浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次階段性測(cè)試含解析

Page20浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次階段性測(cè)試一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率的計(jì)算公式即可得出．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，則，又，．故選：C．2.復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】，．故選：D．3.如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點(diǎn)公式即可得出．【詳解】、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，，．，因此，．故選：D4.一個(gè)水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的過(guò)程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用直線段連結(jié)后得到原四邊形，再計(jì)算平行四邊形的面積即可．【詳解】還原直觀圖為原圖形如圖所示，因?yàn)?，所以，還原回原圖形后，，；所以原圖形的面積為．故選：D5.如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，是等腰直角三角形，其中，則點(diǎn)到平面的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，從而，，設(shè)平面的法向量為則，即令，則，為平面的法向量故點(diǎn)到平面的距離故選.6.在所在的平面內(nèi)，點(diǎn)滿(mǎn)意，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，為的外心，推導(dǎo)出，，由此可求得的值.【詳解】在所在的平面內(nèi)，點(diǎn)滿(mǎn)意，則為的外心，如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接，則，，同理可得，因此，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．詳細(xì)應(yīng)用時(shí)可依據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要留意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．7.如圖：在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，由正弦定理得到，再利用余弦定理求得，然后分別在和中，利用余弦定理得到，，然后兩式相加整理得到a，b的關(guān)系，然后在中，利用余弦定理再得到a，b的關(guān)系，結(jié)合求得b,再利用三角形面積公式求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理整理得：，由余弦定理的，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式相加整理得：，在中，由余弦定理得：，整理得：，所以，解得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.8.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面平面 B.異面直線與所成的角為C.二面角的大小為 D.在棱上存在點(diǎn)使得平面【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面垂直，異面直線所成角的大小以及二面角的求解方法分別進(jìn)行推斷即可．【詳解】解：對(duì)于，取的中點(diǎn)，連，，側(cè)面為正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等邊三角形，，，平面，平面平面，故正確，對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為，故錯(cuò)誤，對(duì)于，底面為菱形，，平面平面，平面，，，，”則是二面角的平面角，設(shè)，則，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小為，故錯(cuò)誤，對(duì)于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，明顯平面與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系以及二面角的求解，依據(jù)相應(yīng)的推斷和證明方法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.某團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如下表所示，年齡28293032364045人數(shù)1335431有關(guān)這20人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說(shuō)法正確的有（）A.眾數(shù)是32 B.眾數(shù)是5 C.極差是17 D.25%分位數(shù)是30【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)人數(shù)最多確定眾數(shù)；最大值減去最小值為極差；利用分位數(shù)的定義求解25%分位數(shù).【詳解】年齡為32的有5人，故眾數(shù)是32，A正確，B錯(cuò)誤；45-28=17，極差為17，C正確；因?yàn)?，所以，?5%分位數(shù)是30，D正確.故選：ACD10.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則C.若，則的虛部為D.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】BD【解析】【分析】舉反例可推斷A；依據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組可解p、q，然后可推斷B；由虛部概念可推斷C；利用兩圓面積相減可推斷D.【詳解】A中，令，則，故A錯(cuò)誤；B中，若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯(cuò)誤；D中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD11.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事務(wù)“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事務(wù)“其次次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與乙互斥 B.丙與丁互斥C.甲與丁相互獨(dú)立 D.乙與丙相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】干脆由互斥事務(wù)的概念推斷A、B選項(xiàng)；計(jì)算出甲、乙、丙、丁事務(wù)的概率，由獨(dú)立事務(wù)概率公式推斷C、D選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為6的全部可能為，兩點(diǎn)數(shù)和為7的全部可能為，甲乙丙丁，對(duì)于A選項(xiàng)，甲與乙可以同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，丙與丁不行能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，（甲?。祝ǘ。?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，（乙丙）（乙）（丙），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在中，角所對(duì)的邊分別為，給出下列四個(gè)命題中，其中正確的命題為（）A.若，則；B.若，則；C.若，則這個(gè)三角形有兩解；D.當(dāng)是鈍角三角形.則.【答案】BCD【解析】【分析】A，求出，即可由正弦定理求出；B，由得出，即得，由正弦定理即可推斷；C，由正弦定理解三角形即可推斷；D，由和的正切個(gè)數(shù)化簡(jiǎn)可推斷.【詳解】對(duì)于A，若，，，由正弦定理可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，且在單調(diào)遞減，若，則，由三角形中大邊對(duì)大角得，再由正弦定理得，故B正確；對(duì)于C，由正弦定理得，則，因?yàn)?，故有兩解，故C正確；對(duì)于D，在中，，則，當(dāng)是鈍角三角形，若或?yàn)殁g角，則，滿(mǎn)意；若為鈍角，則，即，滿(mǎn)意，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸平行，則________.【答案】【解析】【分析】由與軸平行，得、的橫坐標(biāo)相等，可得的值．【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸平行，所以直線與軸垂直，故A、的橫坐標(biāo)相等，則．故答案為：14.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是半徑為4的半圓，則該圓錐的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，解得，再分別計(jì)算側(cè)面積和底面積即可.