2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第03講 正弦定理與余弦定理及其應(yīng)用（解析版）

第03講正弦定理與余弦定理及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理解三角形 1題型二：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理判斷三角形形狀 5題型三：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理確定三角形個(gè)數(shù) 10題型四：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理求三角形周長（邊的代數(shù)和） 13題型五：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理求三角形面積 22題型六：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理解決四邊形問題 30題型七：重點(diǎn)考查正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 37題型一：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理解三角形典型例題例題1．（2023春·河北承德·高一校聯(lián)考期中）已知的三邊長分別為，，，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)的最小內(nèi)角為，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，則．故選：B．例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，，，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【詳解】解：，的面積為，∴，又，由余弦定理，，可得：.故選：B例題3．（多選）（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中學(xué)?？计谥校┰谥?，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】由正弦定理可得，.因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，或.故選：AB.例題4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在中，若，，，則____．【答案】/【詳解】由，得，則，則，所以（負(fù)值舍去），由，在三角形中易得，因?yàn)?，所?故答案為：.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，．(1)求的大小；(2)若點(diǎn)滿足，，，求．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由正弦定理得，所以，展開得，即．因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以A為CD的中點(diǎn)，又，所以．由題可知，，所以，則，解得，，所以，即．精練核心考點(diǎn)1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，，且的面積為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】由于,，故有，解得，又，則,故選：A．2．（2023春·北京·高一匯文中學(xué)?？计谥校┰谥?，角A，，的對邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，∵，∴.故選：C3．（2023春·四川達(dá)州·高一達(dá)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足，且，則________，________．【答案】//【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，由，，解得，即，所以，，所以根?jù)余弦定理可得，故答案為：；.4．（2023春·上?！じ咭簧虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的值為____________.【答案】/【詳解】在中，∴，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，，可?故答案為：5．（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中學(xué)?？计谥校┰谥?，若，則__________．【答案】/【詳解】由已知結(jié)合正弦定理邊化角可得，，即，所以有，所以.故答案為：.題型二：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，分別是內(nèi)角所對的邊，且滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰鈍角三角形C．等邊三角形 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【詳解】由于，所以為銳角，由余弦定理得，則為銳角.由以及余弦定理得，，由于，所以，即，所以，所以三角形是等邊三角形.故選：C例題2．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切危蔬x：D.例題3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則為等腰直角三角形D．若，則為直角三角形【答案】ACD【詳解】對于A，，由正弦定理可得，則，即，所以，則為等腰三角形，A選項(xiàng)正確；對于B，，由正弦定理可得，即，所以，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，，由正弦定理可得，則，所以，所以為等腰直角三角形，C選項(xiàng)正確；對于D，，由射影定理，則，則為直角三角形，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.例題4．（多選）（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）在中，內(nèi)角、、的對邊分別是、、，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，，則為等邊三角形D．若，，，則有兩解【答案】AC【詳解】對于A選項(xiàng)，若，由正弦定理可得，則，所以，為等腰三角形，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)椤⒅兄辽儆幸粋€(gè)是銳角，則，從而可知、均為銳角，由可得，因?yàn)?、，則、，所以，或，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，由余弦定理可得，即，所以，，因此，為等邊三角形，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，由正弦定理得，所以，不存在，D錯(cuò).故選：AC.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，則，則，所以為有一個(gè)角為的直角三角形.故選：B.2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,又得,進(jìn)而可得,而為三角形內(nèi)角，故，進(jìn)而，故三角形為等邊三角形，故選：B3．（多選）（2023春·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，則下列四個(gè)命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是銳角三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AD【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，則，因?yàn)橹辽儆袃蓚€(gè)銳角，從而可得，故為銳角三角形，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為增函數(shù)，故，所以，為等邊三角形，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)椤?