高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析

知識(shí)與技能：

1、了解由歸納法得出的結(jié)論具有不確定性，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)；

2、掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡單應(yīng)用；

3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想.

過程與方法：

1、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程；

2、通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，逐步體驗(yàn)觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養(yǎng)學(xué)生

嚴(yán)謹(jǐn)

的邏輯推理意識(shí)，并初步掌握論證方法；

3、通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

1、通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；

2、通過對數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的討論，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；

3、通過質(zhì)疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神.

學(xué)情分析

高二學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力,此前剛學(xué)習(xí)過合情推理和基本的證

明方法.學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再認(rèn)識(shí)，所以這對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)習(xí)能

力提出了較高的要求.本節(jié)課是在學(xué)生進(jìn)行了預(yù)習(xí)后講解的，所教班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)比較好，能

力也比較強(qiáng).

評測練習(xí)

1.下面的證明過程有沒有錯(cuò)？

證明：2+4+6+?一+2〃=〃2+〃(ne.N")

證明：假設(shè)“=左時(shí)等式成立，即2+4+6+…+2左=公+左，那么當(dāng)〃=左+1時(shí)，

2+4+6H—?+2k+2(左+1)=%~+左+2(%+1)=(左+1)一+攵+1

即〃=k+1時(shí)等式也成立.從而原命題成立.

2.證明：2+4+6-I---\-2n=n~+n(〃eN*)

證明：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=2,右邊=1+1=2,左邊=右邊，所以等式成立.

(2)假設(shè)〃=女(%21,46"*)時(shí)等式成立，即2+4+6+…+2左=二+左，那么當(dāng)〃=攵+1

時(shí)，

2+4+6+…+2女+2(攵+1)=2(1+2+3+…+Z+Z+1)

=2小丁+1"+1)』+1

即〃=k+1時(shí)等式也成立.

根據(jù)(1)(2)可得，等式對所有的neN*都成立.

觀評記錄

一、教學(xué)目標(biāo)

1、了解由歸納法得出的結(jié)論具有不確定性，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)；

2、掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡單應(yīng)用；

3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些

與正整數(shù)n(n取無限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

難點(diǎn)：(D學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，

不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關(guān)系.

三、教學(xué)過程

(-)創(chuàng)設(shè)問題情景

師：我們先來探究下面兩個(gè)問題：

問題1：在數(shù)列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃￡N*),計(jì)算出，的，4的值并猜

1+4

想數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一'猜想：=一

2■34n

師：很好.本題是觀察數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律.我們再來探究一個(gè)問題：

問題2：法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到

22'+1=5

22；+1=17

2"+1=257

2展+1=65537

都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如2'+1（〃eM）的數(shù)都是質(zhì)數(shù).半個(gè)世紀(jì)

后，善于計(jì)算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)

月=2a+1=4294967297

不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想.

總結(jié)：通過前面兩個(gè)例子，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到用不完全歸納法得出的結(jié)論，因?yàn)橹豢?/p>

察了部分情況，結(jié)論不一定正確.對于不正確的情況，我們只需要舉一個(gè)反例即可，但是正

確的情況我們就需要證明.對于問題1,我們會(huì)想到從n=5開始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證.一般來說,

與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來會(huì)很麻煩.

特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的.因此，我們需要另辟蹊

徑，尋求一種方法：通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.這就是這節(jié)課我

們將要學(xué)習(xí)的《數(shù)學(xué)歸納法》.

【點(diǎn)評】教師通過教材前面學(xué)習(xí)過的具體例子引入，從學(xué)生解決過的最熟悉的問題入手,

雖然前面已經(jīng)歸納得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，但能否證明對一切正整數(shù)都成立呢？這就在學(xué)生

思維上形成認(rèn)知沖突，自然引起學(xué)生的探究欲望，從而很自然地引出了這節(jié)課的課題.

