微專題18 小船過河問題-2025版高中物理微專題

微專題18小船過河問題【核心要點提示】小船渡河問題分析(1)船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動．(2)三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度)．(3)三種情景①過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝eq\f(d,v1)(d為河寬)．②過河路徑最短(v2<v1時)：合速度垂直于河岸時，航程最短，s短＝d.船頭指向上游與河岸夾角為α，cosα＝eq\f(v2,v1).③過河路徑最短(v2>v1時)：合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短．由圖可知：cosα＝eq\f(v1,v2)，最短航程：s短＝eq\f(d,cosα)＝eq\f(v2,v1)d.【微專題訓(xùn)練】如圖所示，甲、乙兩同學(xué)從河中O點出發(fā)，分別沿直線游到A點和B點后，立即沿原路線返回到O點，OA、OB分別與水流方向平行和垂直，且eq\x\to(OA)＝eq\x\to(OB)。若水流速度不變，兩人在靜水中游速相等，則他們所用時間t甲、t乙的大小關(guān)系為()A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙C．t甲>t乙 D．無法確定解析：選C設(shè)水速為v0，人在靜水中的速度為v，eq\x\to(OA)＝eq\x\to(OB)＝x。對甲，O→A階段人對地的速度為(v＋v0)，所用時間t1＝eq\f(x,v＋v0)；A→O階段人對地的速度為(v－v0)，所用時間t2＝eq\f(x,v－v0)。所以甲所用時間t甲＝t1＋t2＝eq\f(x,v＋v0)＋eq\f(x,v－v0)＝eq\f(2vx,v2－v02)。對乙，O→B階段和B→O階段的實際速度v′為v和v0的合成，如圖所示。由幾何關(guān)系得，實際速度v′＝eq\r(v2－v02)，故乙所用時間t乙＝eq\f(2x,v′)＝eq\f(2x,\r(v2－v02))。eq\f(t甲,t乙)＝eq\f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正確。一小船渡河，已知河水的流速與距河岸的距離的變化關(guān)系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖乙所示，則()A．船渡河的最短時間75sB．要使船以最短時間渡河，船在河水中航行的軌跡是一條直線C．要使船以最短路程渡河，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直D．要使船以最短時間渡河，船在河水中的速度是5m/s【解析】當(dāng)船的速度與河岸垂直時，渡河時間最短，t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(300,4)s＝75s，故A正確；船在沿河岸方向上做變速運動，在垂直于河岸方向上做勻速直線運動，兩運動的合運動是曲線運動，故B錯誤；要使船以最短時間渡河，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直，故C錯誤；要使船以最短時間渡河，船在航行中與河岸垂直，根據(jù)速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5m/s，故D錯誤．【答案】A【鞏固習(xí)題】1.(2014·四川·4)有一條兩岸平直、河水均勻流動、流速恒為v的大河．小明駕著小船渡河，去程時船頭指向始終與河岸垂直，回程時行駛路線與河岸垂直．去程與回程所用時間的比值為k，船在靜水中的速度大小相同，則小船在靜水中的速度大小為()A.eq\f(kv,\r(k2－1))B.eq\f(v,\r(1－k2))C.eq\f(kv,\r(1－k2))D.eq\f(v,\r(k2－1))【解析】設(shè)大河寬度為d，小船在靜水中的速度為v0，則去程渡河所用時間t1＝eq\f(d,v0)，回程渡河所用時間t2＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,0)－v2)).由題知eq\f(t1,t2)＝k，聯(lián)立以上各式得v0＝eq\f(v,\r(1－k2))，選項B正確，選項A、C、D錯誤．【答案】B2.一艘船在一條河流中渡河，當(dāng)河水不流動時，船垂直渡河用時t1.當(dāng)發(fā)生山洪后，在流動的河水中，船在同一位置垂直河岸渡河用時為(設(shè)船相對于靜水的速度一定，水速是船相對于靜水的速度大小的一半)()A.eq\r(2)t1B．2t1C.eq\r(3)t1D.eq\f(2\r(3),3)t1【解析】設(shè)河寬為L，船相對于靜水的速度為v，則河水不流動時，船垂直渡河時間：t1＝eq\f(L,v).