，所以，?又因?yàn)椤⒅兄辽儆幸粋€(gè)為銳角，則，則、均為銳角，所以，、，所以，或，即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但、是否都是銳角，不能保證，因此不一定是銳角三角形，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由、、，所以、、均為銳角，所以為銳角三角形，所以D正確．故選：AD．4．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）的內(nèi)角的對邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則一定是銳角三角形B．若，則一定是等邊三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等腰三角形【答案】BD【詳解】對于A，若，則，則為銳角，但是兩角無法判斷其是否為銳角，如當(dāng)時(shí)，，，為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以，且，所以，所以為等邊三角形，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，即，則，又因?yàn)?，所以或（舍去），所以為等腰三角形，故D正確.故選：BD.題型三：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理確定三角形個(gè)數(shù)典型例題例題1．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，．若利用正弦定理解有兩解，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，B=45°，CD⊥AB，則，以C為圓心，CA=b=2為半徑畫圓弧，要使△ABC有兩個(gè)解，則圓弧和BA邊應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn)，故CA>CD且CA<CB，即，解得．故選：B．例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】，，，由正弦定理得：，又為三角形的內(nèi)角，，故只有一解，故A錯(cuò)誤；，，，由正弦定理得：，所以無解，故B錯(cuò)誤；，，，，又為鈍角，為銳角，故只有一解，故C錯(cuò)誤；，，，由正弦定理得：，，，即，則滿足題意的有兩解，故D正確.故選：D例題3．（2023春·陜西西安·高一西安市第八十三中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，分別是角，，所對的邊，，，若有兩解，請寫出一個(gè)滿足題意的的值：_____.【答案】（答案不唯一）【詳解】取，則，即，，，或，驗(yàn)證滿足，故有兩個(gè)解，滿足.故答案為：（答案不唯一）例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，的對邊分別為，，，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為_________.（請寫出所有正確答案的序號）【答案】②③【詳解】選擇①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①錯(cuò)誤；選擇②，因?yàn)椋?由正弦定理，得，解得，所以,所以有兩解，故②正確；選擇③，由，得,解得，因?yàn)?，所以或，所以有兩解，故③正確；故答案為：②③.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，過作于，如下圖示，則，可得時(shí)，三角形有兩解.當(dāng)，即時(shí)，三角形不存在；當(dāng)或2時(shí)，△分別對應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，在射線方向上有一個(gè)△，而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形；故選：C2．（多選）（2023春·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）在中，角的對邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，有唯一解B．，無解C．，有兩解D．，有唯一解【答案】AD【詳解】解：選項(xiàng)A，，已知三邊三角形確定，有唯一解，A正確；選項(xiàng)B，由正弦定理得：，則，再由大邊對大角可得，故可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由正弦定理得：，則，且，由大邊對大角可得，則只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由正弦定理得：，，由于，則是銳角，有唯一解，D正確.故選：AD.3．（2023春·四川成都·高一成都外國語學(xué)校?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為______．【答案】【詳解】由正弦定理可得,,又，，所以在有唯一解，故或故答案為：.4．（2023春·江蘇南通·高一江蘇省通州高級中學(xué)校考期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，則b的取值范圍為___________.【答案】【詳解】因?yàn)?，，由正弦定理得，要使三角形有唯一解，則或，所以或，即或，解得或，則b的取值范圍為.故答案為：.題型四：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理求三角形周長（邊的代數(shù)和）典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，．(1)若在銳角中，，求周長的取值范圍；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，則在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍為；（2）在中，，在中，，所以，整理得，所以，又，所以，所以,所以.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．(1)求角的值；(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），（法一），，，∴，則，又為銳角三角形，故.（法二）則，，∴，且為銳角三角形，故.（2），，由于為銳角三角形，則，且，解得，（法一）周長，而，即，∴，故的周長l的取值范圍為．（法二）由上，由余弦定理得，周長，記，則在單調(diào)遞增，∴的周長l的取值范圍為．例題3．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谥校┰谥?，，從條件①；條件②，兩個(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知，解答下面問題.(1)若，求的面積；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)面積為(2)【詳解】（1）選①：，又，則，由，故，根據(jù)，而，故，，所以或（舍），綜上，，則的面積為；選②：，所以，則，由，則，，可得，根據(jù)，而，故，，所以或（舍），綜上，，則的面積為；（2）由（1），，則，且，所以，又為銳角三角形，，則，故，所以，則.例題4．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并給予解答：問題：銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，___________，求周長的取值范圍．