（二）設(shè)置問題，引導(dǎo)探究

師：我們先從多米諾骨牌游戲說起.（課件演示）

師：假若有無數(shù)個(gè)多米諾骨牌，如何保證能全部倒下？（課件演示）

生：（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

師：上面的同學(xué)說得很好.可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)冢K倒

下時(shí)，相鄰的第4+1塊也倒下.這樣，只要第一塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒

下.事實(shí)上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

【點(diǎn)評】教師通過生活中的“多米諾骨牌效應(yīng)”，讓學(xué)生繼續(xù)確認(rèn)從有限能夠遞推到無

窮所需要的兩個(gè)充分條件,讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)科學(xué)方法的提煉過程,方法來源于數(shù)學(xué)實(shí)踐,

也服務(wù)于生活，并得到了生活的驗(yàn)證.

師：大家能否類比多米諾骨牌原理，探究出證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的方法（小組討論

3分鐘）.

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值/%eN*）時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)〃=上色之〃°,ZeN*））時(shí)命題成立，證明當(dāng)〃=%+1時(shí)命題也成

立.

其中，第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的依據(jù).由〃。時(shí)命題成立=%+1

時(shí)命題成立=%+2時(shí)命題成立n……這樣，只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從

〃。開始的所有正整數(shù)〃都成立.

上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

【點(diǎn)評】教師在這一環(huán)節(jié)中通過類比“多米諾骨牌效應(yīng)”，提煉出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條

件，將前面提出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行證明，是否可行，關(guān)鍵在于第二步這個(gè)命題是否成立，需要

證明它為真，這樣才能保證一直能夠遞推下去.此時(shí)，教師恰時(shí)恰點(diǎn)的指導(dǎo)至關(guān)重要，這樣

才能突破難點(diǎn)，浸潤遞推思想，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

師：現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明問題1中的猜想呢？

（三）方法嘗試

（學(xué)生板書）

例1證明：（1）當(dāng)”=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,猜想成立.

（2）假設(shè)當(dāng)“=%時(shí)猜想成立，即紇=L則當(dāng)〃=Z+1時(shí)，

k

]_

%I1

k

即〃=%+1時(shí)猜想也成立.

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運(yùn)

用歸納假設(shè)，即以“n=k時(shí)命題成立”為條件，證明“〃=左+1時(shí)命題也成立”.這里容易

出現(xiàn)的錯(cuò)誤是證明中不使用“n=k時(shí)命題成立”這個(gè)條件，而直接將n=k+l代入命題，便斷

言此命題成立，從而得出原命題成立的結(jié)論.

師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、第二步后，必須要下結(jié)論，其格式為：根據(jù)⑴⑵可知

猜想對任意〃eN*都成立.概括起來就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論.”注意：遞推基礎(chǔ)不可少，

歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.

【點(diǎn)評】教師讓學(xué)生試著對問題1中的猜想進(jìn)行證明，從證明過程中歸納出數(shù)學(xué)歸納法

原理的形式化表達(dá)，并總結(jié)出注意事項(xiàng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn).

（四）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

下面請同學(xué)們用數(shù)學(xué)歸納法證明例2

例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：I2+22+?.?+n2=/Z（/?+1）（2/,+1）（neN*）

6

本例主要由學(xué)生完成，教師適時(shí)作必要引導(dǎo).

例3對于任意正整數(shù)〃，猜想并證明2"與n2的大小關(guān)系.

本例要求學(xué)生先猜想后證明，意在使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進(jìn)一

步熟悉數(shù)學(xué)歸納法.教學(xué)中可先讓學(xué)生思考1分鐘，然后讓學(xué)生在黑板上板書解題過程并找

一位同學(xué)進(jìn)行點(diǎn)評,教師做最后的總結(jié).通過這道題，我們可以看出初始值〃。不一定等于1,

其次，用數(shù)學(xué)歸納法證明與不等式有關(guān)的命題時(shí)，一定要有目標(biāo)意識(shí)，再就是比較大小我們

經(jīng)常采用作差法.

【點(diǎn)評】例1總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的注意事項(xiàng)后，例2趁熱打鐵，讓學(xué)生進(jìn)一

步強(qiáng)化步驟.例3是一個(gè)開放性的題目，對學(xué)生的思維提出了更進(jìn)一步的要求，同時(shí)，例1

和例2是證明等式，例3是證明不等式，在證明的過程中，教師結(jié)合題目適時(shí)地點(diǎn)出了初始

值不一定是1和數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的目標(biāo)意識(shí)，通過具體題目點(diǎn)出加深了學(xué)生的印象.

