高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及公式大全

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)

1.對于集合，肯定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B,C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

留意借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={x|x?-2x-3=0},B={x|ax=1}

若BuA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答:卜，°，J

3.留意下列性質(zhì)：

（1）集合{a/a2,……，an}的所有子集的個(gè)數(shù)是2。；

（2）若AuB=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,CU（AAB）=（CUA）U（CUB）

4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（解除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式咚至<0的解集為M,若3eM且5比M,求實(shí)數(shù)a

x-a

的取值范圍。

a?3—5

（V3eM,-----<0

na€1,-JU（9,25））

a?5-5L

V5gM,A-f'>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（人）和

“非”（「）.

若pnq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）

原命題及逆否命題同真、同假；逆命題及否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A->B,是否留意到A中元素的隨意性和B中及之對應(yīng)元素的唯

一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

(定義域、對應(yīng)法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y=±@二2的定義域是

lg(x-3)-

(答：(0，2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定

義域是。

(答：[a,-a])

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f(jx+l)=e"+x,求f(x).

令t=Mt>0

/.x=t2—1

；.f(t)=eJ+t?-1

.".f(x)=ex2-'+x2-l(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(---對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟駕馭了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

1+x(x>0)

如：求函數(shù)f(x)=J的反函數(shù)

H92(x<0)

X-1(X>1)

(答：fT(X)=\)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,則f(a)=bof"(b)=a

f-l[f(a)]=ft(b)=a,f[f-1(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),則y=f[(p(x)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f[(p(x)]為增函數(shù)，否則f[<p(x)]為減函數(shù)。)

如：求y=k>gGx2+2x)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=-x2+2x,由u>0貝iJOvxv2

且log】uJ,u=-(x-1)2+1,如圖：

當(dāng)xe(0,1]時(shí)，uT,又log]uJ,.\yJ

2

當(dāng)x￡口,2)時(shí),uJ,又AyT

2

???……)

15.如何利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有”x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f<x)<0呢？

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=-ax在[1,+oo)上是單調(diào)增函數(shù)，貝如的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f'(x)=3x?-a=+>0

則X4-g或X>聆

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù),則序］,即a?3

，a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立=f(x)為奇函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

若f(-x)=f(x)總成立=f(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

留意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)及奇

函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)=0。

如：若f(x)=a?2x+a2為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=

2X+1-----------

(???f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,Af(0)=0

(1

Rna*2+a—2.八

即----T---------=0,，a=l)

2°+1

?x

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

9-x

(令X￡(-1,0),貝lJ-X￡(O,1),f(-X)=———-

又f(x)為奇函數(shù)，...f(x)=--：=一一J

4"+11+4

'2Xxe(-L0)

4X+1x=0

又f(0)=0,??.f(x)=1")

,X

-------XG(0,1)

［4X+1v)

17.你熟識(shí)周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實(shí)數(shù)T(TWO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個(gè)周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù),T=2a為f(x)的一個(gè)周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個(gè)周期

如：

y=sinx

18.你駕馭常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于反邑對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于X軸對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x)與fT(X)的圖象關(guān)于直線y=X對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱

將y=f(x)圖象學(xué)移心>。)個(gè)單位>y=f汽+a)

右移a(a>0)個(gè)單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個(gè)單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個(gè)單位y=f(x+a)-b

留意如下“翻折”變換：

f(x)——>|f(x)|

f(x)—>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=|log2(x+l)|&y=log2|x+的圖象

y

y=iog2x

19.你嫻熟駕馭常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

x=a

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(k#0)

(2)反比例函數(shù)：y=K(kxO)推廣為y=b+—J(kwO)是中心O'(a,b)

xx—a

的雙曲線。

2+「4”_u2圖象為拋物線

(3)二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(aw())=ax+A

頂點(diǎn)坐標(biāo)為-上4ac-b2>，對稱軸x=-2

I2a4a;2a

向上，函數(shù)ymin=J

開口方向：a>0,

4a

4ac-b2

a<0,向下，y

max4a

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程

ax2+bx+c=0,△〉()時(shí)，兩根X1、x2為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax?+6*+。>0(<0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動(dòng))，對稱軸動(dòng)(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

b1

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩根都大于k=.----->k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=a*(a>0,1)

(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,awl)

由圖象記性質(zhì)！(留意底數(shù)的限定！)

(6)“對勾函數(shù)"y=x+-(k>0)

利用它的單調(diào)性求最值及利用均值不等式求最值的區(qū)分是什么？

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a°=l(a*0),a-P=；(a*0)

a

m____m[

an=(a>0),an=,—(a>0)

Vam

對數(shù)運(yùn)算：logaM?N=logaM+logaN(M>0,N>0)

logaW=logaM-logaN,logaVM=~logaM

Nn

對數(shù)恒等式：a,O8aX=x

n

對數(shù)換底公式：logab="g。°nlogb=—logab

logcaam

21.如何解抽象函數(shù)問題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如：(1)xER,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0nf(0)=0再令y=-x,....)

(2)xcR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t?t)

/.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

???f(-t)=f(t)……)

(3)證明單調(diào)性：f(x2)=f[(x2-x,)+x2]=……

22.駕馭求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

(二次函數(shù)法(配方法)，反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)

法等。)

如求下列函數(shù)的最值：

(1)y=2x-3+J13—4x

G2G-4

⑵y=「c

VX4-3

2x2

(3)x>3,y=

x-3

(4)y=x+4+j9-x'(設(shè)x=3cos6,0G[0,切

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(/=|a|?R,S扇=；/?R=；|a|?R2)

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

8

又如：求函數(shù)y=Jl-&cos(^-x)的定義域和值域。

(,:'-叵cos^y-x))=1-V2sinx>0

?，?sinx<——，如圖：

2

2kn<x<2kn+-^(kGZ),0<y<Jl+拒

25.你能快速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎?

y=sinx的增區(qū)間為2k?i,2k7r+'(kGZ)

減區(qū)間為2k?r+囚，2kn+—(kG

22'

圖象的對稱點(diǎn)為(km0),對稱軸為乂=1<兀+曰(1<￡2)

y=cosx的增區(qū)間為[2k7T,2kir+可(keZ)

減區(qū)間為[2kji+7i,2k兀+2可(kGZ)

圖象的對稱點(diǎn)為（k7l+方，0j,對木爾軸為X=k7T（k￡Z）

y=tanx的增區(qū)間為,k7t+*|JkEZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin（cox