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，若選①：若，由正弦定理，可得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則滿足，可得，則，所以，可得，則周長的取值范圍為．若選②：若，由正弦定理，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則滿足，可得，則，所以，所以，則周長的取值范圍為．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，C=.(1)當(dāng)時(shí)，求的面積;(2)求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，即，即，當(dāng)時(shí)，，得;當(dāng)時(shí)，，由正弦定理得，由余弦定理及已知條件可得，聯(lián)立.解得，故三角形的面積為.（2）法一：由余弦定理可得:，由得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號.又，即.即周長的取值范圍是.法二:，中，由正弦定理有，.即周長的取值范圍是.2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且.(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，且，，求的周長.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意知，故由正弦定理可得，即，又，所以,即，即，而在中，，所以，即；（2）若為的中點(diǎn)，且，，即,則,故，由得，由可得，則，故的周長為.3．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谥校┰阡J角中，角的對邊分別為，S為的面積，且．(1)求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，又∵，∴∴，∴（舍），.（2）∵，∴，∴∵為銳角三角形，∴，，∴，，∴，，∴．令，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)，當(dāng)，4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，，，則的取值范圍是_____.【答案】【詳解】法一：由正弦定理得，即，，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，利用極限思想，當(dāng)A為直角時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)C為直角時(shí)，，，此時(shí)；所以；法二：由正弦定理得，即，，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，由正弦定理得，所以，其中，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，，解得，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，其中，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴，故.故答案為：題型五：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理求三角形面積典型例題例題1．（2023春·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線過的重心（三條中線的交點(diǎn)），與邊、交于點(diǎn)，且，，直線將分成兩部分，分別為和四邊形，其對應(yīng)的面積依次記為和，則的最大值為__________．【答案】/【詳解】由，可知，，連接并延長交于，過作//，過作//，分別交的延長線于如圖所示.根據(jù)重心的性質(zhì)可知，，不妨設(shè).由//，容易得到和三角形相似，于是；由//，容易得到和三角形相似，于是.由是梯形的中位線可得.根據(jù)三角形的面積公式：.根據(jù)基本不等式，即，當(dāng)時(shí)取得等號.故，即，最大值為.故答案為：例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，且的周長為12．(1)求證：為直角三角形；(2)求面積的最大值．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）在中有，，又，則，可得，可得①，又，，是三角形內(nèi)角，若，則，此時(shí)①式不成立；若，則，此時(shí)①式不成立；所以，則，則，所以是直角三角形．（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，又，則，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．例題3．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）從①；②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．(1)求角；(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①：，由正弦定理得，即：，∵，∴，∵在△ABC中，，∴，化簡得：，∵，∴，∴．若選②：，由正弦定理得，，∵在△ABC中，，∴，即，∵，∴，故．（2）由角平分線定理：，設(shè)，，由（1）知，則，∵，即，化簡得，故（舍去），或，故．例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若.(1)求；(2)若，，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，在中，，∵，∴,即，∴，∵，∴，可得，解得：.（2）由題意及（1）得在中，，，，∴為邊的中點(diǎn)，∴,∴，即，設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，∴的面積的最大值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，角的對邊分別是，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若求面積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，則，整理得，則，又，則，則，，則.（2）由，可得，又，則，易知，可得，解之得，又，則，由，可得，則.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，點(diǎn)B，D在直線AC的兩側(cè)，，．(1)求∠BAC；(2)求與的面積之和的最大值．【答案】(1)(2)1【詳解】（1）在中，由余弦定理，即，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理，可得，因?yàn)榈拿娣e，的面積，可得與的面積之和，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1，即與的面積之和的最大值為1.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，．(1)求A；(2)若M是直線BC外一點(diǎn)，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，由正弦定理得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以．?）由得，故．因?yàn)?，所以，所以，可?根據(jù)正弦定理可得，.設(shè)，，在中，，由余弦定理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.所以．故面積的最大值為．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為(1)求角；(2)已知邊的中點(diǎn)為，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)椋?，，即，所以，又，所以，所以，?