四、課堂小結(jié)（師生共同完成）

重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；

注意：遞推基礎(chǔ)不可少，

歸納假設(shè)要用到，

結(jié)論寫明莫忘掉.

數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：

在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段來解決“無限”的問

題.

數(shù)學(xué)歸納法的核心：

在驗(yàn)證命題〃=%正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯

的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法,

實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍.

五、當(dāng)堂檢測

1.下面的證明過程有沒有錯(cuò)？

證明：2+4+6H---\-2n-iv+n(〃wN')

證明：假設(shè)〃=%時(shí)等式成立，即2+4+6+…+2女=二+左，那么當(dāng)〃=4+1時(shí)，

2+4+6+.—+2左+2(%+1)=%2+左+2(左+1)=(左+1)2+左+1

即〃=左+1時(shí)等式也成立.從而原命題成立.

生：缺少歸納奠基.

2.證明：2+4+6-I---i-2n=n2+n(〃eN*)

證明：(1)當(dāng)”=1時(shí)，左邊=2,右邊=1+1=2,左邊=右邊，所以等式成立.

⑵假設(shè)〃=女色之1,女eN*)時(shí)等式成立，即2+4+6+?一+2左=/+左，那么當(dāng)

〃=A+1時(shí)，

2+4+6+…+2A+2(Z+l)=2(l+2+3+―+Z+Z+l)

=2.空”業(yè)W+13+1

即〃=左+1時(shí)等式也成立.

根據(jù)(1)(2)可得，等式對所有的”eM都成立.

生：沒有用上歸納假設(shè).

【點(diǎn)評】教師選擇學(xué)生熟悉的問題作為例題，容易激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲望，讓學(xué)生糾錯(cuò)，

既可以幫助學(xué)生熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來解決問題，又可以檢查學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解程度,

特別是學(xué)生在解決問題的過程中容易出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，此時(shí)教師恰好利用這些錯(cuò)誤幫助

學(xué)生進(jìn)一步深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

六、課后作業(yè)

課本P96頁

習(xí)題2.3A組1、2；B組1.

教材分析

《數(shù)學(xué)歸納法》是人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書A版選修2-2第二章第

三節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共兩課時(shí)，這是第一課時(shí)，主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的理解及簡單應(yīng)用.

1、數(shù)學(xué)歸納法在教材中的地位和作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種重要證明方法,通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí),

可對中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式

定理等進(jìn)行很好的證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ).

2、數(shù)學(xué)歸納法對思維發(fā)展的地位與作用

人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察一歸納一猜想一證明.猜想

的結(jié)論對不對，證明是尤為關(guān)鍵的.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對等式的恒等變形，

不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握.對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，

蘊(yùn)含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學(xué)思想和方法，對思維的發(fā)

展起到了完善與推動(dòng)的作用.

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些

與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

難點(diǎn)：（D學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，

不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關(guān)系.

4、本節(jié)課可以采取探究式教學(xué)方法，也可以采用教師講授式教學(xué)方法.

5、例題選取

本節(jié)課采用了課本中的例1,例2作為課后作業(yè)來完成.

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、了解由歸納法得出的結(jié)論具有不確定性，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)；

2、掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡單應(yīng)用；

3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些

與正整數(shù)n(n取無限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

難點(diǎn)：(D學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，

不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關(guān)系.

三、教學(xué)過程

(-)創(chuàng)設(shè)問題情景

師：我們先來探究下面兩個(gè)問題：

問題1：在數(shù)列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃￡N*),計(jì)算出，的，4的值并猜

1+4

想數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一，猜想：=一

2■34n

師：很好.本題是觀察數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律.我們再來探究一個(gè)問題：

問題2：法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到

2,+1=5

2"+1=17

2少+1=257

2"+1=65537

都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如2*+1(〃eM)的數(shù)都是質(zhì)數(shù).半個(gè)世紀(jì)

后，善于計(jì)算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)

月=2"+1=4294967297

不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想.

