新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第六章6.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是(B)A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]由物理學(xué)學(xué)問知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定義．故選B．2．設(shè)點O是正方形ABCD的中心，則向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))是(D)A．平行向量 B．有相同終點的向量C．相等向量 D．模相等的向量[解析]畫出圖形如圖所示，明顯向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))是模相等的向量．3．某人向正東方向行進100m后，再向正南方向行進100eq\r(3)m，則此人位移的方向是(C)A．南偏東60° B．南偏東45°C．南偏東30° D．南偏東15°[解析]如圖所示，此人從點A動身，經(jīng)點B，到達(dá)點C，則tan∠BAC＝eq\f(100\r(3),100)＝eq\r(3)，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是東偏南60°，即南偏東30°，應(yīng)選C．4．在同一平面上，把平行于某始終線的一切向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是(B)A．一條線段 B．一條直線C．圓上一群孤立的點 D．一個半徑為1的圓[解析]由于向量的起點確定，而向量平行于同始終線，所以隨著向量模長的改變，向量的終點構(gòu)成的是一條直線．5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則(B)A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線 B．eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線C．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))相等 D．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))相等[解析]如圖，因為D，E分別是AB，AC的中點，所以由三角形的中位線定理可得DE∥BC，所以eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線．二、填空題6．零向量與單位向量的關(guān)系是_共線__(填“共線”“相等”“無關(guān)”)．7．如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，最多可以寫出_6__個互不相等的非零向量．[解析]模為1個單位的向量有2個，如eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；模為2個單位的向量有2個，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))；模為3個單位的向量有2個，如eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，故共有6個．8.如圖，若四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，則：(1)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))；(2)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(3)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；(4)圖中與eq\o(EC,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BD,\s\up6(→)).三、解答題9．如圖，線段AE的四等分點分別是B，C，D，寫出以A，B，C，D，E中的兩點為起點和終點，且分別滿意下列條件的向量：(1)與eq\o(AC,\s\up6(→))共線且長度為|eq\o(AC,\s\up6(→))|的全部向量；(2)與eq\o(AC,\s\up6(→))相等的全部向量．[解析](1)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→)).(2)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→)).10.如右圖，以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中，(1)寫出與eq\o(AF,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．[解析](1)與eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))，與eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為其中心，則下列推斷正確的是(ABC)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C．|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))[解析]由正六邊形的性質(zhì)可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝|eq\o(FC,\s\up6(→))|，明顯eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(FC,\s\up6(→))的方向不同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(FC,\s\up6(→)).2．如圖四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，則下列關(guān)系不肯定成立的是(C)A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C．eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D．eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線[解析]|eq\o(AB,\s\up6(→))|與|eq\o(EF,\s\up6(→))|肯定相等，eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(FH,\s\up6(→))肯定共線，eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(EC,\s\up6(→))肯定共線，若eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線，則BD∥EH，所以∠BDC＝∠DEH，明顯不成立，所以eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))不共線．故選C．3．(多選題)在下列結(jié)論中，正確的是(ACD)A．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件B．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要條件C．a(chǎn)與b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要條件D．a(chǎn)與b方向相反或|a|≠|(zhì)b|是a≠b的充分不必要條件[解析]若a＝b，則a與b方向相同，模相等，所以A正確，B錯誤，C、D正確，故選ACD．二、填空題4．把同一平面內(nèi)全部模不小于1，不大于2的向量的起點，移到同一點O，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形的面積等于_3π__.[解析]這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π.5．有下列說法：①若a≠b，則a肯定不與b共線；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；③在?ABCD中，肯定有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；④若a＝b，b＝c，則a＝c；⑤共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說法是_③④__.[解析]①兩個向量不相等，可能是長度不相等，方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；②A，B，C，D四點可能在同一條直線上，故②不正確；③在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故③正確；④a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故④正確；⑤共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線相互平行的向量，故⑤不正確．三、解答題6．如圖所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成，方格紙中有兩個定點A，B，點C為小正方形的頂點，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)畫出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值．[解析](1)畫出全部的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如圖所示．(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點C位于點C1或C2時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點C位于點C5或C6時，|eq\o(BC,\s\up6(→)