（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理，解得，又，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，因?yàn)?，所以面積的最大值為.題型六：重點(diǎn)考查利用正、余弦定理解決四邊形問題典型例題例題1．（2023春·吉林·高一長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，D是外一點(diǎn)，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．是等邊三角形 B．若，則、，，四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為 D．四邊形面積最小值為【答案】D【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，即，由，可得，所以或，又因?yàn)?，可得．所以，故A正確；對于B，在中，因?yàn)?，，，所以，所以，此時(shí)四邊形對角互補(bǔ)，四點(diǎn)，，，共圓，故B正確；對于CD，等邊中，設(shè)，，在中，由余弦定理得，由于，，可得，所以，因?yàn)?，，所以，所以四邊形面積的最大值為，無最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：D．例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．(1)求線段的長；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，由解得，所以；（2）設(shè)，在中，由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，所以.又，，所以，所以，故四邊形ABCD的面積的最大值為.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是邊長為2的正三角形，在平面上且滿足，記．(1)若，求PB的長；(2)用表示，并求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，且是邊長為2的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以．（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，則，則，所以，則，故的取值范圍為．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京·高一101中學(xué)?？计谥校┰谥校堑膶叿謩e為，.(1)求角的大??；(2)若，為外一點(diǎn)，如圖，，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，，即，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所?（2）在中，，，所以，又，則為等邊三角形，，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值，最大值為.2．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，某學(xué)校有一塊平面四邊形空地，已知，，且.(1)求，兩點(diǎn)間的距離；(2)設(shè)的角的對邊分別是，且滿足，現(xiàn)要在內(nèi)做一個(gè)最大的圓形花圃，求這個(gè)最大圓形花圃的面積.【答案】(1)7(2)【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所?由余弦定理可得，所以，.故，兩點(diǎn)間的距離是7.（2）由正弦定理得，，整理可得，由余弦定理得，.又，所以.因?yàn)樵趦?nèi)部的圓中，內(nèi)切圓的面積最大，設(shè)內(nèi)切圓的半徑是，由（1）可知，則.又，因此.在中，，，由正弦定理得，所以，，于是.又，所以.當(dāng)時(shí)，取得最大值14，從而內(nèi)切圓的半徑取得最大值.故最大圓形花圃的面積是.3．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)四邊形ABCD外接圓的半徑為R，，則，且，∴如圖，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴（2）連接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC為等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)E，連接OE，則，∴當(dāng)點(diǎn)D在OE的延長線上時(shí)，，此時(shí)△ADC面積最大，最大值為∴四邊形ABCD面積的最大值為．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．∴∴四邊形ABCD面積的最大值為．題型七：重點(diǎn)考查正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·北京·高一北京市第二十二中學(xué)校考期中）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故選：D.例題2．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點(diǎn)與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)和點(diǎn)的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)，此時(shí)測得點(diǎn)和點(diǎn)的俯角分別為45°和60°（，，，在同一鉛垂面內(nèi)），則，兩點(diǎn)之間的距離為______米.【答案】【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：例題3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖，為了測量兩山頂間的距離，飛機(jī)沿水平方向在兩點(diǎn)進(jìn)行測量，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，在A點(diǎn)測得的俯角分別為，在B點(diǎn)測得的俯角分別為，同時(shí)測得．(1)求和的長度；(2)求之間的距離．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）在中，由題知,，所以，由正弦定理得，所以，在中，又因?yàn)?，得到，所?（2）在，由（1），，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以.例題4．（2023春·吉林·高一東北師大附中校考期中）三角學(xué)起源于土地和天文學(xué)中的測量.1752年，法國天文學(xué)家拉卡伊（1713-1762）和他的學(xué)生拉朗德（1732-1807）利用三角測量法首次精確地計(jì)算出地月距離.他們的測量方案是：拉卡伊和拉朗德分別來到觀測地德國柏林（A點(diǎn)）和非洲南端的好望角（點(diǎn)），這兩個(gè)地方經(jīng)度相近，可看做在同一經(jīng)度線上，緯度分別是北緯度和南緯度，他們同一時(shí)間分別在這兩個(gè)地方進(jìn)行觀測.如圖所示，當(dāng)夜幕降臨時(shí)，月亮從地平線上越升越高，當(dāng)它到達(dá)最高點(diǎn)，即是平面四邊形時(shí)，在A點(diǎn)（柏林）測出月亮的天頂距（即離開頭頂方向的角度），在點(diǎn)（好望角）測出月亮的天頂距.在中求出，和，在此基礎(chǔ)上，解，求出地月距離的近似值或.設(shè)地球的半徑為，利用測量方案中提供的數(shù)據(jù)（，，，，），求：(1)和；(2).【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）由題意可得：，則為等腰三角形，頂角，所以，由余弦定理得：即；（2）由上可得：，，由正弦定理解可得：精練核心考點(diǎn)1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)處測得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（