【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為，由題知：，解得.所以圓錐的底面積為，圓錐的側(cè)面積為.所以表面積.故答案為：.15.由10個(gè)實(shí)數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，方差為，將其中一個(gè)數(shù)3改為1，另一個(gè)數(shù)6改為8，其余的數(shù)不變，得到新的一組數(shù)，方差為，則__________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合方差的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槠渲幸粋€(gè)數(shù)3改為1，另一個(gè)數(shù)6改為8，其余的數(shù)不變，所以新的一組的平均數(shù)與原一組數(shù)的平均數(shù)不變，設(shè)為，沒(méi)有變更的8個(gè)數(shù)分別為：，所以有，，因此，故答案為：216.在等腰梯形中，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，即可求出．【詳解】解：以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，所以，即，所以，，設(shè)，其中，，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，BC＝CD＝2，∠ADC＝150°，∠BCD＝120°．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求∠BAD的大?。敬鸢浮浚?）；（2）45°.【解析】【分析】(1)在ΔBCD中由余弦定理可解得;(2)在ΔADB中，由正弦定理可解得.【詳解】解：（1）如圖:在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，由余弦定理得，，∴.（2）在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CDB=∠CBD=30°∵∠ADC=150°∴∠ADB=120°在ΔADB中，由正弦定理得，∵∴∴∵為銳角∴∠BAD=45°.點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和正弦定理,屬于中檔題.18.某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教化活動(dòng)，為統(tǒng)計(jì)全區(qū)黨員干部一周參與主題教化活動(dòng)的時(shí)間，從全區(qū)的黨員干部中隨機(jī)抽取n名，獲得了他們一周參與主題教化活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教化活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為92．（1）求n的值；（2）以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教化活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）．（3）假如安排對(duì)參與主題教化活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的黨員干部賜予嘉獎(jiǎng)，且在，內(nèi)的分別評(píng)為二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)，那么依據(jù)分層抽樣的方法從獲得一、二等獎(jiǎng)的黨員干部中選取5人參與社區(qū)義務(wù)宣講活動(dòng)，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎(jiǎng)的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)，求出，再計(jì)算即可．（2）設(shè)中位數(shù)為，由，求出即可．（3）列舉出全部的基本領(lǐng)件及滿(mǎn)意條件的事務(wù)，再求出這2人均是二等獎(jiǎng)的概率．【小問(wèn)1詳解】由已知可得，．則，得．【小問(wèn)2詳解】設(shè)中位數(shù)為，則，得．【小問(wèn)3詳解】依據(jù)分層抽樣的方法從，內(nèi)選取的人數(shù)為，從，內(nèi)選取的人數(shù)為．記二等獎(jiǎng)的4人分別為，，，，一等獎(jiǎng)的1人為，事務(wù)為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎(jiǎng)”．從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本領(lǐng)件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人均是二等獎(jiǎng)的狀況有，，，，，，共6種，由古典概型的概率計(jì)算公式得．19如圖，平行六面體中，，.（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）3；（2）0.【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量的加減運(yùn)算以及向量模的運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，可得長(zhǎng)度；（2），，得到，可得異面直線與所成角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】由，，得到以向量為基底，，①，同理可得，①平方得，所以【小問(wèn)2詳解】，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．20.某校設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)嬉戲:參賽選手按第一關(guān),其次關(guān),第三關(guān)的依次依次闖關(guān),若闖關(guān)勝利,分別獲得5個(gè)學(xué)豆,10個(gè)學(xué)豆,20個(gè)學(xué)豆的嘉獎(jiǎng),嬉戲還規(guī)定,當(dāng)選手闖過(guò)一關(guān)后,可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆,結(jié)束嬉戲;也可以選擇接著闖下一關(guān),若有任何一關(guān)沒(méi)有闖關(guān)勝利,則全部學(xué)豆歸零,嬉戲結(jié)束.設(shè)選手甲第一關(guān),其次關(guān),第三關(guān)闖關(guān)勝利的概率分別為,,,選手選擇接著闖關(guān)的概率均為,且各關(guān)之間闖關(guān)勝利與否互不影響.(1)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)勝利且所得學(xué)豆為零的概率;(2)求該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)不少于15的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)勝利且所得學(xué)豆為零”為事務(wù)A，“第一關(guān)闖關(guān)勝利其次關(guān)闖關(guān)失敗”為事務(wù)，“前兩關(guān)闖關(guān)勝利第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事務(wù)，則，互斥，由此利用互斥事務(wù)概率加法公式能求出選手甲第一關(guān)闖關(guān)勝利且所得學(xué)豆為零的概率；（2）該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)可能為0，5，15，35，先用相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算出總個(gè)數(shù)為15和35時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，再相加即可.【詳解】(1)設(shè)“甲第一關(guān)闖關(guān)勝利且所得學(xué)豆為零”為事務(wù)A，“第一關(guān)闖關(guān)勝利其次關(guān)闖關(guān)失敗”為事務(wù)，“前兩關(guān)闖關(guān)勝利第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事務(wù)，則，互斥.，，，所以選手甲第一關(guān)闖關(guān)勝利且所得學(xué)豆為零的概率為.(2)由題意得該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)可能為0，5，15，35，且“該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)為15”的概率為，“該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)為35”的概率為.所以“該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)不少于15”的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意互斥事務(wù)概率加法公式、相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式的合理運(yùn)用，屬于中檔題.21.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(