當(dāng)河水速度為eq\f(v,2)時，要垂直河岸渡河，則有：v′＝eq\r(v2－\f(v,2)2)＝eq\f(\r(3),2)v，船垂直渡河時間：t2＝eq\f(L,v′)＝eq\f(L,\f(\r(3),2)v)＝eq\f(2,\r(3))·eq\f(L,v)＝eq\f(2\r(3),3)t1，選項D正確．【答案】D3.如圖所示，船從A點開出后沿直線AB到達對岸，若AB與河岸成37°角，水流速度為4m/s，則船從A點開出的最小速度為()A．2m/s B．2.4m/sC．3m/s D．3.5m/s解析：選B設(shè)水流速度為v1，船在靜水中的速度為v2，船沿AB方向航行時，運動的分解如圖所示，當(dāng)v2與AB垂直時，v2最小，v2min＝v1sin37°＝2.4m/s，選項B正確?！敬鸢浮緽4.如圖所示，河的寬度為L，河水流速為v水，甲、乙兩船均以靜水中的速度v同時渡河。出發(fā)時兩船相距2L，甲、乙船頭均與岸邊成60°角，且乙船恰好能直達正對岸的A點。則下列判斷正確的是()A．甲船正好也在A點靠岸B．甲船在A點左側(cè)靠岸C．甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇D．甲、乙兩船到達對岸的時間相等答案BD解析甲、乙兩船垂直河岸的速度相等，渡河時間為t＝eq\f(L,vsin60°)，乙能垂直于河岸渡河，對乙船則有v水＝vcos60°，可得甲船在該時間內(nèi)沿水流方向的位移為(vcos60°＋v水)eq\f(L,vsin60°)＝eq\f(2,3)eq\r(3)L<2L，甲船在A點左側(cè)靠岸，甲、乙兩船不能相遇。綜上所述，A、C錯誤，B、D正確。5.(多選)河水的流速隨離河岸的距離的變化關(guān)系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖乙所示，若要使船以最短時間渡河，則()A．船渡河的最短時間是60sB．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C．船在河水中航行的軌跡是一條直線D．船在河水中的最大速度是5m/s解析：要使船以最短時間過河，船頭應(yīng)始終與河岸垂直，tmin＝eq\f(d,v船)＝100s，選項A錯誤，B正確；船的軌跡由合速度確定，因v船⊥v水，v水發(fā)生變化，則合速度的大小和方向均發(fā)生變化，軌跡是曲線，選項C錯誤；vm＝eq\r(42＋32)m/s＝5m/s，選項D正確。答案：BD6.(2016·遼寧遼陽市高三質(zhì)檢)小河寬為d，河水中各點水流速度與各點到較近河岸邊的距離成正比，v水＝kx，k＝eq\f(4v0,d)，x是各點到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為v0，則下列說法中正確的是()A．小船渡河時的軌跡為直線B．小船渡河時的軌跡為曲線C．小船到達距河對岸eq\f(d,4)處，船的渡河速度為eq\r(2)v0D．小船到達距河對岸eq\f(3d,4)處，船的渡河速度為eq\r(10)v0【解析】小船在沿河岸方向上做變速直線運動，在垂直于河岸方向上做勻速運動，合加速度的方向與合速度方向不在同一條直線上，做曲線運動，故B正確，A錯誤；小船到達距河對岸eq\f(d,4)處，水流速為v水＝keq\f(d,4)＝v0，則v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,0))＝eq\r(2)v0。故C正確；小船到達距河對岸eq\f(3d,4)處，水流速為v水＝eq\f(4v0,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(3d,4)))＝v0，則船的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,0))＝eq\r(2)v0，故D錯誤?！敬鸢浮緽C7.(多選)如圖7甲、乙所示，民族運動會上有一個騎射項目，運動員騎在奔馳的馬背上沿跑道AB運動，且向他左側(cè)的固定目標(biāo)拉弓放箭．假設(shè)運動員騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的箭的速度為v2，跑道離固定目標(biāo)的最近距離OC＝d.若不計空氣阻力的影響，要想命中目標(biāo)且射出的箭在空中飛行時間最短，則()A．運動員放箭處離目標(biāo)的距離為eq\f(v1,v2)dB．運動員放箭處離目標(biāo)的距離為eq\f(\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2)),v2)dC．箭射到固定目標(biāo)的最短時間為eq\f(d,v2)D．箭射到固定目標(biāo)的最短時間為eq\f(d,\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))【解析】聯(lián)系“小船渡河模型”可知，射出的箭同