù)量積的定義求相應(yīng)的角。.2/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54260de45aa8a9cc1dd7292f動(dòng)畫展示面與面的夾角.3
空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法,解題時(shí),可用定量的計(jì)算代替定性的分析,從而避免了一些繁瑣的推理論證.求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題,也是高考的熱點(diǎn)之一.本節(jié)課主要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問題..4用空間向量解決立體幾何問題的三步曲:1.(化為向量問題)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2.(進(jìn)行向量運(yùn)算)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題.3.(回到圖形問題)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義..5OAB..6.7異面直線所成的角lmlm若兩直線所成的角為,則.8線面角ll.9DClBA二面角.10注意法向量的方向:同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角;一進(jìn)一出,二面角等于法向量夾角l.11二面角的范圍:.12.13.14題型一求異面直線的夾角正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn),求異面直線AE與CF所成角的余弦值.【例1】解不妨設(shè)正方體棱長為2,分別取DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則.15規(guī)律方法在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時(shí),若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,則建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解.但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別..16例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=AA1=4,AB=5,D是AB的中點(diǎn)。(1)求證:AC1//面CB1D(2)求AC1與B1C所成角的余弦值。c1ABCA1B1D.17
四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA與平面ABCD所成的角為60°,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo);(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值.【變式1】解
(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.∵∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD⊥平面ABCD,得.18.19題型二求線面角.20【變式2】.21(12分)如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn),求二面角A-A1D-B的余弦值.題型三二面角的求法【例3】.22[規(guī)范解答]如圖所示,取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以AO⊥BC,因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1..23.24【題后反思】幾何法求二面角,往往需要作出其平面角,這是該方法的一大難點(diǎn).而用向量法求解二面角,無需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向量)所成的角,通過向量的數(shù)量積運(yùn)算即可獲解,體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性..25(1)證明:直線MN∥平面OCD;(2)求異面直線AB與MD所成角的大小.[思路分析]建系→求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→求相關(guān)向量坐標(biāo)→向量運(yùn)算→結(jié)論.解作AP⊥CD于點(diǎn)P,分別以AB,AP,AO所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖所示,【示例】.26.27.28例3.長方體中,AB=2,BC=BB1=1,E為中點(diǎn)(1)求證:面EBD⊥面EBC;(2)求DC與面EBC所成的角;(3)求二面角C-DE-B。
A1C1B1BCD1EAD.29例6.正方體中,P為A1B1中點(diǎn)(1)求二面角A1-AC1-B1(2)求二面角P-AC1-B1(3)求面PAC1與面ABCD所成的銳二面角。
A1C1B1BCD1ADP.30例1:如圖,甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處,乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A,B到直線(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解:如圖,化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算ABCD例1圖典例展示.31所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為于是,得設(shè)向量與的夾角為,就是庫底與水壩所成的二面角。因此.32例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證:PA//平面EDB.(2)求證:PB⊥平面EFD.ABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小..33ABCDPEFxyzG解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=1.(1)證明:連接AC,AC交BD于點(diǎn)G,連接EG..34.35.36(3).37.38.39(1)證明:直線MN∥平面OCD;(2)求異面直線AB與MD所成角的大?。?/p>
例3.分析:建系→求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→求相關(guān)向量坐標(biāo)→向量運(yùn)算→結(jié)論.解
作AP⊥CD于點(diǎn)P,分別以AB,AP,AO所在的直線為x,y,
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