2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第02講 傳統(tǒng)法中的空間直線、平面的平行垂直關(guān)系（原卷版）

第02講利用向量法解決空間直線、平面的平行，垂直關(guān)系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：線面平行的判定 1題型二：面面平行的判斷 5題型三：線面平行的性質(zhì) 11題型四：面面平行的性質(zhì) 15題型五：直線與平面垂直 22題型六：平面與平面垂直 29題型一：線面平行的判定典型例題例題1．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考期末）如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求異面直線和所成角的余弦值．例題2．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，在上，且．

(1)求三棱錐與三棱錐的體積之比；(2)若點(diǎn)在上，且．證明：平面．例題3．（2023春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在直三棱柱中，是的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；(2)求三棱錐的體積；2．（2023春·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P滿足條件時(shí)，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個(gè)滿足題意的條件即可)題型二：面面平行的判斷典型例題例題1．（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）如圖，在幾何體中，已知四邊形是正方形，，分別為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).

(1)證明：//平面；(2)證明：平面//平面.例題2．（2023春·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).

(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.例題3．（2023春·新疆昌吉·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，若，分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求證：//面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面//平面，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖：在正方體中，為的中點(diǎn).

(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.2．（2023春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖：在正方體中，，為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.3．（2023春·廣西百色·高一統(tǒng)考期末）如圖：在正方體中，M為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，說明理由.題型三：線面平行的性質(zhì)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在五面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，，，，．求證：．例題2．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：平面；例題3．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知，分別是菱形的邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若平面，試確定點(diǎn)的位置．

精練核心考點(diǎn)1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一校考期中）如圖，在四棱錐中，//平面PAD，，，，點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)．求證：

(1)//；(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值．2．（2023春·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為邊長(zhǎng)為2的正方形，E為的中點(diǎn)，過，D，E的平面交于點(diǎn)F．

(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，且．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)平面時(shí)，求的值．

題型四：面面平行的性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．(1)若平面與直線交于點(diǎn)，求的值；(2)若為棱上一點(diǎn)且，若平面，求的值．例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；例題3．（2023春·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）如圖，正四棱臺(tái)中，，，.

(1)證明：平面；(2)若，求異面直線與所成的角的余弦值.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點(diǎn)．

(1)證明：平面PAC；(2)在線段BD上找一點(diǎn)H，使得平面PCG，并說明理由．2．（2023春·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn).證明：

(1)平面；(2)平面.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)．且，求：側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．題型五：直線與平面垂直典型例題例題1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？计谀┤鐖D，四棱錐的底面是正方形，底面，，是棱的中點(diǎn).

(1)證明：直線平面PBC；(2)求直線與平面所成角的余弦值.例題2．（2023春·福建南平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，為的中點(diǎn)，，且，，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面.例題3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面．（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京西城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)證明：平面．2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，，，，，E為PA的中點(diǎn).

(1)求證：BE∥平面PCD；(2)求證：PA⊥平面PCD.3．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，已知正方體的棱長(zhǎng)為，..分別是..的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型六：平面與平面垂直典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn)

(1)證明：直線//平面；(2)若平面平面，證明：直線平面.例題2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).

(1)求證：⊥平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值.例題3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，，.在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：