2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第一章第14節(jié)洛必達法則教師版

洛必達法則學(xué)問與方法在有的問題中，我們要探討函數(shù)的圖象，但函數(shù)存在沒有定義的點，代入解析式計算函數(shù)在該點處的函數(shù)值時，會出現(xiàn)諸如、的不定式，從而無法用初等的方法探討函數(shù)在該點旁邊的圖象走勢.例如，在探討函數(shù)在旁邊的圖象時，初等代數(shù)的方法就會顯得手足無措，此時，我們須要用到高等代數(shù)中的一個重要定理：洛必達法則.1．洛必達法則：設(shè)函數(shù)與在上存在導(dǎo)數(shù)，，且或，，其中a為有限值或無窮大，則（其中表示從的右側(cè)無限靠近，類似的，表示從的左側(cè)無限靠近）類似的，對于左側(cè)極限，也有相應(yīng)的結(jié)論：洛必達法則給了我們一種求極限的簡便方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)的范疇，一般來說，洛必達法則的條件都能夠滿意，因此，假如遇到型、型的不定式，就可以把分子分母分別求導(dǎo)，再求極限，所得的結(jié)果與原來的極限值是相等的.下面我們來考慮時，式的極限值，留意到該式的分子，分母，屬于型的不定式，分子分母在旁邊都能求導(dǎo)，所以兩者相除所得的極限值等于分子分母分別求導(dǎo)之后再相除求極限所得值，即.假如我們要作出函數(shù)的圖象，可以先求導(dǎo)探討其單調(diào)性，再作草圖.易求得，令，則，明顯，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，所以在和上均為減函數(shù)，雖然在處沒有定義，但我們已經(jīng)求出了它在時的極限，再求出當(dāng)、時的極限值，，據(jù)此就可以作出函數(shù)的草圖，如下圖所示.洛必達法則在高等代數(shù)中的應(yīng)用特別廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們也可以用它來解決一些簡潔的求極限問題.下面通過一些實例來感受洛必達法則的作用.提示：①若用了一次洛必達法則后，仍舊滿意洛必達法則的運用條件，那么可以再用洛必達法則，直到不滿意洛必達法則的運用條件為止；②在解答題中運用洛必達法則，存在被扣分的風(fēng)險，所以本節(jié)的例題和強化訓(xùn)練，我們都只選取小題.解答題中運用洛必達法則的方法和小題中類似；③同學(xué)們提前了解洛必達法則，主要目的是學(xué)習(xí)一個新的探討函數(shù)的工具，能夠站在更高處，更為透徹地看待問題，不應(yīng)當(dāng)是為了用它投機取巧，反而忽視了中學(xué)數(shù)學(xué)中本該重點學(xué)習(xí)的初等方法.典型例題【例1】若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯，所以0是函數(shù)的一個零點，從而當(dāng)時，應(yīng)還有1個零點，此時，，設(shè)，則，令，則，，所以，，從而在上，在上，又，所以恒成立，從而在R上，而，所以當(dāng)時，，從而，當(dāng)時，，從而，故在和都是增函數(shù)，由洛必達法則，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)且時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點，此時共有2個零點，所以實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【例2】若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】當(dāng)時，不等式對隨意的實數(shù)a都成立，當(dāng)時，不等式等價于,令，則，令，則，所以在上，又，所以，從而，所以在上，由洛必達法則，，所以要使恒成立，只需，故實數(shù)a的取值范圍是.【答案】強化訓(xùn)練1.（★★★★）若函數(shù)有且僅有3個零點，則實數(shù)α的取值范圍是________.【解析】明顯是函數(shù)的1個零點：當(dāng)且時，，所以共有3個零點等價于直線與函數(shù)（且）的圖象有2個交點，令（且），則，令，則令，則,所以，，從而在上，在上，又，所以恒成立，從而，故在上，因為，所以當(dāng)時，，從而；當(dāng)時，，從而，所以在上，在上，由洛必達法則，，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，故a的取值范圍是.【答案】2.（★★★★）若當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯當(dāng)時，不等式對隨意的a都成立，當(dāng)時，，令，則恒成立，，令，則，，所以在上，又，所以，從而在上，結(jié)合知，故，所以在上，由洛必達法則，，從而要使恒成立，需滿意.【答案】3.（★★★★）若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】明顯當(dāng)時，不等式對隨意的a都成立，當(dāng)時，，從而要使恒成立，首先，恒成立，所以①，此時，，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上，又，所以恒成立，從而，故在上，因為，所以恒成立，從而，故在上，由洛必達法則，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，恒成立，結(jié)合①可得實數(shù)a的取值范圍是.【答案】4.（★★★★）不等式對隨意的成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】，令，則，令，則，，易證當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，從而，故在上，又，所以恒成立，故在上，結(jié)合可得恒成立，