浙江省紹興市諸暨市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page18浙江省紹興市諸暨市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D2.下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.開口向右，焦點(diǎn)為C.開口向上，焦點(diǎn)為 D.開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】【分析】把化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點(diǎn)為故選：A3.若直線與直線平行，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件列式計(jì)算，再進(jìn)行驗(yàn)證即可作答.【詳解】因直線與直線平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以.故選：A4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長(zhǎng)分別是（）A.；5 B.；C.； D.；【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B5.已知公差為的等差數(shù)列滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴.故選：C6.驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦聞名的建筑事務(wù)所完成的，建筑師的設(shè)計(jì)靈感源于想法：“你永無(wú)止境的愛(ài)是多么的寶貴，人們?cè)谀愫陚サ某岚蛳卤幼o(hù)”.若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.詳解】雙曲線，，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：B7.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，視察規(guī)律，找到數(shù)列改變的周期，再依次去推斷各項(xiàng)的說(shuō)法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項(xiàng)是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項(xiàng)A：，，則.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可知當(dāng)時(shí)，.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，則，即,,成等差數(shù)列.推斷正確；選項(xiàng)D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.推斷錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列直線方程中斜率的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】把所給直線方程化成斜截式直線方程，干脆讀取斜率，與1進(jìn)行比較即可.【詳解】選項(xiàng)A：可化為，斜率，則有.推斷正確；選項(xiàng)B：可化為，斜率.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，斜率，則有.推斷正確；選項(xiàng)D：，斜率，則有.推斷正確.故選：ACD10.已知曲線方程為，則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線圍成的圖形面積為C.若點(diǎn)在曲線上，則D.若圓能覆蓋曲線，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)給定條件逐一分析每一個(gè)選項(xiàng)，推理、計(jì)算推斷作答.【詳解】對(duì)于A，曲線上隨意點(diǎn)有：，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)有，即曲線上隨意點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上，A正確；對(duì)于B，因點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，也都在曲線上，則曲線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓(含端點(diǎn))，因此，曲線是四個(gè)頂點(diǎn)為的正方形各邊為直徑向正方形外所作半圓圍成，如圖，所以曲線圍成的圖形面積是，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)在曲線上，則，則有，即，解得，而，C正確；對(duì)于D，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，D不正確.故選：ABC11.小冰家向銀行貸款萬(wàn)元，貸款時(shí)間為年，假如貸款月利率為，那么依據(jù)等額本金方式還款，她家從起始月起先，每月應(yīng)還本金萬(wàn)元，每月支付給銀行的利息（單位：萬(wàn)元）依次為若小冰家完全依據(jù)合同還款（銀行利率保持不變，也未提前還貸），則小冰家的還款狀況下列敘述正確的是（）A.小冰家每月的還款額是相等的B.小冰家總共還款次數(shù)是次C.小冰家最終一個(gè)月應(yīng)還款是萬(wàn)元D.小冰家還完款，付的利息總額是萬(wàn)元【答案】BCD【解析】【分析】小冰家每月還款分二種金額，固定的本金和變動(dòng)的利息.【詳解】對(duì)于A：由于利息是變動(dòng)的，所以每月還款額不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：貸款時(shí)間為n年，所以還款次數(shù)為12n，故B正確；對(duì)于C：最終一個(gè)月，還款額為，故C正確；對(duì)于D：小冰家還完款，付的利息總額為，故D正確.故選：BCD12.如圖所示，已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（）A.圓和圓外切 B.圓心肯定不在直線上C. D.的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】由雙曲線定義及圓的切線長(zhǎng)定理，數(shù)形結(jié)合可以順當(dāng)求得的橫坐標(biāo)，同樣由數(shù)形結(jié)合可得到直線的傾斜角取值范圍為，接下來(lái)再去求值、證明即可解決.【詳解】雙曲線的，漸近線方程為、，兩漸近線傾斜角分別為和，設(shè)圓與x軸切點(diǎn)為G過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可知直線的傾斜角取值范圍為由雙曲線定義和圓的切線長(zhǎng)定理可知、的橫坐標(biāo)均為，即與x軸垂直.故圓和圓均與x軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項(xiàng)A推斷正確；由雙曲線定義知，中，，則AO只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心肯定不在直線上.選項(xiàng)B推斷正確；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項(xiàng)C推斷正確；由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，，，值域?yàn)楣实闹涤驗(yàn)?選項(xiàng)D推斷錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，許多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是依據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。奇妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是探討“以形助數(shù)”。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知空間向量，，若，則______.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：214.已知數(shù)列滿意，，則______.【答案】1023【解析】【分析】由數(shù)列遞推公式求特定項(xiàng)，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102315.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則______.【答案】【解析】【分析】過(guò)焦點(diǎn)作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種狀況進(jìn)行分類探討.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，不妨令則，故當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，令由整理得則，綜上，故答案為：16.參與數(shù)學(xué)愛(ài)好小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)覺(jué)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了許多參考資料，最終明白自己的猜想是沒(méi)有問(wèn)題的，而且通過(guò)學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個(gè)探究試驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照耀在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN的方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，許多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以.18.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.【答案】（1）；（2）或或.【解析】【分析】(1)依據(jù)給定條件結(jié)合p的幾何意義，干脆求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設(shè)出其方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，再探討計(jì)算，l斜率不存在時(shí)驗(yàn)證作答.【小問(wèn)1詳解】因拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是得，所以拋物線方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，由消去y并整理得：，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是直線與拋物線唯一公共點(diǎn)，因此，，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與拋物線相切，直線方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，y軸與拋物線有唯一公共點(diǎn)，直線方程為，所以直線方程為為或或.19.一個(gè)小島的四周有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無(wú)暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒(méi)有觸礁危急，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必需經(jīng)過(guò)小島中心東北方向處補(bǔ)水，求的最小值.【答案】（1）（2）120【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線方程，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得；（2）先求補(bǔ)水點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)直線過(guò)該點(diǎn)，結(jié)合所求，依據(jù)基本不等式可得.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)題意，以小島中心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，則輪船返港的直線為，因?yàn)闆](méi)有觸礁危急，所以原點(diǎn)到的距離，解得.【小問(wèn)2詳解】依據(jù)題意可得，，點(diǎn)C在直線上，故點(diǎn)C，設(shè)輪船返港的直線是，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.20.如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過(guò)作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿意，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列對(duì)隨意都有恒成立，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）依據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，求出，最終利用錯(cuò)位相減法即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，，得，所以是?為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因?yàn)椋?，又由得，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，記，則,,則.