【數(shù)學(xué)】福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題（解析版）

福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.等比數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，依題意，，所以.故選：A2.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng).故選：C.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.8 B.10 C.80 D.160【答案】C【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，其中，當(dāng)時(shí)，可得展開式中的系數(shù)為.故選：C4.試驗(yàn)測(cè)得四組成對(duì)數(shù)據(jù)的值分別為，由此可得關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，（）A.8.4 B.8.6 C.8.7 D.9【答案】C【解析】由條件可知，，，回歸直線過(guò)點(diǎn)，代入直線，得，得，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，.故選：C5.甲、乙兩選手進(jìn)行乒乓球比賽，采取五局三勝制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束），如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲選手以3：1獲勝的概率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】甲選手以3：1獲勝，說(shuō)明前3場(chǎng)中甲贏了兩場(chǎng)，輸了一場(chǎng)，且第四場(chǎng)甲贏，故所求概率為.故選：A6.如圖，太陽(yáng)灶是一種將太陽(yáng)光反射至一點(diǎn)用來(lái)加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽(yáng)灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m【答案】D【解析】以該拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)此拋物線方程為，依題意點(diǎn)在此拋物線上，所以，解得，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：D7.把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，，，分別為，，的中點(diǎn)，則折紙后的大小為（）A.60° B.90° C.120° D.150°【答案】C【解析】折起后的圖形如下所示，連接，，則，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則可確定以下點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，，，，又，，．故選：C8.直線與兩條曲線和均相切，則的斜率為（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由，可得；由，可得，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為和，直線l的斜率，故，由，所以，即直線l的斜率為1.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分，9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在處取得極大值C.在區(qū)間上有2個(gè)極大值點(diǎn)D.在處取得最大值【答案】AB【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A. B.平面C.三棱錐的體積為 D.到平面的距離為【答案】ACD【解析】如圖建系，，A選項(xiàng)正確；設(shè)平面法向量，令，，，不平行平面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,平面法向量，到平面的距離為，D選項(xiàng)正確；三棱錐的體積為，C選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.設(shè)A、B是隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，，，，則（）A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B相互獨(dú)立C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)?，故D正確.故選：BCD12.在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則（）A.P的軌跡方程為 B.P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱C.的面積的最大值為2 D.P的橫坐標(biāo)的取值范圍為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，得到，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由橢圓定義知P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故所在直線是橢圓的對(duì)稱軸，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)殚L(zhǎng)半軸，半焦距，所以短半軸，當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)上，，此時(shí)的面積最大，最大值為2，故C正確.對(duì)于D，聯(lián)立方程，得，由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則____________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量且，所以，所以，即，所以.故答案：14.已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為_____________.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故答案：15.甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有____________種承包方式（用數(shù)字作答）.【答案】60【解析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，有種，再讓乙承包2項(xiàng)，有，剩下的3項(xiàng)丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故答案為：6016.畢達(dá)哥拉斯樹的生長(zhǎng)方式如下：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個(gè)新的小正方形，實(shí)現(xiàn)了一次生長(zhǎng)，再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長(zhǎng)，如此重復(fù)下去，則第次生長(zhǎng)得到的小正方形的周長(zhǎng)的和為______________；11次生長(zhǎng)后所有小正方形（包括第一個(gè)正方形）的周長(zhǎng)的總和為______________.【答案】①②【解析】每次生長(zhǎng)的小正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，每次生長(zhǎng)的小正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，每次生長(zhǎng)的小正方形周長(zhǎng)和依次構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故第n次生長(zhǎng)得到的小正方形的周長(zhǎng)的和為，11次生長(zhǎng)后所有小正方形（包括第一個(gè)正方形）共12組，周長(zhǎng)的總和為.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：.解：（1）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，，所以，由，解得，所以.（2）由，，得，由，有，所以，得.18.隨著全球新能源汽車市場(chǎng)蓬勃發(fā)展，中國(guó)在十余年間實(shí)現(xiàn)了“彎道超車”，新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年位居世界第一.某新能源汽車企業(yè)改進(jìn)并生產(chǎn)了某款純電動(dòng)車，該款電動(dòng)車有白色和紅色.為研究購(gòu)車顧客性別是否與其購(gòu)買的車輛顏色有關(guān)，公司研究團(tuán)隊(duì)利用隨機(jī)抽樣的方法收集了購(gòu)買該車型的男生和女生各60人的數(shù)據(jù)，得到成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示：性別車輛顏色白色紅色女生4020男生5010（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)車顧客的性別與其購(gòu)買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)?（2）現(xiàn)從上述購(gòu)買白色車輛的90名顧客中按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取9人，從購(gòu)買紅色車輛的30名顧客中按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取3人，并從這12人中依次抽取2人作為幸運(yùn)嘉賓，求第二次抽到的嘉賓是男生且購(gòu)買白色車輛的概率.附：，其中臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：購(gòu)車顧客的性別與其購(gòu)買的車輛顏色無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為購(gòu)車顧客的性別與其購(gòu)買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.（2）由題得抽取的12人中，是男生且購(gòu)買白色車輛的有5人.設(shè)A=“第一次抽到的是男生且購(gòu)買白色車輛”，B=“第二次抽到的是男生且購(gòu)買白色車輛”.，，，，由全概率公式，得.所以第二次抽到的嘉賓是男生且購(gòu)買白色車輛概率為.19.如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點(diǎn)，，平面交于點(diǎn)E.（1）證明：四邊形是矩形（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，則點(diǎn)為平面與棱的交點(diǎn)，證明如下：連接和，因?yàn)辄c(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，所以∥，，因?yàn)椤?，，所以∥，，所以四邊形是平行四邊形，所以點(diǎn)為平面與棱的交點(diǎn)，因?yàn)?，∥，所以所以四邊形是矩形，?）連接，在正中，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)椋?，所以為正三角形，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，所以,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角的大小為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為20.某商場(chǎng)為促進(jìn)消費(fèi)，規(guī)定消費(fèi)滿一定金額可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).抽獎(jiǎng)箱中有4個(gè)藍(lán)球和4個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.有以下兩種抽獎(jiǎng)方案可供選擇：初始獎(jiǎng)池摸球方式獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則方案A30元不放回摸3次，每次摸出1個(gè)球.每摸出一個(gè)紅球，獎(jiǎng)池金額增加50元，在抽獎(jiǎng)結(jié)束后獲得獎(jiǎng)池所有金額.方案B有放回摸3次，每次摸出1個(gè)球.每摸出一個(gè)紅球，獎(jiǎng)池金額翻倍，在抽獎(jiǎng)結(jié)束后獲得獎(jiǎng)池所有金額.（1）若顧客選擇方案A，求其所獲得獎(jiǎng)池金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）以獲得獎(jiǎng)池金額的期望值為決策依據(jù)，顧客應(yīng)該選擇方案A還是方案B?解：（1）由題意可知可能取值為30，80，130，180，則，，，，所以的分布列為3080130180所以（2）設(shè)顧客選方案，所獲得的金額為，則的可能取值為30，60，120，240，則，，，，所以，所以，所以選擇方案.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋诙x域上單調(diào)遞增，令，得，則當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由函數(shù)，，，由于在為增函數(shù)，且值域?yàn)?，所以在上有唯一的?shí)數(shù)根，即，得，則，則當(dāng)時(shí)，所以，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值，，令，即在上恒成立，令，則，則當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)