統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習第八章立體幾何初步第三節(jié)空間點直線平面之間的位置關學生用書

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系·最新考綱·1．理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．駕馭空間兩條直線的位置關系(相交、平行、異面)．·考向預料·考情分析：以常見的空間幾何體為載體，考查點、直線、平面的位置關系，以及異面直線所成角、線面角等，與平行關系、垂直關系等相結合考查是高考的熱點．學科素養(yǎng)：通過空間位置關系的判定考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記3個學問點1．平面的基本性質表示公理文字語言圖形語言符號語言公理1假如一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內公理2__________的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有______過該點的公共直線α∩β＝l，且P∈l2.空間兩條直線的位置關系(1)位置關系分類：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一條直線的兩條直線____________．等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角________．(3)異面直線所成的角：①定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：____________．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交________1個平行________0個在平面內________多數(shù)個平面與平面平行________0個相交________多數(shù)個二、必明3個常用結論1．公理2的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．2．異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．3．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．三、必練4類基礎題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)假如兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的隨意一條直線．()(3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，并記作α∩β＝A(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(5)經過兩條相交直線，有且只有一個平面．()(二)教材改編2．[必修2·P43練習T1改編]下列說法正確的個數(shù)為()①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④假如兩個平面有三個公共點，則兩個平面重合．A．0B．1C．2D．33．[必修2·P45例2改編]已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形肯定是()A．空間四邊形B．矩形C．菱形D．正方形(三)易錯易混4．(異面直線的概念不清)下列關于異面直線的說法正確的是________．(填序號)①若α?α，b?β，則a與b是異面直線；②若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；③若a，b不同在平面α內，則a與b異面；④若a，b不同在任何一個平面內，則a與b異面．5．(忽視直線在平面內)已知直線a，b和平面α，若a∥b，且直線b在平面α內，則直線a與平面α的位置關系是________．(四)走進高考6．[2024·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A．π2B．π3C．π提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一平面的基本性質[基礎性][例1]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.證明：(1)B，D，F(xiàn)，E四點共面；(2)若直線A1C與平面BDEF的交點為R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線共點．聽課筆記：反思感悟共面、共線、共點問題的證明(1)證明點線共面問題的兩種方法①納入平面法：先確定一個平面，再證有關點、線在此平面內；②協(xié)助平面法：先證有關點、線確定平面α，再證其余點、線，確定平面β，最終證明平面α，β重合．(2)證明點共線問題的兩種方法①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②干脆證明這些點都在一條特定直線上．(3)證明多線共點問題的步驟①先證其中兩條直線交于一點；②再證交點在第三條直線上．證交點在第三條直線上時，依據(jù)是第三條直線應為前兩條直線所在平面的交線，即利用公理3證明．【對點訓練】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．考點二空間兩直線的位置關系[綜合性][例2](1)若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則()A．a∥cB．a，c是異面直線C．a，c相交D．a，c平行或相交或異面(2)[2024·全國卷Ⅲ]如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線聽課筆記：反思感悟【對點訓練】1．若平面α和直線a，b滿意a∩α＝A，b?α，則a與bA．相交B．平行C．異面D．相交或異面2．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有______．(填上全部正確答案的序號)考點三異面直線所成的角[綜合性][例3](1)[2024·廣西南寧三中高三模擬]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E為CC1的中點，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于()A．62B．C．33D．(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．聽課筆記：反思感悟用幾何法求異面直線所成角的詳細步驟：【對點訓練】1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°2．[2024·黑龍江哈爾濱市哈師大附中高三月考]三棱錐P-ABC全部棱長都為2，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點，則異面直線BE，PF所成角的余弦值為()A．35B．C．13D．第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系積累必備學問一、1．過不在一條直線上一條2．(1)相交平行任何一個平面(2)平行相等或互補(3)銳角(或直角)0，3．a∩α＝Aa∥αa?αα∥βα∩β三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2．解析：②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面可能相交，①③正確．答案：C3．解析：如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．答案：B4．解析：①②③中的兩直線可能平行、相交或異面，由異面直線的定義可知④正確．答案：④5.解析：如圖，直線a，b和平面α，若a∥b，且直線b在平面α內，則a與α的位置關系是a∥α或a?α.答案：a∥α或a?α6．解析：方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在直角三角形C1PB中，C1P＝12B1D1＝2，BC1＝22，sin∠PBC1＝PC1BC1＝12，所以∠方法二以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，PB＝-1，-1，2，AD1＝(2，0，－2)．設直線PB與AD1所成的角為θ，則cosθ＝PB·AD1PBAD1＝答案：D提升關鍵實力考點一例1證明：(1)連接B1D1(圖略)∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點，∴α∩β＝PQ又A1C∩β＝R，∴R∈A1C∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．(3)∵EF∥BD，且EF≠BD，∴DE與BF肯定相交，設交點為M.∵BF?平面BCC1B1，DE?平面DCC1D1，平面BCC1B1∩平面DCC1D1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三線共點．對點訓練證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點，∴FE∥A1B且EF＝12A1B∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF與CD1可確定一個平面，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．證明：(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12∴四邊形CD1FE是梯形，∴直線CE與D1F必相交，設交點為P，則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．考點二例2解析：(1)若a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c可以平行，可以相交，可以異面．(2)取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設正方形ABCD的邊長為2，則EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內，所以直線答案：(1)D(2)B對點訓練1．解析：當A∈b時，a與b相交，當A?b時，a與b異面．答案：D2．解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以圖②④中GH與MN異面．答案：②④考點三例3解析：(1)取BC的中點F，連接EF，OF，BC1，如圖所示，∵E為CC1的中點，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即為異面直線OE與AD1所成角，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則在△OEF中，EF＝2，OE＝3，故cos∠OEF＝EFOE＝6(2)如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，因為E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以OE∥AC，OF∥BD，所以OE與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°，當∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝12.當∠EOF＝120°時，取EF的中點M，連接OM，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝答案：(1)B(2)12或對點訓練1．解析：如圖，將三