2025年高考數(shù)學復(fù)習核心考點全題型突破（新教材新高考）第04講 空間角的傳統(tǒng)法和向量法（原卷版）

第04講空間角的傳統(tǒng)法和向量法目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法） 1題型二：利用向量法求異面直線所成角 6題型三：已知線線角求參數(shù) 11題型四：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法） 18題型五：直線與平面所成角（向量法） 23題型六：利用向量法求直線與平面所成角最值或范圍 31題型七：直線與平面所成角探索性問題 35題型八：二面角（傳統(tǒng)法） 47題型九：二面角（向量法） 52題型十：利用向量法求二面角最值或范圍 63題型十一：二面角探索性問題 70題型一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·四川眉山·高一統(tǒng)考期末）三棱臺中，兩底面和分別是邊長為2和1的等邊三角形，平面.若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·四川成都·高一石室中學?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，，，，平面，為的中點，則直線與所成角的余弦值為.

精練核心考點1．（2023·江蘇·高一專題練習）在長方體中，已知，，則和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肅白銀·高一?？计谀┤鐖D，在四面體中，點在平面上的射影是，，若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．（2023春·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，點是的中點，則直線和所成角的余弦值為．題型二：利用向量法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·陜西西安·高二校考期末）如圖，長方體中，，，，、分別是線段和的中點，則異面直線與所成的角是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．精練核心考點1．（2023·四川綿陽·?？寄M預(yù)測）已知直三棱柱的所有棱長均為1，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為的中點，則異面直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為．題型三：已知線線角求參數(shù)典型例題例題1．（2022秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學校?？茧A段練習）在正方體中，棱長為2，是底面正方形的中心，點在上，是上靠近的三等分點，當直線與垂直的時候，的長為（

）A．1 B． C． D．例題2．（2022秋·全國·高二專題練習）已知正方體的棱長為1，點在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知正方體，點為中點，直線交平面于點.

(1)證明：點為的中點；(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.精練核心考點1．（2022秋·山東淄博·高二山東省淄博第一中學?？茧A段練習）在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵中，，，，若直線與直線所成角為，則(

)A．? B．2 C．? D．?2．（2022秋·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考階段練習）已知四棱錐底面是邊長為的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點(不含端點)，若線段上存在點(不含端點)，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南安陽·高二?？茧A段練習）如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.（1）求證：平面；（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.題型四：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·湖北黃岡·高一黃岡中學校聯(lián)考期末）在長方體中，，，則與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．例題2．（2023春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）在正方體中，直線和平面所成角的大小為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·江蘇·高一專題練習）在正方體中，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．精練核心考點1．（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學?？计谀┰谡襟w中，直線和平面所成角為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，，E為棱PA的中點，則直線CE與平面PAD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

B． C． D．題型五：直線與平面所成角（向量法）典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學?？茧A段練習）如圖所示的多面體，底面為長方形，平面，，則與平面所成角正弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，.求直線與平面所成角的正弦值.例題3．（2023春·湖南長沙·高二雅禮中學?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，點，分別為，的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點.求AE與平面DEF所成角的正弦值.3．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中?？计谀┤鐖D，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，ABC＝90°，AB＝DP＝2，DC＝BC＝1．

(1)證明：AD⊥PB；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．題型六：利用向量法求直線與平面所成角最值或范圍典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習）在長方體中，，，是的中點，點在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，中，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）記平面與平面的交線為直線，點為直線上動點，求直線與平面所成的角的取值范圍.精練核心考點1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折成.在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）馬戲團的表演場地是一個圓錐形棚，如圖，為棚頂，是棚底地面的中心，為棚底直徑，，是棚底的內(nèi)接正三角形，中間的支柱米，從支柱上的點向棚底周圍拉了4根繩子供動物攀爬表演，有一個節(jié)目表演的是猴子從點沿著繩子爬到點，再沿著爬到棚頂，然后從棚頂跳到中的某一根繩子上.(1)當點取在距離點米處時，證明拉繩所在直線和平面垂直；(2)經(jīng)驗表明當拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大時，節(jié)目的觀賞性最佳，問此時應(yīng)該把點取在什么位置.題型七：直線與平面所成角探索性問題典型例題例題1．（2023春·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在長方體中，，，點在長方體內(nèi)（含表面）且滿足．

(1)當時，證明：平面；(2)當時，是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點，為邊上的一個點.

(1)求證:平面平面；(2)若為上的動點，與平面所成角的正切值的最大值為，求平面與平面夾角的余弦值.

例題3．（2023春·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，點為側(cè)棱的中點.(1)求證：；(2)若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.精練核心考點1．（2023春·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一點.

(1)求證：；(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.2．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）已知四棱錐中,平面底面,為的中點,為棱上異于的點.(1)證明:;(2)試確定點的位置,使與平面所成角的正弦值為.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，平面，，是的中點，點在棱上．(1)證明：；(2)若，，直線與平面所成的角為，求的值．題型八：二面角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是的中點．

(1)求證：平面；(2)求側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．

例題2．（2023春·江西宜春·高一灰埠中學?？计谀┤鐖D1，在等腰梯形中，，，，為的中點.將沿翻折，得到四棱錐（如圖2）.

(1)若的中點為，點在棱上，且平面，求的長度；(2)若四棱錐的體積等于2，求二面角的大小.精練核心考點1．（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐的底面是菱形，，，.(1)求證：平面PBD；(2)若E為的中點，求二面角的余弦值.2．（2023春·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┤鐖D，在正方形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，將，分別沿DE、DF折起，使A，C兩點重合于P，連接EF，PB.

(1)點M是PD上一點.若平面EFM，則為何值？并說明理由；(2)點M是PD上一點，若，求二面角的余弦值.題型九：二面角（向量法）典型例題例題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．例題2．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學?？计谀┤鐖D，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且，為的中點，．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．例題3．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知直角梯形中，，，，，，為的中點，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點，使得平面？(2)求二面角的余弦值.精練核心考點1．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面平面，，，.

(1)求證：平面平面；(2)若與平面所成角為，E為的中點，求銳二面角的余弦值.2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，底面ABC是邊長為8的等邊三角形，，，，D在上且滿足.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.3．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預(yù)測）如圖所示，在多面體中，底面為矩形，且底面∥.

(1)證明：∥平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.題型十：利用向量法求二面角最值或范圍典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（

）A． B．C． D．例題2．（2022秋·遼寧·高二?？茧A段練習）某人設(shè)計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當圓弧E2F2（包括端點）上的點P與B1的最短距離為5時，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當點P在圓弧E2E2（包括端點）上移動時，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．精練核心考點1．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段上運動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的取值范圍.2．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點分別為的中點，且.(1)若，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.題型十一：二面角探索性問題典型例題例題1．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形