總結(jié)：通過前面兩個(gè)例子，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到用不完全歸納法得出的結(jié)論，因?yàn)橹豢?/p>

察了部分情況，結(jié)論不一定正確.對于不正確的情況，我們只需要舉一個(gè)反例即可，但是正

確的情況我們就需要證明.對于問題1,我們會(huì)想到從n=5開始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證.一般來說,

與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來會(huì)很麻煩.

特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的.因此，我們需要另辟蹊

徑，尋求一種方法：通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.這就是這節(jié)課我

們將要學(xué)習(xí)的《數(shù)學(xué)歸納法》.

（二）設(shè)置問題，引導(dǎo)探究

師：我們先從多米諾骨牌游戲說起.（課件演示）

師：假若有無數(shù)個(gè)多米諾骨牌，如何保證能全部倒下？（課件演示）

生：（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

師：上面的同學(xué)說得很好.可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒

下時(shí)，相鄰的第4+1塊也倒下.這樣，只要第一塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒

下.事實(shí)上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

師：大家能否類比多米諾骨牌原理，探究出證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的方法（小組討論

3分鐘）.

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值/％eN*）時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)〃=乂42〃0，&6?7*））時(shí)命題成立，證明當(dāng)〃=左+1時(shí)命題也成

立.

其中，第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的依據(jù).由〃。時(shí)命題成立=%+1

時(shí)命題成立=%+2時(shí)命題成立n……這樣，只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從

〃。開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

師：現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明問題1中的猜想呢？

（三）方法嘗試

（學(xué)生板書）

例1證明：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,猜想成立.

（2）假設(shè)當(dāng)〃=&時(shí)猜想成立，即為=L,則當(dāng)〃=%+1時(shí)，

k

%I1

K1H---

k

即〃=&+1時(shí)猜想也成立.

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運(yùn)

用歸納假設(shè)，即以“n=k時(shí)命題成立”為條件，證明“〃=左+1時(shí)命題也成立”.這里容易

出現(xiàn)的錯(cuò)誤是證明中不使用“n=k時(shí)命題成立”這個(gè)條件，而直接將n=k+l代入命題，便斷

言此命題成立，從而得出原命題成立的結(jié)論.

師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、第二步后，必須要下結(jié)論，其格式為：根據(jù)⑴⑵可知

猜想對任意〃eN*都成立.概括起來就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論.”注意：遞推基礎(chǔ)不可少，

歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.

（四）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

下面請同學(xué)們用數(shù)學(xué)歸納法證明例2

例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：I2+22+■.-+n2=++（ne7V*）

本例主要由學(xué)生完成，教師適時(shí)作必要引導(dǎo).

例3對于任意正整數(shù)〃，猜想并證明2"與n2的大小關(guān)系.

本例要求學(xué)生先猜想后證明，意在使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進(jìn)一

步熟悉數(shù)學(xué)歸納法.教學(xué)中可先讓學(xué)生思考1分鐘，然后讓學(xué)生在黑板上板書解題過程并找

一位同學(xué)進(jìn)行點(diǎn)評,教師做最后的總結(jié).通過這道題,我們可以看出初始值小不一定等于1,

其次，用數(shù)學(xué)歸納法證明與不等式有關(guān)的命題時(shí)，一定要有目標(biāo)意識(shí)，再就是比較大小我們

經(jīng)常采用作差法.

四、課堂小結(jié)（師生共同完成）

重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；

注意：遞推基礎(chǔ)不可少，

歸納假設(shè)要用到，

結(jié)論寫明莫忘掉.

數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：

在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段來解決“無限”的問

題.

數(shù)學(xué)歸納法的核心：

在驗(yàn)證命題n=%正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯

的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，

實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍.

五、當(dāng)堂檢測

1.下面的證明過程有沒有錯(cuò)？

證明：2+4+64---\-2n=n2+n(nwN")

證明：假設(shè)〃=左時(shí)等式成立，即2+4+6+―+24=公+左，那么當(dāng)〃=左+1時(shí)，

2+4+